2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高一年级上册学期第二次检测数学试题【含答案】

2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高一上学期第二次检测数学试题
一、单选题
1．函数()()()lg 3ln 1f x x x =-++的定义域为（ ） A ．[]1,3- B ．()(),13,-∞-⋃+∞ C ．()1,3- D ．()[),13,∞∞--⋃+
【答案】C
【分析】根据()f x 解析式写出()f x 成立需要满足的条件,解出即是定义域. 【详解】解:由题知()()()lg 3ln 1f x x x =-++,
3010x x ->⎧∴⎨+>⎩
, 即13x -<<,
f x 定义域为()1,3-.
故选:C
2．已知集合{}
2
20A x x x =-=，则下列选项中说法不正确的是（ ）
A ．A ∅⊆
B ．2A -∈
C ．{}0,2A ⊆
D ．{}3A y y ⊆<
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断选项B ，根据集合与集合的关系判断选项A 、C 、D. 【详解】由题意得，集合{}0,2A =．所以2A -∉，B 错误； 由于空集是任何集合的子集，所以A 正确； 因为{}0,2A =，所以C 、D 中说法正确． 故选：B ．
3．下列函数中，在其定义域上单调递减的是（ ）
A ．y =
B ．3log y x =
C ．3x y -=
D ．3y x =
【答案】C
【分析】逐一分析给定四个函数在定义域上的单调性，可得答案．
【详解】对于A ，y =[)0,∞+上为单调递增，A 错误； 对于B ，3log y x =在定义域()0,∞+上为单调递增，B 错误；
对于C ，133x
x
y -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
在定义域R 上单调递减，C 正确；
对于D ，3y x =在定义域R 上单调递增，D 错误. 故选：C.
4．设全集U =R ，{1A x x =≤-或}2x >，{}
,B y y x x ==∈R ，则()U
A B ⋃=（ ）
A ．{}1x x <-
B ．{}10x x -<≤
C ．{}12x x -<≤
D ．{}1x x >-
【答案】D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由于{1A x x =≤-或}2x >，{}
{},=0B y y x x y y ==∈≥R ,所以
{}=12U
A x x -<≤，因此
(
){}1U
A B x x ⋃=>-，
故选：D
5．已知函数()f x 为幂函数，且()42f =，则当()()23f a f a =-时，则实数=a （ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
【答案】D
【分析】利用待定系数法，求得函数解析式，并建立方程，可得答案.
【详解】由函数()f x 为幂函数，可设()b
f x x =，则()442b f ==，解得1
2
b =
，即()f x =
由()()23f a f a =-=412a a =-，解得4a =， 故选：D.
6．下列四组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）
A ．()()2
ln ,2ln f x x g x x ==
B ．()()2,f x x g x ==
C ．()()21
1,1
x f x x g x x -=-=+
D ．()(),log (0x
a f x x g x a a ==>且1)a ≠
【答案】D
【分析】根据函数的定义域和解析式逐项分析即可.
【详解】对于A ，()2
ln f x x = 的定义域是R x ∈ 并且0x ≠ ，()2ln g x x = 的定义域是x ＞0 ，不
相等；
对于B ，()f x x = 的定义域是R x ∈ ，(
)2
g x =
的定义域是x ＞0 ，不相等；
对于C ，()1f x x =- 的定义域是R x ∈ ，()21
1
x g x x -=
+ 的定义域是1x ≠- ，不相等； 对于D ，()f x x = 的定义域是R x ∈ ，()log x
a g x a x == 的定义域是R x ∈ ，相等；
故选：D.
7．声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.若普通列车的声强级是95dB ，
高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．610倍 B ．510倍 C ．410倍 D ．310倍
【答案】B
【分析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，由声强级得1129510lg 10I -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
2124510lg 10I -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求出1
2I I 、相除可得答案. 【详解】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ， 因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ， 所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫
= ⎪⎝⎭，
()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫
==+ ⎪
⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫
==+ ⎪
⎝⎭
，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=， 两式相除得 2.55
17.52101010
I I --==，
则普通列车的声强是高速列车声强的510倍. 故选：B. 8．设函数()1
1f x x
=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()1f x -
B ．()1f x -
C ．()1f x +
D ．()1f x +
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义，联系反比例函数的图象即可一一判断求解. 【详解】对于A ，()1
1f x x
-=，图象关于原点对称，是奇函数，故A 正确； 对于B ，()1
111f x x
-=-+不关于原点对称，不是奇函数，故B 错误； 对于C ，()1
12f x x
+=+不关于原点对称，不是奇函数，故C 错误； 对于D ，()1
111f x x
+=++不关于原点对称，不是奇函数，故D 错误； 故选:A.
