高考数学第七章立体几何7.4直线、平面平行的判定及其性质理高三全册数学

第七章
立体几何(lìtǐjǐhé)
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第一页，共四十八页。
第四节 直线、 平面(píngmiàn)平行的判定及其性质
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第二页，共四十八页。
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第三页，共四十八页。
知识梳理·自主(zìzhǔ)学 习
课堂探究(tànjiū)·深度剖 析
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解析：当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相 交，因而 m∥β⇒α∥β；当 α∥β 时，α 内任一直线与 β 平行， 因为 m⊂α，所以 m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要 不充分条件．
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第十三页，共四十八页。
1．平行关系中的两个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若 α∥β，β∥γ，则 α∥γ. 2．线线、线面、面面平行间的转化
因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK，所以 PO∥GK，且 GK⊥ 底面 ABCD，从而 GK⊥EF，所以 GK 是梯形 GEFH 的高，由 AB ＝8，EB＝2 得 EB AB＝KB DB＝1 4，从而 KB＝14BD＝12 OB，即点 K 是 OB 的中点．
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因为 PA＝PC，点 O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC，同理可 得 PO⊥BD，
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又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内，所以 PO⊥底面 ABCD，
又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD，且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH，
或异面．( √ ) (3)设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面，若 l∥α，l∥β，则 α∥β.( × )
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4．设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β”是“α
∥β”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
∥n”是“m∥α”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若 m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知 m ∥α.若 m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出 m∥n，直线 m 与 n 可 能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选 A.
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(1)如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底 面 ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E 是 PD 的中点．
证明：直线 CE∥平面 PAB.
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(2)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱 长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四 点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH.
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证法 3：如图，
取棱 CD 的中点 G，连接 AG，GF， 因为点 F 为棱 DE 的中点，所以 FG∥CE， 因为 FG⊄平面 BCE，CE⊂平面 BCE， 所以 FG∥平面 BCE. 因为 AB∥CD，AB＝CG＝2， 所以四边形 ABCG 是平行四边形， 所以 AG∥BC，因为 AG⊄平面 BCE，BC⊂平面 BCE，
∴A1G 綊 D1F，∴D1F 綊 EB，故 E、B、F、D1 四点共面．
(2)∵H 是 B1C1 的中点，∴B1H＝32. 又 B1G＝1，BB11GH＝23.
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又FBCC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°. ∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG.∴HG∥ FB. 又由(1)知，A1G∥BE，且 HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平 面 A1GH∥平面 BED1F.
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(2)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC， A1B1，A1C1 的中点，求证：
①B，C，H，G 四点共面； ②平面 EFA1∥平面 BCHG.
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证明：①∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G 四点共面 ②∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，∴EF∥平面 BCHG.
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所以 AG∥平面 BCE.又 FG∩AG＝G，FG⊂平面 AFG，AG ⊂平面 AFG，所以平面 AFG∥平面 BCE.
因为 AF⊂平面 AFG，所以 AF∥平面 BCE. (2)因为 AB∥CD，∠ABC＝90°，所以 CD⊥BC. 因为 CD＝4，CE＝2，DE＝2 5，所以 CD2＋CE2＝DE2，所 以 CD⊥CE， 因为 BC∩CE＝C，BC⊂平面 BCE，CE⊂平面 BCE，所以 CD⊥平面 BCE. 因为点 F 为棱 DE 的中点，且 CD＝4，所以点 F 到平面 BCE 的距离为 2.
①证明：GH∥EF； ②若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积．
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解：(1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF. 因为 E 是 PD 的中点， 所以 EF∥AD，EF＝12AD. 由∠BAD＝∠ABC＝90°得 BC∥AD，又 BC＝12AD， 所以 EF 綊 BC，四边形 BCEF 是平行四边形，CE∥BF，又
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【证明】
(1)连接 FG.如图． ∵AE＝B1G＝1， ∴BG＝A1E＝2，
∴BG 綊 A1E，∴A1G 綊 BE.
又∵C1F 綊 B1G，
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∴四边形 C1FGB1 是平行四边形． ∴FG 綊 C1B1 綊 D1A1，∴四边形 A1GFD1 是平行四边形．
再由 PO∥GK 得 GK＝12PO，即点 G 是 PB 的中点，同理 GH ＝12BC＝4，
由已知可得 OB＝4 2，PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6，所 以 GK＝3，故四边形 GEFH 的面积 S＝GH＋2 EF·GK＝4＋2 8×3＝ 18.
