泸县第五中学高一数学下学期期末模拟考试试题

四川省泸县第五中学2019-2020学年高一数学下学期期末模拟考试试题
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题
给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．sin14cos16sin 76cos74
+的值是
A ．
2
B ．12
C ．-2
D ．12-
2．在中，如果，则角 A ． B ．
C ．
D ．
3．若12
,e e 是夹角为3π
的两个单位向量，则122a e e 与1232b
e e 的夹
角为
A ．6π
B ．3π
C ．23
π
D ．56π 4．已知数列{}n
a 为等差数列，且1
6
112a a
a π
++=，则()3
9sin a
a +=的值为
A ．
32
B ．
32
-
C ．12
D ．12-
5．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为
103，则h 的值为
A ．
3
2
B 3
C ．33
D ．5
36．在ABC ∆中，已知2
22sin sin sin sin sin A B A B C
+-=，且满足4ab =,则ABC ∆的面
积为 A ．1 B ．2
C 2
D 37．将函数
()sin()f x x =-的图像向左平移3
π个单位长度，再将所得曲
线上的点保持其纵坐标不变，横坐标变为1
2倍，得到的曲线对应
的函数为 A ．sin(2)3y x π
=-+ B ．sin(2)6y x π
=-+
C ．sin(2)
3y x π
=-+
D ．1sin()23
y x π
=-+ 8．关于直线m 、n 与平面α与β,有下列四个命题：
①若m ∥α，n ∥β且α∥β,则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ；
③若m ⊥α,n ∥β且α∥β,则m ⊥n ；④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ；其中真命题的序号是 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③
9．若
4cos 35πα⎛
⎫+=
⎪⎝⎭，则
cos 23πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
A ．23
25
B ．
2325
- C ．7
25
D ．725
-
10．已知数列{}n
a 为各项均为正数的等比数列,n
S 是它的前n 项和，若
174
a a =,且475
22
a a +=
，则5S = A ．32 B ．31 C ．30 D ．29
11．已知函数()
sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π
=-
对称，若
()()124f x f x =-，则12
x x -的最小值为( ）
A ．3
π
B ．23
π
C ．4π
D ．2π
12．在OAB ∆中，已知2OB =1AB =,45AOB ∠=︒，点P 满足
(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，其中λ，μ满足23λμ+=,则OP 的最小值为（
)
A
B
C
D ．
2
第II 卷 非选择题（90分）
二、
填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知tan α3=，则πtan α4⎛⎫- ⎪⎝
⎭
的值是______．
14．在中，，则的面积等
于 ．
15．在长方体11
1
1
ABCD A B C D -中，3AB =，2BC =，1
1AA =，则异面直线1
AB
与1
BC 所成角的余弦值为__________.
16．已知在直角梯形ABCD 中，,AB AD CD AD ⊥⊥，222AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D ABC -,当三棱锥D ABC -的体积取最大值时，其外接球的体积为__________．
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分）已知等差数列{}n
a 中，1
9
a
=，4
70
a
a +=。

（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ)当n 为何值时，数列{}n
a 的前n 项和取得最大值？
18．（12分）已知点(0,0),(2,1),(2,4)O A B -,向量OM OA OB λ=+ （Ⅰ）若点M 在第二象限，求实数λ的取值范围
（Ⅱ）若1λ=,判断四边形OAMB 的形状，并加以证明.
19．（12分）在ABC ∆中，E 是AC 的中点,D 是BC 的中点，3BE =，4AC =. （Ⅰ)求2
2
BA
BC +的值；
（Ⅱ）若90BAD ACB ∠+∠=︒,求ABC ∆的面积。

20．（12分）设数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，已知*2
14,31,+==+∈n n a
a S n N 。

（Ⅰ）求{}n
a 通项公式；
（Ⅱ）求{}1+-n
a
n 的前n 项和n T 。

21．（12分）如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ，22AC BC EB DC ====，
120ACB ∠=︒,Q 为AB 的中点．
（Ⅰ）证明：CQ ⊥平面ABE ； （Ⅱ)求多面体ACED 的体积； （Ⅲ)求二面角A DE B --的正切值．
22．（12分）已知()f x 是定义域为D 上的函数，若对任意的实数
12,x x D ∈，都有：12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫
+≤ ⎪⎝⎭
成立,当且仅当12x x =时取等号，则称函数()f x 是D 上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数
i x D
∈,都有：
12
121
[()()()]()n n x x x f x f x f x f n N n
n *
++
+⎛⎫++≤∈ ⎪⎝⎭
成立，当且
仅当1
2n
x
x x ==
=时取等号，设()sin ,(0,)f x x x π=∈
（Ⅰ）求证：()sin f x x =是(0,)π上的凸函数 （Ⅱ)设()()2g x f x f x π⎛⎫
=+- ⎪
⎝⎭，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，利用凸函数的定义求()g x 的最大值
(Ⅲ)设、、A B C 是ABC ∆三个内角，利用凸函数性质证明
sin sin sin 2
A B C ++≤
2020年春四川省泸县第五中学高一期末模拟考试
数学试题参考答案
1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．D 10．B 11．D 12．A 13．12
-
14． 15．
2
10
16．43
π
17。

(1）由题意,等差数列{}n
a 中,1
9
a
=，4
70
a
a +=，
则1
1
360a d a d +++=，解得2d =-,
所以数列{}n
a 的通项公式为1(1)112n
a
a n d n =+-⋅=-.
（2)法一:1
9
a
=，2d =-，
22(1)
9(2)10(5)252
n n n S n n n n -=+
⋅-=-+=--+， ∴当5n =时，n
S 取得最大值． 法二：由（1）知1
9a
=,
20
d =-<，∴
{}
n a 是递减数列．
令0n a ≥，则1120n -≥，解得11
2
n ≤。