9．已知函数()()2
2304,01f x x mx m x =-++≤≤≤≤的最大值为4，则m 的值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．22
D ．4
【答案】C
【分析】利用二次函数在给定区间内的最值结合图象可求解. 【详解】2
2
2()232()3,48
m m f x x mx x =-++=--+
+ 04,0 1.4
m
m ≤≤∴≤≤
所以当4m x =时，2
2()2()348
m m f x x =--+
+有最大值， 所以2
348
m +=，解得22m =或22m =-（舍）. 故选:C.
10．已知lg lg 0a b =-≠，则函数()x
f x a -=与函数()lo
g b g x x =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据参数对于指数函数以及对数函数的影响，结合对数函数性质，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A 、B 、C ，由图像可知，对于函数()1x
x
a f x a
-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
=，可知11a >，即01a <<，
由lg lg 0a b =-≠，则1b >，即函数()g x 在()0,∞+上单调递增，故A 、B 错误，C 正确； 对于D ，由图像可知，对于函数()1x
x
a f x a
-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
=，可知101a <<，即1a >，
由lg lg 0a b =-≠，则01b <<，即函数()g x 在()0,∞+上单调递减，故D 错误； 故选：C.
11．已知函数()f x 在定义域R 上单调递减，且()12f =，则不等式()2log 2f x <的解集为（ ） A ．()2,+∞
B ．()10,2,2⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
C ．(
)
2,⎛+∞ ⎝⎭
D ．
)
+∞
【答案】B
【分析】根据题意，结合函数单调性化简不等式可得2log 1x >或2log 1x <-，根据对数函数性质解不等式可得答案．
【详解】因为()12f =，()2log 2f x <，所以()()2log 1f x f <， 又函数()f x 在定义域R 上单调递减，所以2log 1x > 所以2log 1x >或2log 1x <-；即22log log 2x >或221
log 2
log x <， 所以2x >或102x <<，故不等式()2log 2f x <的解集为()10,2,2⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
， 故选：B ．
12．若实数,a b 满足2332a b a b +=+，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．01a b <<< B ．0b a << C ．2a b =< D ．a b =
【答案】C
【分析】构造函数()23,()32x x f x x g x x =+=+，利用数形结合的思想一一判断各个选项是否能成立即可.
【详解】设()23,()32x x f x x g x x =+=+，
则()23,()32x x f x x g x x =+=+都为单调递增函数，
作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为(0,1),(1,5)，
对于A ，作一直线(15)y m m =<<分别与(),()f x g x 图象相交， 交点横坐标为,a b ，且01a b <<<，
此时()()f a g b m ==，即2332a b a b +=+能成立，所以A 不满足题意；
对于B ，
作一直线(0)y n n =<分别与(),()f x g x 图象相交， 交点横坐标为,b a ，且0b a <<，
此时()()f a g b n ==，即2332a b a b +=+能成立，所以B 不满足题意； 对于C ，2,()(2)10a f a f ===，
因为2a b =<，所以2()323413b f b b =+>+=， 所以此时2332a b a b +=+不可能成立，故C 满足题意；
对于D ，0a b 或1a b ==，2332a b a b +=+成立，所以D 不满足题意. 故选:C.
二、填空题
13．设集合{}{11},1,0,1,2A x
x B =-<<=-∣，则A B =__________. 【答案】{}0
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】集合{}{11},1,0,1,2A x
x B =-<<=-∣，则{}0A B ⋂=. 故答案为：{}0 14．函数()1
44
x f x =+的值域为__________. 【答案】10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】根据不等式性质，结合指数函数性质，可得答案. 【详解】由40x >，444x +>，110444x <<+，故()f x 的值域为10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故答案为：10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
.
