江苏省前黄高级中学国际分校高二数学下学期期末统考模拟试题(2)

江苏省前黄高级中学国际分校2016-2017学年高二数学下学期期末统
考模拟试题（2）
一、填空题
1、矩阵1141⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的特征值为 . 2、一枚硬币连续抛掷两次，出现一次正面一次反面的概率为 .
3、已知某一随机变量X 的概率分布表如右图，且E (X )＝3，则V (X )＝
. 4、若13272728
C C C n n n --8+=，则正整数n 的值为 ． 5、在平面直角坐标系xoy 中，设
D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率
为 ．
6、点()6,2P 先关于直线y x =作反射变换，再绕原点顺时针旋转0
45作旋转变换，最终变成
点'
P .
7、若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为 . 8、若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B 、C 相邻，则不同的排法共 有 种
9、若(,)x y 与(,)ρθ ()R ρ∈ 分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线： ①θ=
6π和sin θ=21； ②θ=6
π和tan θ=33； ③ρ2
－9=0和ρ= 3；
④⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 21322
2和⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 21322. 其中表示相同曲线的组数为 .
10、若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有 种
11、直线ρ=
θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4
π
(ρ∈R )对称，则l 的极坐标方程
是 .
12、1231010
1111
1111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 .
13、35
(1(1+的展开式中x 的系数是 .
14、将编号为1、2、3、4的四个小球放入甲、乙、丙三只盒子内．若1号球不在甲盒内，2
号球不在乙盒内，且每个盒子内都有球，一共有 种不同放法。

二、解答题
15、设矩阵()00,00a M a b b ⎛⎫
=>> ⎪⎝⎭
其中.
（1）若2,3,a b ==求矩阵M 的逆矩阵1
M
-;
（2）若曲线2
2
:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2
2':14
x C y +=，求,a b 的值。

16、在直角坐标平面内，直线l 过点P （1，1），且倾斜角α=
,以坐标原点O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求|PA|•|PB|的值．
17、已知)()2(8
2*∈-
N n x
x （1）求展开式中各项系数和； （2）二项式系数最大的项. （3）求展开式中含2
3x 的项； （4）求展开式中系数最大的项
18、在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答某一道题,已知甲回
答对这道题的概率是
34,甲、丙二人都回答错的概率是1
12
,乙、丙二人都回答对的概率是4
1
.且每人答对与否相互独立。

(Ⅰ)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率;
(Ⅱ)设乙、丙二人中回答对该题的人数为X,求X 的分布列和数学期望.
19、袋中装着标有数字1,2,3,4的卡片各1张,甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可
能性都相等),并记下卡面数字和为X ,然后把卡片放回,叫做一次操作. (1)求在一次操作中随机变量X 的概率分布和数学期望E (X ); (2)甲进行四次操作,求至少有两次X 不大于E (X )的概率.
20、在20122212122(1)n r r
n n n n
n
n n n n n x x D D x D x D x D x D x --++=+++++
++的展开式中，把
0122n
n n n n
D D D D ，，，， 叫做三项式系数．
(1)当n =2时，写出三项式系数0123422222D D D D D ，，，，的值；
(2)类比二项式系数性质1
1C C C m m m n n n -+=+(1,)m n m N n N ∈∈≤≤，
，给出一个关于三项式系数1
1(121,,)m n D m n m N n N ++-∈∈≤≤的相似性质，并予以证明；
(3)求00112233
20142014
2014201420142014201420142014201420142014C C C C C D D D D D -+-++的值．
2016届高二理科期末统考复习卷（一）参考答案
一、填空题
1、矩阵1141⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的特征值为 ▲ 3或－1; 2、一枚硬币连续抛掷两次，出现一次正面一次反面的概率为 .
2
1
3、已知某一随机变量X 的概率分布表如右图，且E (X )＝3，则V (X )＝ .
4.2
4、若13272728
C C C n n n --8+=，则正整数n 的值为 ．4或9 5、在平面直角坐标系xoy 中，设
D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率
为 ．
16
π
6、点()6,2P 先关于直线y x =作反射变换，再绕原点顺时针旋转0
45作旋转变换，最终变成点'
P .
7
、若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为 . 1 8、若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B 、C 相邻，则不同的排法共有________种（用数字作答） 144
9、若(,)x y 与(,)ρθ ()R ρ∈ 分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线： ①θ=
6π和sin θ=21； ②θ=6
π和tan θ=33； ③ρ2
－9=0和ρ= 3；
④⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 21322
2和⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 21322. 其中表示相同曲线的组数为 .2
10、若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有 种 180 11、直线ρ=
θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4
π
(ρ∈R )对称，则l 的极坐标方程
是 .
12、1231010
1111
1111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 ３
13
、35
(1(1+的展开式中x 的系数是 .-2
14、将编号为1、2、3、4的四个小球放入甲、乙、丙三只盒子内．若1号球不在甲盒内，2号球不在乙盒内，且每个盒子内都有球，一共有 种不同放法。

17 二、解答题
15、（14分）设矩阵()00,00a M a b b ⎛⎫
=>>
⎪⎝⎭
其中. （1）若2,3,a b ==求矩阵M 的逆矩阵1M -;
（2）若曲线2
2
:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2
2':14
x C y +=，求,a b 的值。