∵
*
n N ∈，∴5n ≤时,0n a >，6n ≥时,0n a <。

∴当5n =时,n
S 取得最大值．
18．解法一：（Ⅰ）设(),M x y ,由已知得()()2,1,2,4OA OB ==-
由OM OA OB λ=+得()()(),2,12,4x y λ=+- 解得22,14x y λλ=-=+即()22,14M λλ-+，
又点M 在第二象限，220
140λλ-<⎧⎨+>⎩
解得1λ>
（Ⅱ）当1λ=时，()()()()0,0,2,1,0,52,4O A M B - 所以()2,4AM =-，OB AM =，
OB AM
且OB AM =所以四边形OAMB 为平行四边形分
又·440OAOB
=-+=即OA OB ⊥ 所以四边形OAMB 为矩形 又5,25OA OB ==
即OA OB ≠，所以四边形OAMB 不是正方形 综上所述，四边形OAMB 为矩形 解法二：（Ⅰ）同解法一； （Ⅱ）因为()()2,1,2,4OA OB ==-
所以·440OAOB
=-+=,得OA OB ⊥ 又()2,1BM =，·
22140OB BM =-⨯+⨯=，得OB BM ⊥ ()2,4AM =-,·22140OA AM =-⨯+⨯=，得OA AM ⊥
所以四边形OAMB 为矩形又5,25OA OB =
=
即OA OB ≠，所以四边形OAMB 不是正方形综上所述，四边形OAMB 为矩形
（说明：未验相邻两边不相等不扣分） 19．由题()
2
22242cos ,BE BA BC BE BA BC BA BC ABC =+∴=++⋅∠
又由余弦定理得2
22162cos AC
AB BC BA BC ABC ==+-⋅∠，两式相加得
2226
BA BC +=；
(2）记BAD θ∠=，CAD ϕ∠=，∵
90C θ+=︒,∴90B ϕ+=︒，
sin sin BD AD
B
θ=
，sin sin CD AD
C
ϕ=，BD CD =，∴
sin 2sin 2B C =,
∴
B C
=或90B C +=︒.
若
90B C +=︒,则90A =︒，故2
21626AB AB ++=∴ AB =∴S = 若
B C
=，则
4,AB BC ==∴
11cos 16A =
，∴sin A =∴S = 综上所述，面积为。

21．（Ⅰ）证明：∵DC ⊥平面ABC ,//BE DC
∴BE ⊥平面ABC
∴
CQ BE
⊥ ①
又∵2AC BC ==，点Q 为AB 边中点
∴
CQ AB
⊥ ②
AB BE B ⋂=
故由①②得CQ ⊥平面ABE
（Ⅱ）过点A 作AM BC ⊥交BC 延长线于点M ∵
,AM BC AM BE
⊥⊥∴
AM ⊥平面BEDC ∴1
·
3
A CED CDE V S AM -∆= ·sin
33AM AC π
==，11212CDE S ∆=⨯⨯=∴13
1333
A CED V -=⨯⨯= (Ⅲ)延长ED 交BC 延长线于S ,过点M 作MQ ES ⊥于Q ，连结AQ 由（Ⅱ)可得：AQM ∠为A DE
B --的平面角 ∵1
//2CD BC ∴2SC CB ==∴2225SE BE SB =+=1MC MS ==
∵SQM
∆∽SBE ∆∴
QM SM
BE SE
=∴
1
225
QM =即5
5
QM =
∴
3
tan 15
5
5
AM
AQM QM
∠=
== 20．解：（1）∵*
131,+=+∈n n a S n N ,∴
21131314
=+=+=a S a ，∴
11
a =，
由1131,1
31,2n n n
n a S n a S n +-=+≥⎧⎨=+≥⎩得()1133n n n n n a a S S a +--=-=,∴14,2n n a a n +=≥， 从而知21244,2
--==≥n n n a a n ，又当1n =时，1
1
a
=也符合,
故1*
4,-=∈n n
a
n N ；
(2）∵
1141
-+-=+-n n a n n ，
∴
12121=++++++
+-n n T a a a n
2114441231-=++++++++
+-n n
()14132
--=+n n n ． 22．(1）设1
0x <，
2x π
<，则
12(
)sin 2
x x f += 12
2x x
+，
又
121211
[()()](sin sin )22
f x f x x x +=+ 12sin 2=⨯122x x
+12cos 2
x x -
sin
≤1212()22
x x x x f ++= 12
cos 12
x x -≤,又10x π<<，2
0x
π<<
∴
当且仅当12
x x =时，12
cos
12
x x -=,上式取得等号， 即1
21(sin sin )sin 2x x +≤122
x x +成立,其中1
x ,2
(0,)
x
π∈，
()sin f x x ∴=是(0,)π上的凸函数.
(2）设()()()2g x f x f x π=+-,(0,)2x π
∈，
()sin f x x
=是
(0,)
π上的凸函数；(0,)2x π∈,(0,)2
2x ππ
-∈，
∴由凸函数的定义得到()2()sin sin()2sin 2sin 224
x x g x x x π
ππ+-=+-≤== (
)
g x ∴。

(3)在ABC ∆中，A B C π++=，
由凸函数的性质得到sin sin sin 3sin 3sin 332
A B C A B C π++++≤==．
所以原不等式得证．。