高中数学北师大版选修4-5第一章不等关系与基本不等式课件 (共8份打包)2
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第一章 不等关系与基本不等式
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
1．解下列不等式： (1)|6－2x|＞4； (2)2≤|x－4|＜3； (3)|x＋1|＞2－x. 解：(1)|6－2x|＞4⇔|2x－6|＞4 ⇔2x－6＞4或2x－6＜－4. 整理，得2x＞10或2x＜2.解得x＞5或x＜1. 所以原不等式的解集是{x|x＞5或x＜1}．
(2)法一 原不等式等价于 ||xx－ －44||＜ ≥32，⇔①xxx－－ －444≥＜ ＞2－3，3，或②xxx－－ －444＜＞ ≤3－ －，32， . 解不等式组①，得 6≤x＜7. 解不等式组②，得 1＜x≤2. 所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
A．1,5)
解析：①当x＜1时，原不等式等价于
1－x－(5－x)＜2，即－4＜2，
所以x＜1.
②当1≤x≤5时，原不等式等价于 x－1－(5－x)＜2，即x＜4， 所以1≤x＜4. ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， 即4＜2，无解． 综合①②③知x＜4. 答案：A
由 x2－12＜－2x，得－2－2
6＜x＜－2＋2
6 .
∴x＞2＋2 6或 0＜x＜－2＋2 6满足原不等式．
综上，原不等式的解集是
xx＞1＋ 26或x＜ 26－1.
【点评】 解形如|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)的不等式，就是 利用等价命题法，即当a＞0时，|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a， |f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a，将其绝对值符号去掉，通过分别求出 相应不等式的解集，即可达到解题目的．
3 ． 当 |a － b| ＞ c 时 ， 不 等 式 |x － a| ＋ |x － b| ＞ c 的 解 集 是 什 么？
提示：因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|，所以 当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.
不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )
法二 原不等式等价于
2≤x－4＜3 或－3＜x－4≤－2，
即 6≤x＜7 或 1＜x≤2.
所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
(3)由原不等式，可得
x＋1＞2－x 或 x＋1＜x－2.
解得 x＞12.
所以所求不等式的解集为xx＞12
.
|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0) 型不等式的解法
2．难点是含参数的绝
|x＋m|±|x＋n|＜(或＞)x＋p的不等式. 对值不等式的求解.
阅读教材P8～P9“绝对值不等式的解法”的有关内容，完成 下列问题：
1．含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
|x|＜a |x|＞a
a＞0 {x|－a＜x＜a} {x|x＞a或x＜－a}
a＝0 ∅
{x|x∈R且x≠0}
2．当c＜0时，不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是 什么？
提示：当c＜0时，不等式|ax＋b|≤c的解集为∅；不等式|ax ＋b|≥c的解集为R.
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)可以利用绝对值不等式的_几__何__意__义_____. (2)利用分类讨论的思想，以绝对值的“___零__点_______”为 分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项 式的____符__号______，进而去掉_绝__对__值__符__号___. (3)可以通过__构__造__函__数____，利用__函__数__图__像____，得到不等 式的解集．
a＜0 ∅ R
1．不等式|x|＜a的解集为{x|－a＜x＜a}吗？ 提示：当a＞0时，不等式的解集为{x|－a＜x＜a}； 当a≤0时，不等式的解集为∅.
2．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋ b|≤c(c ＞ 0) 型 不 等 式 的 解 法 ： 先 化 为 _－__c_≤_a_x_＋__b_≤_c_______，再利用不等式的性质求出原不等式的解 集． (2)|ax ＋ b|≥c(c ＞ 0) 的 解 法 ： 先 化 为 ___a_x_＋__b_≥_c_____ 或 __a_x_＋__b_≤__－__c____，再进一步利用不等式的性质求出原不等式 的解集．
(2)解不等式x2－12＞2x.
解：①当 2x＜0，即 x＜0 时， ∵不等式x2－12≥0 对任意的 x∈R 恒成立， ∴不等式x2－12＞2x(x＜0)恒成立． ∴x＜0 满足原不等式．
②当 2x＝0，即 x＝0 时， ∵x2－12＝02－12＝12＞2x＝2×0＝0， ∴x＝0 满足原不等式． ③当 2x＞0，即 x＞0 时， x2－12＞2x⇒x2－12＞2x 或 x2－12＜－2x. 由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
解不等式|x＋7|－|x－2|≤3. 解：法一 |x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x) 到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等 于3的点，即x＝－1.
由图知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1， 即解集为{x|x≤－1}．
|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)型不等式的解法
(1)下列不等式中，解集为{x|－1 ＜x＜3}的是________.
