【备战】高考数学专题讲座 第26讲 高频考点分析之圆锥曲线探讨

【备战2013高考数学专题讲座】 第26讲：高频考点分析之圆锥曲线探讨
1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，第13讲～第28讲我们对高频考点进行探讨。

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

圆锥曲线具有许多重要的性质，并能直接联系实际应用，在高中数学中占据重要地位。

在高考中所占分值一般为20分左右，且多与其他知识点相结合出现，综合性强，难度较大。

掌握它的一些重要性质，至关重要。

结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下七方面探讨圆锥曲线问题的求解： 1. 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质；
2. 圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题；
3. 点与圆锥曲线的关系问题；
4. 直线与圆锥曲线的关系问题；
5. 动点轨迹方程；
6. 圆锥曲线中最值问题；
7. 圆锥曲线中定值问题。

一、圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质：
典型例题：例1.（2012年全国课标卷理5分）设12F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦
点，P 为直线32
a
x =上一点， ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为【 】
()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45
【答案】C 。

【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。

【解析】∵12F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，
∴212F F c =。

∵∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，
∴0260PF D ∠=。

∵P 为直线32a
x =上一点，∴2232F D OD OF a c =-=-。

∴2203=2()cos 602F D PF a c =
-。

又∵21F F =2PF ，即
3
22()2
c a c =-。

∴3
4
c e a ==。

故选C 。

例2. （2012年全国课标卷理5分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的
准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为【 】
()A ()B ()C 4 ()D 8
【答案】C 。

【考点】双曲线和抛物线的性质。

【解析】x y 162=的准线:4l x =-。

∵C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B 两点，AB =
∴(A -，(4,B --。

设222:(0)C x y a a -=>，则222(4)4a =--=，得2a =，24a =。

故选C 。

例3. （2012年四川省理5分）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =【 】
A 、、、4 D 、【答案】
B 。

【考点】抛物线的定义
【解析】]设抛物线方程为()220y px p =>，则焦点坐标为（
,02p ），准线方程为2
=x p
-。

∵点0(2,)M y 在抛物线上，∴点0(2,)M y 到焦点的距离等于到准线的距离。

33，解得01,p y ==
∴M ，||OM =。

故选B 。

例4. （2012年四川省理5分）方程22
ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在
所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有【 】
A 、60条
B 、62条
C 、71条
D 、80条 【答案】B 。

【考点】分类讨论的思想，抛物线的定义。

【解析】将方程22ay b x c =+变形得2
22
b c y b a x -=
，若表示抛物线，则0,0≠≠b a ∴分b =－3,－2，1，2，3五种情况：
（1）若b =－3，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2
,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; （2）若b =3, ⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23
,2,0,2c ,13
,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a
以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；
同理当b =－2,或2时，共有23条； 当b =1时，共有16条。

综上，共有23+23+16=62条。

故选B 。

例5. （2012年安徽省理5分）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =； 则AOB ∆的面积为【 】
()
A 2
()B
()C
2 ()
D 【答案】C 。

【考点】抛物线的性质。

【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<，BF a =。

∵3AF =，即点A 到准线:1l x =-的距离为3。

∴23cos =3θ+，即1
cos 3
θ=。

2cos()=a a πθ+-。

∴223
=11cos 2
13
a θ=
=++。

∴AOB ∆
的面积为113sin 1(3)22232
S OF AB θ=
⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=C 。

例6. （2012年浙江省理5分）如图，1F ，2F 分别是双曲线
C ：22
221(0)x y a b a b -=>，的左、右两焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于
点
M ．若112||||MF F F =，则C 的离心率是【 】
A
【答案】B 。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的简单性质。

【解析】如图：设线段PQ 的垂直平分线与PQ 交于点N ，
∵ |OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c ，k MN ＝﹣b c 。

直线PQ 为：y ＝b c
(x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b
a x 。

由()b y x c c b y x a ⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；
由()b y x c c b y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)。

∴直线MN 为：y －
bc c a +＝﹣b c (x －ac
c a
-+)。

令y ＝0得：x M ＝3
22
c c a -。

又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝322c c a -，解之得：22
32a c e a ==
，即e。

故选B 。

例7. （2012年江西省文5分）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别
是F 1，F 2。

若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为【 】
A.
14 B. 5
C. 12 1 【答案】B 。

【考点】椭圆的性质，等比关系的性质。

【解析】设该椭圆的半焦距为c ，由题意可得，11221AF a c F F c F B a c =-==+，，，
∵1121,,AF F F F B 成等比数列，∴()()22c a c a c =-+（）。