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因为 AF⊄平面 BCE，BM⊂平面 BCE， 所以 AF∥平面 BCE. 证法 2：如图，在平面 ABCD 内，分别延长 CB，DA，交于 点 N，连接 EN.
因为 AB∥CD，CD＝2AB， 所以 A 为 DN 的中点． 又 F 为 DE 的中点，所以 AF∥EN， 因为 EN⊂平面 BCE，AF⊄平面 BCE， 所以 AF∥平面 BCE.
(1)证明：AF∥平面 BCE； (2)若 BC＝4，∠BCE＝120°，DE＝2 5，求三棱锥 B-CEF 的体积．
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【解】 (1)证法 1：如图，
取 CE 的中点 M，连接 FM，BM. 因为点 F 为棱 DE 的中点， 所以 FM∥CD 且 FM＝12CD＝2， 因为 AB∥CD，且 AB＝2， 所以 FM∥AB 且 FM＝AB， 所以四边形 ABMF 为平行四边形，所以 AF∥BM，
考向二 平面与平面平行的判定与性质
【例 2】 如图所示，已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体， 点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，G 在 BB1 上，且 AE＝FC1＝B1G＝1， H 是 B1C1 的中点．
(1)求证：E、B、F、D1 四点共面； (2)求证：平面 A1GH∥平面 BED1F.
第四页，共四十八页。
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
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第五页，共四十八页。
知识点一 直线与平面平行 1．判定定理
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第六页，共四十八页。
2.性质定理
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第七页，共四十八页。
1．(2018·浙江卷)已知平面 α，直线 m，n 满足 m⊄α，n⊂α，则“m
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第八页，共四十八页。
2．在下图所示的正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，
P 为所在棱的中点，则直线 AB 与平面 PNM 的位置关系是 平行．
解析：在正方体中，AB 是正方体的对角线，M，N，P 为 所在棱的中点，取 MN 的中点 F，连接 PF，则易知 PF∥AB， 故由线面平行的判定定理可知直线 AB 与平面 PNM 平行．
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知识点二 平面与平面平行 1．判定定理
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2．两平面平行的性质定理
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第十一页，共四十八页。
3．判断正误 (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平
面平行．( × )
(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行
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第三十二页，共四十八页。
证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)面面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线 分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； (4)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．
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(1)(2019·广州高三调研测试)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 ，
点 M 为 CC1 的中点，点 N 为线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点，平面 BMN
交 AA1 于点 Q，则线段 AQ 的长为( D )
2
1
A.3
B.2
1
1
C.6
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第十四页，共四十八页。
课堂探究·深度剖析
课堂升华 强技提能
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第十五页，共四十八页。
考向一
直线与平面平行的判定与性质
【例 1】 (2019·福州高三考试)如图，在四棱锥 E-ABCD 中，AB ∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点 F 为棱 DE 的中点．
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第二十页，共四十八页。
S
△
BCE
＝
1 2
BC·CEsin
∠
BCE
＝
1 2
×4×2sin120°＝
2
3.三棱锥
B-CEF 的体积 VB-CEF＝VF-BCE＝13S△BCE×2＝13×2
3×2＝4
3
3 .
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1证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二 是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证 明线面平行；2求三棱锥的体积时，若不便于直接利用锥体的体积公 式求解，则往往需要进行等体积转化，再利用锥体的体积公式加以计算 求解.
D.3
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解析：如图所示，在线段 DD1 上靠近点 D 处取一点 T，使得 DT＝13，因为 N 是线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点，故 D1N＝23， 故 NT＝2－13－23＝1，
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因为 M 为 CC1 的中点，故 CM＝1，连接 TC，由 NT∥CM， 且 CM＝NT＝1，知四边形 CMNT 为平行四边形，故 CT∥MN， 同理在 AA1 上靠近 A 处取一点 Q′，使得 AQ′＝13，连接 BQ′， TQ′，则有 BQ′∥CT∥MN，故 BQ′与 MN 共面，即 Q′与 Q 重合，故 AQ＝13，故选 D.
BF⊂平面 PAB，CE⊄平面 PAB，故 CE∥平面 PAB.
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(2)①证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH，所以 GH∥BC，同理可证 EF∥BC，因 此 GH∥EF.
②连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK， 如图．