重庆高三高中数学期中考试带答案解析

重庆高三高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知命题：，则是（）
A．B．
C．D．
2.集合（其中是虚数单位）中元素的个数是（）
A．1B．2C．4D．无穷多个
3.在上随机取一个数x，则的概率为（）
A．B．C．D．
4.购物大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
A．充分条件B．必要条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
5.已知，则=（）
A．B．C．D．
6.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A．B．C．D．
7.要得到函数的图象，可以把函数的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
8.实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为( )
A．B．2C．1D．
9.设数列满足 ,且对任意,函数满足
，若，则数列的前项和为( )
A．B．
C．D．
10.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同
的交点，它们的横坐标分别为，则的最大值为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
1.一组样本数据的茎叶图如右：，则这组数据的平均数等于 .
2.若向量相互垂直，则点（2，3）到点（x，y）的距离的最小值为 .
3.执行右边的程序框图，若，则输出的n= .
4.已知函数满足，且的导函数，则的解集为____________.
5.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于
两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则_______.
三、解答题
1.已知等差数列中，.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)当取最大值时求的值.
2.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直
方图如图所示.
(Ⅰ)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
(Ⅱ)在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名
志愿者被抽中的概率.
3.设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
4.如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,
．
(Ⅰ)求证:平面平面；
(Ⅱ)若,求四棱锥的体积．
5.如图是某重点中学学校运动场平面图，运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形和分别以、
为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元，
（Ⅰ）设半圆的半径（米），写出塑胶跑道面积与的函数关系式；
（Ⅱ）由于受运动场两侧看台限制，的范围为，问当为何值时，运动场造价最低（第2问取3近
似计算）.
6.已知圆直线与圆相切，且交椭圆于两点，
是椭圆的半焦距，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）O为坐标原点，若求椭圆的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线AS，BS与直线分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.
重庆高三高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知命题：，则是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】特称命题：“”的否定为“”.故选.
【考点】简单逻辑，特称命题的否定.
2.集合（其中是虚数单位）中元素的个数是（）
A．1B．2C．4D．无穷多个
【答案】C
【解析】.因为，所以，以后的值便重复出现，所以共有4个元素.
【考点】复数的基本概念及运算.
3.在上随机取一个数x，则的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得：，由几何概型得：.
【考点】1、一元二次不等式的解法；2、几何概型.
4.购物大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
A．充分条件B．必要条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】在购物大姐眼中，便宜，则不是好货，这是一个真命题，它的逆否命题是：好货，则不便宜，也该是一个真命题.所以“不便宜”是“好货”的必要条件. 购物大姐没说“不是好货就便宜”，所以不能说“不便宜，则是好货”是一个真命题.故选.
【考点】充分条件与必要条件.
5.已知，则=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以..
【考点】同角三角函数基本关系式.
6.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体由一个正三棱柱和一个球体构成.根据图中尺寸可得，其体积：
.
【考点】1、三视图；2、几何体的体积.
7.要得到函数的图象，可以把函数的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】，向左平移个单位即可.
【考点】三角函数图象的变换.
8.实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为( )
A．B．2C．1D．
【答案】B
【解析】作出不等式组表示的区域如图所示，由图可知，直线系过点时，取最大
值，所以.
【考点】线性规划.
9.设数列满足 ,且对任意,函数满足
，若，则数列的前项和为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】.
因为，所以：，
所以是一个等差数列. ，又，，
所以 .
【考点】1、等差数列等比数列的通项及前项和；2、导数.
10.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同
的交点，它们的横坐标分别为，则的最大值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】法一、由得：，所以
，作出其图象如图所示：
不妨设，则易证，且.
所以.
令，，
则，
由得：，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
当时取等号.选
法二、由得：，.
所以.当且仅当时取等号.
【考点】1、分段函数；2、新定义（创新意识）；3、最值问题；4、导数的应用.
二、填空题
1.一组样本数据的茎叶图如右：，则这组数据的平均数等于 .
【答案】23
【解析】.
【考点】样本数据的基本数字特征（平均数）.
2.若向量相互垂直，则点（2，3）到点（x，y）的距离的最小值为 .
【答案】
【解析】由已知得：，所以点（2，3）到点（x，y）的距离的最小值即为点到直线的距离：.
【考点】1、向量的数量积及向量的垂直关系；2、点到直线的距离.
3.执行右边的程序框图，若，则输出的n= .
【答案】4
【解析】由框图得每次循环的结果为：
，所以.
【考点】程序框图.
4.已知函数满足，且的导函数，则的解集为____________.【答案】
【解析】设，则，所以在上单调递增.又因为，所以时，；时，.所以的解为.
【考点】1、导数的应用；2、解不等式.
5.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于
两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则_______.
【答案】
【解析】由题意得：,①+②+③得：，由此可得：，
.，.
因为，所以,
即.
【考点】1、双曲线的应用；2、解方程组.
三、解答题
1.已知等差数列中，.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)当取最大值时求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由可得公差，再由便可得通项公式.
