优秀教案5-柱体、椎体、台体的表面积与体积

1.3空间几何体的表面积与体积
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
教材分析
本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第1课时柱体、锥体、台体的表面积与体积，这是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学的目的是使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，但不要求记忆公式，并能进一步计算简单组合体的表面积和体积．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用．
教学目标
重点: 了解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用．
难点：台体的表面积与体积问题，以及适度理性分析的渗透．
知识点：柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用．
能力点：通过解决棱柱、棱锥、台体的表面积和体积问题培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力．
教育点：通过学生实际操作和观察学习，使学生感受到几何体表面积和体积的求解过程对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性．
自主探究点：圆台表面积公式的推导过程和台体与柱体和锥体之间的转换关系．
考试点：根据公式计算相关几何体的表面积与体积．
易错易混点：几何体的结构特征的误判和公式的混用与母线等含义的误判.
拓展点：祖暅原理与柱体、锥体的体积．
教具准备多媒体课件、三角板和实物（学生分工分组亲自制作）
课堂模式自主探究
一、引入新课：
首先教师提出问题：在过去的学习中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积求法和它们的展开图，请大家回忆一下，它们的展开图是什么呢？怎样来求它们的表面积？
老师演示正方体和长方体的展开图如下，并引导学生回忆和回答．
图1 正方体及其展开图图2 长方体及其展开图然后设置疑问：正方体和长方体的表面积可以利用它们的展开图（平面图形）来求面积，那么，柱体、锥体、台体的表面积是否也可以利用它们的展开图来求呢？它们的侧面展开图又是什么呢？如何计算它们的表面积？引入课题．
【设计意图】复习表面积的概念，介绍求几何体表面积的方法(把空间问题转化为平面问题).在回顾
已学知识的同时，也为介绍柱体、锥体、台体的表面积作铺垫，同时引导学生将几何体展开为平面图形时一定要注意在何处展开：多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.
二、探究新知:
1．探究多面体表面积的求法：
教师：利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图：
学生：分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ 教师：对学生讨论归纳的结果进行点评，并梳理总结出：
一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积． 例1． 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC -，求它的表面积． 学生：自主探究，分析题目，计算出结果． 教师：提供出规范的解题过程如下：
解：先求△SBC 的面积,过点S 作SD BC ⊥,交BC 于点D ．
因为BC a =,SD=2
2223
.22
a SB BD a a -=+=
所以 2
1133.2224
SBC
S BC SD a a a ∆=⋅=⨯= 因此,四面体的表面积2
2343.4
S a a =⨯
= 【设计意图】具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间，同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础．
2．探究旋转体的表面积的求法：
思考：如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
教师：引导学生分析得出：对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积．
①探究圆柱的表面积的求法：
图柱的侧面展开图是矩形，其长是圆柱底面圆周长，其宽是圆柱的高（母线），
设圆柱的底面半径为r ,母线长为l ,则有圆柱的底面积为2r π，侧面面积为2rl π，因此圆柱的表面积为 ：
B
C
A
S
2222()S r rl r r l πππ=+=+
②探究圆锥的表面积的求法：
圆锥的侧面展开图为一个扇形，其半径是圆锥的母线，其弧长等于圆锥底面周长， 设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,
则有侧面展开图扇形中心角为360r l θ=⨯，那么扇形面积(圆锥侧面展开图面积)为
2(360)360l r
l π⨯，即为rl π， 所以圆柱的表面积为2
()S r rl r r l πππ=+=+．
③探究圆台的表面积的求法：
探究：(1)联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台的展开图的形状，并画出它吗？ (2) 如果圆台的上、下底面半径分别为,r r ',母线长为l ,你能计算出它的表面积吗？
课堂实录：对于圆台表面积的求解，学生的思路没有问题，但是具体的计算有问题．表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设O A l ''''=使得计算复杂；第二是根据三角形相似列式时出错，比如有学生列出的比例式是
r O A r l
'''=等等． 针对上述情况实际教学时，将学生写的解答过程在展台上展示，通过提问“对应边是谁”，纠正错误． 教师通过分析给出：
根据相似三角形得出
r O A r O A l '''=''+，那么rl O A r r ''='
-， 那么扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积，即rl rl r l r rl r l r r r r ππππ⎛⎫⎛⎫''+-=+ ⎪ ⎪''--⎝⎭⎝⎭
， 所以圆台表面积为22
()r r r r l rl π''+++．
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm
，底部渗水圆孔直径为1．5 cm ，盆壁长15 cm ．为了美化花盆的外观，需要涂油漆． 已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升，可用计算器）？
分析：油漆位置在什么地方？→ 如何求花盆外壁表面积？ 只要求
出每个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积．
教师：提供出规范的解题过程如下：
由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积
22
22151520 1.5[()1515]()22221000()0.1()
S cm m ππ=+⨯+⨯-⨯≈= 所以涂100个花盆需油漆：0.11001001000⨯⨯= (毫升）． 答：涂100个这样的花盆约需1000毫升油漆．
【设计意图】正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，同时要注意重合部分的处理让学生.通过日常生活中的实例解决具体的探究几何体的表面积问题，具体体验应用公式的能力以及熟悉半径、母线等含义；主要考察学生的实际应用公式能力和日常生活观察能力及空间想象能力. 巩固练习：1、教科书第27页练习1 （让学生上黑板板书演算过程）
233a m ππ
2、追加变式：半径为4的半圆卷成一个圆锥形容器，则该容器的体积为多少？
838
π
【设计意图】趁热打铁，让学生进一步巩固熟悉立体图形平面展开图与平面图形还原成立体图形思想，主要是空间问题平面化思想.及其公式的再次应用能力.真正让学生成为课堂的主人.