①1＜|1＋x|≤2；②1＜|1－x|≤2； ③|1－x|＜2; ④|2－x|＞3. 解析：由题意，知解集是一个开区间．所以排除①②.对于 ③，|1－x|＜2即为|x－1|＜2，所以－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3. 对于④，|2－x|＞3即为|x－2|＞3，所以x－2＞3或x－2＜－3， 即x＞5或x＜－1.故填③. 答案：③
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
1．解下列不等式： (1)|6－2x|＞4； (2)2≤|x－4|＜3； (3)|x＋1|＞2－x. 解：(1)|6－2x|＞4⇔|2x－6|＞4 ⇔2x－6＞4或2x－6＜－4. 整理，得2x＞10或2x＜2.解得x＞5或x＜1. 所以原不等式的解集是{x|x＞5或x＜1}．
(2)法一 原不等式等价于 ||xx－ －44||＜ ≥32，⇔①xxx－－ －444≥＜ ＞2－3，3，或②xxx－－ －444＜＞ ≤3－ －，32， . 解不等式组①，得 6≤x＜7. 解不等式组②，得 1＜x≤2. 所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
A．1,5)
解析：①当x＜1时，原不等式等价于
1－x－(5－x)＜2，即－4＜2，
所以x＜1.
②当1≤x≤5时，原不等式等价于 x－1－(5－x)＜2，即x＜4， 所以1≤x＜4. ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， 即4＜2，无解． 综合①②③知x＜4. 答案：A
由 x2－12＜－2x，得－2－2
6＜x＜－2＋2
6 .
∴x＞2＋2 6或 0＜x＜－2＋2 6满足原不等式．
综上，原不等式的解集是
xx＞1＋ 26或x＜ 26－1.
【点评】 解形如|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)的不等式，就是 利用等价命题法，即当a＞0时，|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a， |f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a，将其绝对值符号去掉，通过分别求出 相应不等式的解集，即可达到解题目的．
3 ． 当 |a － b| ＞ c 时 ， 不 等 式 |x － a| ＋ |x － b| ＞ c 的 解 集 是 什 么？
提示：因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|，所以 当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.
不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )
法二 原不等式等价于
2≤x－4＜3 或－3＜x－4≤－2，
即 6≤x＜7 或 1＜x≤2.
所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
(3)由原不等式，可得
x＋1＞2－x 或 x＋1＜x－2.
解得 x＞12.
所以所求不等式的解集为xx＞12
.
|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0) 型不等式的解法
2．难点是含参数的绝
|x＋m|±|x＋n|＜(或＞)x＋p的不等式. 对值不等式的求解.
阅读教材P8～P9“绝对值不等式的解法”的有关内容，完成 下列问题：
1．含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
|x|＜a |x|＞a
a＞0 {x|－a＜x＜a} {x|x＞a或x＜－a}
a＝0 ∅
{x|x∈R且x≠0}
2．当c＜0时，不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是 什么？
提示：当c＜0时，不等式|ax＋b|≤c的解集为∅；不等式|ax ＋b|≥c的解集为R.
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)可以利用绝对值不等式的_几__何__意__义_____. (2)利用分类讨论的思想，以绝对值的“___零__点_______”为 分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项 式的____符__号______，进而去掉_绝__对__值__符__号___. (3)可以通过__构__造__函__数____，利用__函__数__图__像____，得到不等 式的解集．
a＜0 ∅ R
1．不等式|x|＜a的解集为{x|－a＜x＜a}吗？ 提示：当a＞0时，不等式的解集为{x|－a＜x＜a}； 当a≤0时，不等式的解集为∅.
2．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋ b|≤c(c ＞ 0) 型 不 等 式 的 解 法 ： 先 化 为 _－__c_≤_a_x_＋__b_≤_c_______，再利用不等式的性质求出原不等式的解 集． (2)|ax ＋ b|≥c(c ＞ 0) 的 解 法 ： 先 化 为 ___a_x_＋__b_≥_c_____ 或 __a_x_＋__b_≤__－__c____，再进一步利用不等式的性质求出原不等式 的解集．
(2)解不等式x2－12＞2x.
解：①当 2x＜0，即 x＜0 时， ∵不等式x2－12≥0 对任意的 x∈R 恒成立， ∴不等式x2－12＞2x(x＜0)恒成立． ∴x＜0 满足原不等式．
②当 2x＝0，即 x＝0 时， ∵x2－12＝02－12＝12＞2x＝2×0＝0， ∴x＝0 满足原不等式． ③当 2x＞0，即 x＞0 时， x2－12＞2x⇒x2－12＞2x 或 x2－12＜－2x. 由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
解不等式|x＋7|－|x－2|≤3. 解：法一 |x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x) 到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等 于3的点，即x＝－1.
由图知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1， 即解集为{x|x≤－1}．
|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)型不等式的解法
(1)下列不等式中，解集为{x|－1 ＜x＜3}的是________.
①1＜|1＋x|≤2；②1＜|1－x|≤2； ③|1－x|＜2; ④|2－x|＞3. 解析：由题意，知解集是一个开区间．所以排除①②.对于 ③，|1－x|＜2即为|x－1|＜2，所以－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3. 对于④，|2－x|＞3即为|x－2|＞3，所以x－2＞3或x－2＜－3， 即x＞5或x＜－1.故填③. 答案：③