点差法在解析几何中的运用

“点差法”在解析几何中的运用
解析几何在高考中占有重要地位，一般放在试题倒数第二题，有时也成为压轴题。

在高考中，绝大多数学生只能完成第1问，第2问，因计算量大而难无法完成。

在平时学习及复习过程中，要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法，这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择，这样才能事半功倍。

下面谈谈 什么是“点差法”？什么情况下用“点差法”？
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x M 、),(22y x N ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦MN 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

二次曲线12
2=+ny mx 上两点N M ,，设),,(),,(2211y x N y x M MN 的中点),(00y x Q ，
MN 的斜率为k 。

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)
2(1)1(122222
121 ny mx ny mx 由（1）－（2）得，0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m 又∵)(,
2,2212
12
1021021x x k x x y y y y y x x x ≠=--=+=+
∴000=+nky mx 这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标．．．．．．．．．．．之间关系式。

即已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标。

同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”。

一、 以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、已知抛物线x y 42
=，过点)4,3(P 的直线l 交抛物线于A 、B 两点且点P 平分AB ，求直线l 的方程。

分析：此题涉及到弦AB 的斜率及弦AB 的中点坐标，故采用“点差法”。

解：设),,(),,(2211y x B y x A
则2184)(4))((442121212
2
21
21==⇒-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==AB k x x y y y y x y x y 从而直线l 的方程为052=+-y x
巩固练习1、过椭圆
14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

2、已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G
是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.
3.（2015陕西理20）已知椭圆:E 22
221x y a b
+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，
()0,b 的直线的距离为12
c ．
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）如图，AB 是圆M ：()()2
2
5212x y ++-=
的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．
4．解析 （1）解法一: 由面积法可知111
2222
△MNP S bc a bc a b =
=⋅⇒=，
所以2c e a ===.
b
P
M
解法二: 直线经过
()(),0,0,c b 两点，
由截距式得直线方程为1x y
c b
+=，
由点到直线的距离12d c =
=⇒
2e =， 解法三: 过点
()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=，
则原点O
到直线的距离bc d
a
=
=，
由1
2
d c =
，得2a b ==
2
c a =. (2)由题意知，
()2,1-是弦AB
的中点，且||AB =设1122(,y ),(,y ),A x B x 则221122
4144x y b b +=，①22
22224144x y b b
+=，② ①-②得，12
121111242422
AB AB AB y y k k k x x +⋅=-⇒⋅=-⇒=+-.
因此AB 方程为11
1(2)222
y x y x -=
+⇒=+. 22
22
14122
x y b b y x ⎧+=⎪⎪⇒⎨
⎪=+⎪⎩224820.x x b ++-= 所以12
4x x +=-，21282x x b =-.
所以
12|||AB x x =-==
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例2、已知椭圆C ：13
42
2=+y x ，直线l 过点P （1,1）交椭圆C 于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

解：设),,(),,(2211y x B y x A ),(y x M ，则
⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12
4312
432
222
121y x y x 0))((4))((321212121=+-++-y y y y x x x x 0)1(4)1(301
1
430432121=-+-⇒=--∙+⇒=--∙
+⇒y y x x x y y x x x y y y x
∵点P 在椭圆内部，直线l 与椭圆恒有两个交点
∴点M 的轨迹方程为： 0)1(4)1(3=-+-y y x x 三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例3、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P 的中
点，则12432
12
1=+y x ，12432
22
2=+y x 两式相减得，0)(4)(32
22
12
22
1=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x
x x x 221=+，y y y 221=+，
4
1
2121-=--x x y y
∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。

它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立⎩⎨
⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m
y m x 3 则必须满足22
433x y -<，
即22
433)3(m m -
<，解得1313
213132<<-m
巩固练习5. 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求
实数m 的取值范围.
6.（2015浙江理19）已知椭圆2
212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12
y mx =+对称． （1）求实数m 的取值范围；
（2）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）．
5．解析（1）设AB ：1,y kx n k m ⎛
⎫=+=- ⎪⎝
⎭，设
()()1122,,,,A x y B x y
AB 的中点()00,M x y ．
由2
212x y y kx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
⇒()2222x kx n ++=⇒()222124220k x knx n +++-=．
所以()()2222
1222122164122204122212k n k n kn x x k n x x k ⎧-+->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=
⎪+⎩
，所以0222
022********kn mn x k m n m n y k m -⎧==⎪⎪++⎨⎪==⎪++⎩
代入直线方程0012
y mx =+得，2
222m n m +=-.
代入0∆>解得,
36-
<m 或3
6
>m . 评注本题还可利用点差法2
2AB OM
b k k a
⋅=-来求解.
（2
）令16((0,)k m =
∈，则
12AB x =-=
，
又O
到直线的距离
21
k d +
==
.
所以122
AOB S AB d =
⋅==△，
当且仅当21
2
k =
，即m =. 所以△AOB 的面积的最大值为
2
2.
四、证明定值问题
例4
已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是
AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，
则22
11221x y a b +=，（1）2222221x y a b +=，（2）
()()12-得：2222
121222x x y y a b
--=-，
()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()
21212
21212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP
y y k x x +=
+，221
AB OP
b k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）. 五、求参数的取值范围
例5、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠DEF ，椭圆C ：122
22=+b
y a x ，
以E 、F 为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若点K 满足.3
1
OK =
，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且||||=，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略：
13
42
2=+y x ，21,0(K （Ⅱ）分析：∵||||=，
设MN 的中点为H ，则MN KH ⊥，此条件
涉及到弦MN 的中点及弦MN
设),(),,(),,(002211y x H y x N y x M ，直线l 的斜率为k （)0≠k ， 则 12432
12
1=+y x ① 12432
22
2=+y x ② 由①－②得：
0430))((4))((30021212121=+⇒=+-++-k y x y y y y x x x x 又∵||||=，则
MN KH ⊥，∴
121
0-=∙-
k x y ，从而解得23,200-==y k x ，点),(0
0y x H 在椭圆内，则
2
1
214113422
02
0<<-⇒<⇒<+k k y x 且0≠k
巩固练习 6 （2018全国3理）16．已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2
=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的
直线与C 交于A,B 两点．若∠AMB=900
，则k=________． 【答案】2
【解析】分析：利用点差法进行计算即可。

详解：设
则
所以
所以
取AB 中点,分别过点A,B 作准线
的垂线，垂足分别为
因为
,
因为M’为AB 中点， 所以MM’平行于x 轴 因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率。

7. （2018全国3理）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为
．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【答案】（1）
（2）或
【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。

（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。

详解：（1）设，则.
两式相减，并由得
.
由题设知，于是
.①
由题设得，故.
（2）由题意得，设，则
.
由（1）及题设得.
又点P在C上，所以，从而，.
于是
.
同理.
所以.
故，即成等差数列.
设该数列的公差为d，则
.②
将代入①得.
所以l的方程为，代入C的方程，并整理得. 故，代入②解得.
所以该数列的公差为或.。