3.柱体、锥体、台体的体积公式
我们已经学习了计算特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式
.
它们的体积公式可以统一为V Sh =(S 为底面面积，h 为高)，
一般柱体的体积为V Sh =，其中S 为底面面积，h 为柱体的高(棱柱或圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点向另外一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离)
圆锥的体积公式为13V Sh =
(S 为底面面积，
h 为高),它是同底等高的圆柱的体积的13
. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱的体积的1
3
，即棱锥的体积13V Sh =(S 为底面面积，h 为高).
一般锥体的体积公式为1
3
V Sh =
，其中S 为底面面积，h 为锥体的高(棱锥或圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离)
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式：
1
()3
V S S S S h ''=++，其中,S S '分别为上、下底面面积，h 为圆台(棱台)的高.
思考1：台体的体积公式你能够证明吗？
分析：（以圆台为例）：如图，设O O x '''=，上下底面的半径分别为r '和r ，圆台的上下底面积分别为s '和s ．
s x r s h s x x h r
s
s
s s ππ
'
'''
===
∴=
+'
-
11111=
s ()33333v h x s x s h s x s x ''∴+-=+-台
1111()()3333h s sh s s s sh s s s s '''=+-=+-'- 111()()333sh s s h s h s ss s ''''=++=++
实际情况：学生只给出思路，具体的计算课后完成.
思考2；柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
三、理解新知：
对于圆柱、圆锥、圆台的表面积公式可以用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可以看作上下两底面全等的圆台；圆锥可以可以看作上底面为零的圆台，因此圆柱圆锥可以看作圆台的特例.这样圆柱圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.同理柱锥台的体积公式也是有它们之间的关系决定的，这样，在台体的公式中，令上下面积相等，得到柱体的体积公式；令上底面的面积为零得到椎体的体积公式.
四、运用新知：
例 3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg （铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个？
教师分析：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 如何求正六边形的面积→ 利用哪些数量关系求个数？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:
22310
12610 3.14()1042
v =
⨯⨯⨯-⨯⨯332956() 2.956()mm cm ≈=
所以螺帽的个数为
5.81000(7.8 2.956)252⨯÷⨯≈
l
r
r'o
o'
O''
ｈ
答：这堆螺帽大约有252个.
【设计意图】让学生了解六角螺帽的机构特征，熟悉正六边形的特点及其求正六边形面积的方法（分割法）、如何求组合体的体积，以及让学生熟悉掌握对于体积公式的具体应用能力.让学生掌握求体积的关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题的思想.
五、课堂小结：
1.柱体、锥体、台体的表面积：
（1）多面体：各面面积之和（空间问题化为平面问题）
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：
2．柱体、锥体、台体的体积：
六、布置作业：
必做题：课本P28 A组1.3.
选做题：课本P30 B组2.
课外延伸：自主学习丛书P108.
七、教后反思:
教学设计亮点：本节主要用联系的观点看待柱、锥、台体的表面积和体积公式、并且推导出柱、锥、台体的表面积和体积公式，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。

在教学过程中让学生体会类比思想，划归思想及转化思想，把主动权交给学生：通过学生动手操作，直观感知，自主探究，合作交流等方式归纳、总结探索出常见几何体的表面积和体积，根据课表要求，适当控制例题、习题的难度，以基础为主，提高学生基本能力及学习兴趣.
课堂教学不足之处：本节内容多公式多习题少容易让学生走马观花般没有在脑子里打上烙印.同时体积公式直接给出，没有做实验也没有推导过程，学生有点被动接受的感觉.
八、板书设计:
柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、课题引入
二、柱体、锥体、台体的表面积1多面体的表面积求解2旋转体的表面积公式
三、柱体、锥体、台体的体积
四、典例讲评
变式练习
五、归纳小结。