安徽省六安市霍邱中学2020年高二数学理联考试卷含解析

安徽省六安市霍邱中学2020年高二数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是
A.2 B、C、D、
参考答案：
D
略
2. 高三（1）班某一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在跑步．
①A不在散步，也不在打篮球；
②B不在跳舞，也不在跑步；
③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；
④D不在打篮球，也不在跑步；
⑤C不在跳舞，也不在打篮球．
以上命题都是真命题，那么D在．
参考答案：
画画
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打篮球，D在画画，即可得出结论．【解答】解：由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打篮球，D在画画，
故答案为画画．
3. 设一组数据的方差是S，将这组数据的每个数都乘以10，所得到的一组新数据的方差是（）
A. 0.1 B．C．10 D．100
参考答案：
D
略
4. 已知，则下列结论不正确的是( )
A．a2<b2 B．ab<b2 C． D．|a|+|b|>|a+b|参考答案：
D
略
5. 若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）
A．1+B．1+C．3 D．4
参考答案：
C
【考点】基本不等式．
【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．
【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4
当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．
∵x=a处取最小值，
∴a=3
故选C
6. 设｛an｝是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+ log3a2+…+ log3a10的值是
（）
A．5 B．10； C．20 D．2或4参考答案：
C
略
7. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了3局的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
8. 过双曲线(a>0，b>0)的右焦点F作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交
于点M 、N (均在第一象限内)，若
则双曲线的离心率为( )
参考答案：
B 略
9. 在圆x 2
+y 2
﹣2x ﹣6y=0内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B
【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．
【专题】数形结合；直线与圆．
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E 最长的弦为直径AC ，最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦BD ，根据两点间的距离公式求出ME 的长度，根据垂径定理得到E 为BD 的中点，在直角三角形BME 中，根据勾股定理求出BE ，则BD=2BE ，然后利用AC 与BD 的乘积的一半即可求出四边形ABCD 的面积．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2=10，
则圆心坐标为（1，3），半径为，
根据题意画出图象，如图所示：
由图象可知：过点E 最长的弦为直径AC ，最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦，则AC=2，
MB=
，ME=
=，
所以BD=2BE=2
=2
，又AC⊥BD， 所以四边形ABCD 的面积S=ACBD=×2×2
=10
．
故选B ．
【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
10. 已知i 是虚数单位，则复数
位于复平面内第几象限（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
B 【分析】
整理
可得：
，该复数对应的点
在第二象限，问题得解。

【详解】由
可得：
，
该复数对应的点在第二象限.
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数对应复平面内的点知识，属于基础题。

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆，直线的方程为
，若圆
上恰有三个点到直线的距离为1，则
实数
.
参考答案：
利用数形结合法，研究直线
与圆
的位置关系，因为，圆上恰有三个点到直
线的距离为1，所以确定（0,0）到直线的距离为1，
.故答案为
.
12. 椭圆的右焦点
的坐标为
.
参考答案：
略
13. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组
蜂巢的截面图.
其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有
7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，
以
表示第
幅图的蜂巢总数，则
=___▲____.
参考答案：
略 14. 抛物线
的焦点坐标是 ．
参考答案：
因为 ,所以焦点坐标是
15. 在ΔABC 中，A 、B 、C 是三个内角，C =30°，那么的值
是_____________。

. 参考答案：
略
16. 函数有3个零点，则的取值范围是 * .
参考答案：
略
17. 若命题“x∈R，使得x2＋(1－a)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）
每年暑期，学校老师都会要求学生在家附近的图书馆查阅大量学习资料，如图所示的茎叶图中记录了暑期中甲组3名同学去图书馆A 查阅资料的次数和乙组4名同学去图书馆B 查阅资料的次数. 且乙组
同学去图书馆B 查阅资料次数的平均数是 .
（Ⅰ）求的值 ；
（Ⅱ）在茎叶图中，从查阅资料次数大于8的同学中任选2名， 求选出的2名同学查阅资料的次数之和大于20的概率.
参考答案：
（I ）在茎叶图中, ……………4分
（II ）茎叶图中, 查阅资料次数大于8的同学共人，设其中查阅资料次数为的二个同学分别为
，查阅资料次数为11的同学为,查阅资料次数为12的二个同学分别为
，
从中任选两人的结果共10种：
……………………………………8分
其中查阅资料的次数之和大于20（记为事件）的结果共有7个：
……………………………………
10分
……………………………………12分
19. 已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），
△OAB的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程；
（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由已知，，又a2=b2+c2，解出即可得出．
（2）设直线l的方程为y=2x+t，则，可得，根据OP⊥OQ，可得k OP?k OQ=﹣1，解出即可得出．
（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，与椭圆方程联立化为（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）=0，利用根与系数的关系可得：为定值5．
【解答】解：（1）由已知，，又a2=b2+c2，解得，
∴椭圆的方程为．…
（2）设直线l的方程为y=2x+t，则由，可得，即
∵OP⊥OQ，∴，
∴直线l的方程为y=2x±2即2x﹣y±2=0．…
（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，
联立椭圆方程得：?（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）=0，∴…
=
…
∴当且仅当32﹣8m2=2m2+8即时（定值）．
即在x轴上存在点E使得为定值5，点E的坐标为或
．经检验，当直线AB为x轴时上面求出的点E也符合题意．…
20. 已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为
S n，且．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）记c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）由已知可得，且a5＞a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列{a n}通
项，数列{b n}中，利用递推公式
（Ⅱ）用错位相减求数列{c n}的前n和
【解答】解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，
∴a3=5，a5=9，公差．
∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．（3分）
又当n=1时，有
∴
当，∴．
∴数列{b n}是首项，公比等比数列，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则（1）
∴=（2）（10分）
（1）﹣（2）得： =
化简得：（12分）
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，求数列{a n?b n}的前n和可采用错位相减法．
21. 在数列中,已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求证:数列是等差数列;
（Ⅲ)设数列满足,求的前n项和.
参考答案：
（Ⅰ）∵∴数列｛｝是首项为,公比为的等比数列,
∴.
（Ⅱ）∵
∴.
∴,公差d=3
∴数列是首项,公差的等差数列.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知,,（n）
∴.
∴, ①
于是②
两式①-②相减得
=.
∴ .
略
22. 已知函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．
（1）当a=2时，求关于实数m的不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）的解集．
（2）求使成立的x值．
参考答案：
【考点】7J：指、对数不等式的解法．
【分析】（1）由a=2得函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，把不等式f（3m﹣2）＜f （2m+5）化为，求出解集即可；
（2）由得出方程x﹣=，求出方程的解并检验是否满足条件．【解答】解：（1）由a=2得，函数f（x）=log2x在定义域（0，+∞）上单调递增，所以不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）可化为：
，
解得＜m＜7；
（2）由，
得log a（x﹣）=log a，
即x﹣=，
化简得2x2﹣7x﹣4=0，
解得x=﹣或x=4；
检验得x=﹣，x=4都满足题意，
故x=﹣或x=4；．。