15．某班50名学生积极参加体育锻炼，其中有48名学生喜欢足球或游泳，30名学生喜欢足球，41名学生喜欢游泳，则该班既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为__________. 【答案】23
【分析】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，再利用容斥原理计算作答. 【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，
依题意，集合A ，B ，A B ⋃中元素个数分别为：()30,()41,()48card A card B card A B ===， 则()()()()30414823card A B card A card B card A B =+-=+-=， 所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有23名. 故答案为：23.
16．德国著名数学家狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，
他定义了一个函数()1,,
0,,x D x x ⎧=⎨⎩
是有理数是无理数有如下四个结论：
①()()0D D x =； ②函数()D x 是偶函数； ③函数()D x 具有单调性；
④已知点()()()()(
)(
)(
)(
)
0,0,2,2,22,22,2,2A D B D C D E D ----，则四边形ABCE 为平行四边形.
其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②④
【分析】根据函数表达式求()D x ，()D x -，()()D D x ，结合函数的单调性和奇偶性的定义判断①，②，③，再结合点的位置判断④.
【详解】当x 为有理数时，x -为有理数，()1D x =，()1D x -=，()()1D D x =， 当x 为无理数时，x -为无理数，()0D x =，()0D x -=，()()1D D x =， 所以①错误；
因为对任意的x ∈R ，()()D x D x =-，所以函数()D x 是偶函数；②正确， 因为()()()1231D D D ===，所以函数()D x 具有单调性；③错误；
因为()()021D D ==，()()
2220D D -=-=，即点A ，B ，C ，E 的坐标分别为()0,1，()2,1，
()
22,0-
，()2,0-，所以()2,0AB =，()2,0EC =，结合图象可得//AB EC ，AB EC =，所以四边
形ABCE 为平行四边形，④正确，
故答案为：②④.
三、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)20.5
3
02132(3.14)3 1.548-
-⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
；
(2)281
lg500lg lg64(lg2lg5)52
+-++.
【答案】(1)1
2 (2)3
【分析】(1)根据公式()
01,1,m
n
m mn m
a
a a a
a -⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
化简. (2)根据()log log log log log n a a a a a M N M N M n M ⋅=+=，
log log log a a a M
M N N
⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，
log 1a a =化简. 【详解】（1）20.5
3
02132(3.14)3 1.548-
-⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1
22
2
3
92731482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭1
2
2
2
2
338212273⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2
3
3
3
241239⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
2
3
243441112392992⎛⎫=--+=--+= ⎪⎝⎭
（2）2
81lg500lg lg64(lg2lg5)52
+-++
23621
lg5lg10lg2lg5lg2(lg10)2
=++--+
lg523lg2lg53lg21 3.=++--+=
18．已知函数()42
531f x x x =++的定义域为[]1,1-，且在区间[]0,1上单调递增.
(1)证明：函数()f x 是偶函数； (2)求函数()f x 的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2)[]1,9
【分析】（1）利用偶函数的定义直接证明； （2）根据偶函数的对称性结合函数的单调性求解.
【详解】（1）证明：函数()f x 的定义域[]1,1-关于原点对称，
又()()4242
5()3()1531f x x x x x f x -=-+-+=++=，
∴函数()f x 是偶函数.
（2）函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，且()f x 是偶函数， ∴函数()f x 在区间[]1,0-上单调递减.
又
()()()119,01f f f -===，
∴函数()f x 的值域为[]1,9.
19．已知函数()()2
124f x x b x b +=+-+-，其中b 为常数.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)若[]1,3x ∈，讨论函数()f x 的单调性.
【答案】(1)()2
3f x x bx =-+
(2)答案见解析
【分析】（1）根据整体思想，利用配方法，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴与定区间的关系，可得答案. 【详解】（1）
()()22124(1)13f x x x bx b x b x +=+-+-=+-++，
()23f x x bx ∴=-+..
（2）二次函数()f x 的图像开口向上，对称轴为直线2
b
x =， ∴当132b <
<，即26b <<时，函数()f x 在1,2b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递减，在,32b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递增； 当32
b
，即6b 时，函数()f x 在[]1,3单调递减； 当
12
b
，即2b 时，函数()f x 在[]1,3单调递增. 综上，当26b <<时，函数()f x 在1,2b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递减，在,32b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递增；
当6b 时，函数()f x 在[]1,3单调递减；当2b 时，函数()f x 在[]1,3单调递增.