(Ⅱ) 等差数列的前项和为关于的二次式，所以求出前项和结合二次函数图象便可得其最大值及相应的的值.
试题解析：（Ⅰ）由 6分
(Ⅱ)因为.
对称轴为时取最大值15. 13分
【考点】1、等差数列的通项及前项和；2、函数的最值.
2.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直
方图如图所示.
(Ⅰ)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
(Ⅱ)在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
【答案】（Ⅰ）第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，可得第3组,第4组，第5组的人数. 分层抽样就是按比例抽样，根据比例即可得各组抽取的人数.
(Ⅱ)将第3组,第4组的志愿者编号，然后一一列举出所有可能结果，再数出第4组至少有一名志愿者的所有可能
结果，由古典概型公式便可得所求概率.
试题解析：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100="10." 因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×6="3;" 第4组:
×6="2;" 第5组:
×6=1.
所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分
(Ⅱ)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,.则从5名志愿者中抽取2名志愿者有: (A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),,(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共有10种. 9分 其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:
(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1, B 2),共有7种 11分 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为. 13分
【考点】1、频率分布直方图；2、古典概型.
3.设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，
（Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）求函数的单调递增区间.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【解析】（Ⅰ）将所有正弦换成相应的边然后用余弦定理求解. （Ⅱ）将
降次化一，化为
的形式，即可
求得其单调递增区间. 试题解析：（Ⅰ）. 6分
（Ⅱ）
由
所以函数
的单增区间为:
13分
【考点】1、余弦定理；2、三角恒等变换及三角函数的单调区间.
4.如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面
,,,
．
(Ⅰ)求证:平面
平面；
(Ⅱ)若,求四棱锥
的体积． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由,,，易得，从而平面，
由此可得平面
平面
． (Ⅱ)思路一、由（Ⅰ）知，
平面，所以
，即
是一个直角三角形，这样可得四边形
的面积.
又平面平面，所以过D 作
的垂线，该垂线即垂直于平面
，由此可得该棱锥的高，从而求得其体积. 思路二、将四棱锥
分割为以下两部分：三棱锥
和
，这两个三棱锥的体积相等，我
们可先求其中的一个. 而三棱锥即为三棱锥，这个三棱锥的体积就很易求了.
试题解析：（Ⅰ）证明：在中,由余弦定理得：，
所以,所以,即， 3分
又四边形为平行四边形,所以，又底面,底面,所以，
又,所以平面, 5分
又平面,所以平面平面． 6分
(Ⅱ)法一：连结，∵，∴
∵平面，所以， 8分
所以四边形的面积， 10分
取的中点，连结，则，且，
又平面平面,平面平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积：． 12分
法二: 四棱锥的体积， 8分
而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等， 10分
所以． 12分
【考点】1、空间两平面的垂直；2、空间几何体的体积.
5.如图是某重点中学学校运动场平面图，运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形和分别以、
为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元，
（Ⅰ）设半圆的半径（米），写出塑胶跑道面积与的函数关系式；
（Ⅱ）由于受运动场两侧看台限制，的范围为，问当为何值时，运动场造价最低（第2问取3近
似计算）.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）塑胶跑道由两个半圆和两个矩形构成，利用圆和矩形的面积公式便可得其面积.
（Ⅱ）单位造价乘以面积便得总造价，这样可得总造价与半径的关系式：
，这个式子可用重要不等式求其最小值及相应的半径.
试题解析：（Ⅰ）
5分
（Ⅱ）总造价：
8分
令，则
∴在区间上单调递减
故当时，总造价最低. 12分
【考点】1、函数的应用；2、重要不等式.
6.已知圆直线与圆相切，且交椭圆于两点，
是椭圆的半焦距，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）O为坐标原点，若求椭圆的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线AS，BS与直线分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）椭圆的方程为；(Ⅲ).
【解析】（Ⅰ）直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径.设圆的圆心为半径分别为，直线的方程为.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，将已知条件代入这个公式，即可得的值.
(Ⅱ)将代入得：得关于的二次方程.设则是这个方程的
两个根.因为，所以，再结合韦达定理，可得一个含的等式，与联立解方程组即可
求得的值.
(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为：，动点，则将其代入椭圆方程，便得：①.设，，则.两式相乘再利用①式可消去得，
再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.
思路二、选定一个量作为变量，其余的量都用这个量来表示，最终用这个量表示出线段MN的长度.
那么选哪一个量作为变量呢？显然直线AS的斜率存在，设为且，然后用表示出点的
坐标，从而表示出线段MN的长度.再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.
试题解析：（Ⅰ）直线与圆相切,所以 4分
(Ⅱ) 将代入得：
得:①
设则
②
因为
由已知代人②
所以椭圆的方程为 8分
(Ⅲ)法一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为：，将动点的坐标代入椭圆方程，
便得：①
设，，则.两式相乘得②
由①得：，代入②得：，显然异号.
所以线段MN的长度，当时取等号. 法二、显然直线AS的斜率存在，设为且则
依题意，由得：
设则即
，又B（2，0）所以 BS：
由
所以时： 12分
【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、函数的最值.。