16、（14分）在直角坐标平面内，直线l 过点P （1，1），且倾斜角α=
,以坐标原点O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求|PA|•|PB|的值． 17、已知)()2(82*
∈-
N n x
x （1）求展开式中各项系数和； （2）二项式系数最大的项. （3）求展开式中含2
3x 的项； （4）求展开式中系数最大的项
解答：(1)取1=x 得各项系数和为8
)21(-=1………………………………3分
(2) 由8=n 知第5项二项式系数最大,此时6
51120-=x T …………………………7分
(3)由通项公式r r
r r
r
r r x C r x
x C T 22
882881.)2()2()
(---+-=-=
令1,2
3228==--r r r 则.故展开式中含23
x 的项为162-=T 23
x …….11分
(3)设展开式中第1+r 的系数的绝对值最大.则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++--r r r r r
r r r C C C C 2
22
281
188118解得65≤≤r 且+∈N r 所以6,5==r r ………………………………….13分
又6T 的系数为负,所以系数最大的项为11
71792-=x T ……………………………….15分
18、在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答某一道题,已知甲回
答对这道题的概率是
34,甲、丙二人都回答错的概率是1
12
,乙、丙二人都回答对的概率是4
1
.且每人答对与否相互独立。

(Ⅰ)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率;
(Ⅱ)设乙、丙二人中回答对该题的人数为X,求X 的分布列和数学期望. 【答案】解:(Ⅰ)设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A 、B 、C ,则4
3
)(=
A P ,且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==,
41)()(,121)()(C P B P C P A P 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==--.41)()(,121)](1)[431(C P B P C P 解得83)(=
B P ,3
2
)(=C P (Ⅱ)由题意,2,1,0=X .41)2(=
=X P ,245
3185)()()0(=⨯===C P B P X P . 24
13)2()0(1)1(==-=-==X P X P X P . 所以随机变量X 的分布列为
24
25
412241312450)(=
⨯+⨯+⨯
=X E 19、袋中装着标有数字1,2,3,4的卡片各1张,甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可
能性都相等),并记下卡面数字和为X ,然后把卡片放回,叫做一次操作. (1)求在一次操作中随机变量X 的概率分布和数学期望E (X ); (2)甲进行四次操作,求至少有两次X 不大于E (X )的概率. 【答案】解:(1)由题设知,X 可能的取值为:3,4,5,6,7. 随机变量X 的概率分布为
X 3 4 5 6 7 P
1
6
16
13
16
16
因此X 的数学期望E (X )=(3+4+6+7)×16+5×1
3
=5
(2)记“一次操作所计分数X 不大于E (X )”的事件记为C ,则
P (C )=P (“X =3”或“X =4”或“X =5”)=16+16+13=2
3
设四次操作中事件C 发生次数为Y ,则Y ~B (4,2
3)
则所求事件的概率为P (Y ≥2)=1-C 14×23×(13)3-C 04×(13)4=8
9
20、在20122
212122(1)n r r n n n n
n
n n n n n x x D D x D x D x D x D x --++=+++++++的展开式中，把
0122n
n n n n D D D D ，，，，叫做三项式系数．
(1)当n =2时，写出三项式系数01234
22222D D D D D ，，，，的值；
(2)类比二项式系数性质1
1C C C m m m n n n -+=+(1,)m n m N n N ∈∈≤≤，
，给出一个关于三项式系数1
1(121,,)m n D m n m N n N ++-∈∈≤≤的相似性质，并予以证明；
(3)求00112233
20142014
2014201420142014201420142014201420142014C C C C C D D D D D -+-++的值．
20．解：(1)因为22(1)x x ++12322
34++++=x x x x ，
所以123214
232221202=====D D D D D ，，，，
. ………………………4分 (2)类比二项式系数性质1
1C C C m m m n n n -+=+(1,)m n m N n N ≤≤∈∈，
，三项式系数有如下性质： 111
1,(121).m m m m n n
n n D D D D m n +-++=++≤≤- …………………………6分 因为2122(1)(1)(1)n n x x x x x x +++=++⋅++，
所以2120122
212122(1)(1)()n r r
n n n n
n
n n n n n x x x x D D x D x D x D x D x +--++=++⋅+++++
++.
上式左边1m x +的系数为1
1m n D ++,
而上式右边1m x +的系数为11
m m m n n n D D D +-++,
由2122(1)(1)(1)n n x x x x x x +++=++⋅++为恒等式,得
111
1,(121).m m m m n n
n n D D D D m n +-++=++≤≤- ……………………………10分 (3)220142014(1)(1)x x x ++⋅-
012
24027402740284028
20142014201420142014201402014120132201232011
201420132014
2014201420142014201420142014() (C C C C (1)C C ),
r
r r r
r D D x D x D x D x D x x x x x
x x C -=+++
++
++⨯
-+-++-+
-+
…………………………………12分
其中x
2014
系数为00112233
20142014
2014201420142014201420142014201420142014C C C C C D D D D D -+-++，
又22014201432014(1)(1)(1),x x x x ++⋅-=- ………………………………14分
而二项式32014(1)x -的通项3201412014
C ()r
r r T x -+=， 因为2014不是3的倍数,所以32014(1)x -的展开式中没有x 2014
项，
由代数式恒成立，得
00112233
20142014
2014201420142014201420142014201420142014C C C C C D D D D D -+-+
+=0. …………16分。