20．某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的规律：每生产x 百台产品，其总
成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，生产成本为x 万元（总成本=固定成本+生产成本）
.销售收入()R x （万元）满足：()20.4 4.2,N,0511,N,5x x x x R x x x ⎧-+∈<<=⎨∈≥⎩
假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数()f x 的解析式（利润=销售收入-总成本）；
(2)该工厂生产多少台产品时，可使利润最大？
【答案】(1)()20.4 3.2 2.8,,058.2,,5x x x N x f x x x N x ⎧-+-∈<<=⎨-∈≥⎩
(2)4百台
【分析】（1）由题意，建立函数相减，可得答案；
（2）由分段函数，分情况根据一次函数以及二次函数的单调性，可得答案.
【详解】（1）由题意得() 2.8G x x =+，()()()20.4 3.2 2.8,N,058.2,N,5x x x x f x R x G x x x x ⎧-+-∈<<∴=-=⎨-∈≥⎩
. （2）当5,x x ≥∈N 时，函数()8.2f x x =-单调递减，()()5 3.2f x f ∴≤=（万元）；
当05,x x <<∈N 时，函数()20.4(4) 3.6f x x =--+，
当4x =时，()f x 有最大值为3.6（万元）.
∴该工厂生产4百台产品时，可使利润最大为3.6万元.
21．已知()1log (2)a f x x =++(0a >，且1a ≠)，()(2)g x f x =-.
（1）若函数()f x 的图象恒过定点A ，求点A 的坐标；
（2）若函数()g x 在区间[,2]a a 上的最大值比最小值大1
2，求a 的值.
【答案】（1）(1,1)A -；（2）14a =或4． 【分析】（1）令21x +=，求出x 的值，求出对应y 的值，从而求出A 的坐标即可；
（2）求出()g x 的解析式，通过讨论a 的范围，得到()g x 的单调性，求出()g x 的最大值和最小值，得到关于a 的方程，解出即可．
【详解】（1）当21x +=，即=1x -时，1log 11a y =+=，
所以点A 的坐标为()1,1-.
（2）因为()()1log 2a f x x =++，所以()1log a g x x =+.
当01a <<时，函数()g x 在区间[],2a a 上是减函数，
所以当x a =时，函数()g x 有最大值，且max ()2g x =，
当2x a =时，函数()g x 有最小值，且min ()1log 2a g x a =+， 因为max min 1()()2
g x g x -=， 所以()121log 22
a a -+=， 所以14
a =. 当1a >时，函数()g x 在区间[],2a a 上是增函数，
所以当x a =时，函数()g x 有最小值，且min ()2g x =，
当2x a =时，函数()g x 有最大值，且max ()1log 2a g x a =+， 因为max min 1()()2
g x g x -=， 所以()11log 222
a a +-=， 所以4a =. 综上所述，14
a =或4a =. 22．已知定义在R 上的函数()1
22
x x f x =-. (1)若()32
f x =，求x 的值； (2)若()()()2220t t f t m f t +-≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)1x =
(2)[)3,∞-+
【分析】（1）根据自变量取值范围，去掉绝对值，建立方程，可得答案
（2）代入函数解析式，整理不等式，根据指数函数的性质，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）当0x <时，()0f x =，故()32
f x =无解；当0x ≥时，()122x x f x =-.
由13222x x -=，得2223220x x ⋅-⋅-=，()()
2223220x
x ∴--=，则()()221220x x ⋅+-=， 解得22x =或122
=-x ，20,22x x >∴=，即1x =. （2）当[]1,2t ∈时，()22112222022t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫-+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ()()()2422121t t t m ∴--≥--，()()()()2222212121t t t t m ∴--≥--+.
()22210,221t t t m ->∴-≥-+，2
213221224t t t m ⎛⎫∴≥-+-=--- ⎪⎝⎭. [][]2max
131,2,22,4,2324t t t ⎡⎤
⎛
⎫∈∈∴---=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.
∴实数m 的取值范围是[)3,∞-+.。