∴2215c a =，即c e a ==5。

故选B 。

例8. （2012年浙江省文5分） 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。

若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是【 】
【答案】B 。

【考点】椭圆和双曲线的方程和性质。

【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a '，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则222a a '=⨯，即2a a '=，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为c e a '='，c e a =，2e a
e a '=
='。

故选B 。

例9. （2012年福建省文5分）已知双曲线x 2a 2－y 2
5
＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于【 】
A.
31414 B.324 C.32 D.4
3
【答案】C 。

【考点】双曲线的性质。

【解析】因为双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点坐标为(3,0)，所以c ＝3，b 2＝5，则a 2＝c 2－b 2
＝9－5＝4，所以a
＝2，所以e ＝c a ＝3
2。

故选C 。

例10. （2012年江西省理5分）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别
是12,F F 。

若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为 ▲ .
【考点】等比中项的性质，椭圆的离心率，建模、化归思想的应用。

【解析】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，求解方程即可：
由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+，
又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，
故2()()(2)a c a c c -+=，即22
24a c c -=，则22
5a c =。

∴c e a =
=
例11. （2012年天津市文5分）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b
y a x C 与双曲线1164:
2
22=-y x C 有
相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = ▲ b = ▲ 【答案】1，2。

【考点】双曲线的性质。

【分析】∵双曲线的
116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b
y a x 的渐近线为x a b
y ±=， ∴
2=a
b
，a b 2=。

又∵双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点为)0,5(，∴5=c 。

又∵222b a c +=，即2
22545a a a =+=，∴21,1,2a a b === 。

例12. （2012年重庆市文5分）设P 为直线3b y x a =与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e = ▲
【答案】
4。

【考点】直线与圆锥曲线的关系，双曲线的性质。

【分析】设10c
F - （，）， ∵1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，
P 为直线3b y x a =，∴3P bc c a ⎛
⎫ ⎪⎝
-⎭- ，。

又∵3P bc c a ⎛
⎫ ⎪⎝
-⎭- ，在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上，
∴
(
)2
2
2
222
913===84
e a b a c c a bc c a ⎛⎫
⎪⎭=⇒⇒--⎝- 例13. （2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+
m 的值为 ▲ ． 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由
22
214
x y m m -=+
得a b c
∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。

二、圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题：
典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知12F F ，为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，
12PF PF =2，则12cos =F PF ∠【 】
A ．
14 B ．35 C ．34 D ．45
【答案】C 。

【考点】双曲线的定义和性质的运用，余弦定理的运用。

【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

由22
2
2
2122
x y x y -=⇒-=
可知，a b =
2c 。

∴12=4F F 。

设21, PF k PF k ==2，则12PF PF k -=。

∴根据双曲线的定义，得122PF PF k a -===
∴212, PF PF ==
在12PF F ∆中，应用用余弦定理得22212121212328163cos =2324
PF PF F F F PF PF PF +-+-∠==⋅。

故选C 。

例2. （2012年福建省理5分）已知双曲线x 24－y 2b
2＝1的右焦点与抛物线y 2
＝12x 的焦点重合，则该双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于【 】
A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5 【答案】A 。

【考点】双曲线和抛物线的性质。

【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F (3,0)，
∵双曲线x 24－y 2b
2＝1的右焦点与抛物线y 2
＝12x 的焦点重合，
∴双曲线的焦点为F (c,0)
，且2249=5b b b +=⇒⇒。

∵双曲线的渐近线方程为：y ＝±b a
x ，
∴双曲线焦点到渐近线的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
bc a 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
＝b 。

故选A 。

例3. （2012年北京市理5分）在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线2y =4x
的焦点F ，且与该抛物线相
交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方。

若直线l 的倾斜角为60º，则△OAF 的面积为 ▲
【考点】抛物线的性质，待定系数法求直线方程，直线和抛物线的交点。

【解析】根据抛物线的性质，得抛物线2y =4x 的焦点F （1，0）。

∵直线
l 的倾斜角为60º，∴直线l 的斜率
0k=tan60 ∴由点斜式公式得直线l 的方程为)x 1-。

∴
)2
21121x =x =3y =4x 3y x 1y =⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪
⇒⎨⎨⎨
-⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩
∵点A 在x
轴上方，∴(A 3, 。

∴△OAF
的面积为1
12
⨯⨯
例4. （2012年安徽省文5分）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF = ▲ 【答案】
32。

【考点】抛物线的定义和性质。

【解析】抛物线24y x =的准线:1l x =-。

设(0)AFx θθπ∠=<<，BF m =。

∵||3AF =，∴根据抛物线的定义，点A 到准线:1l x =-的距离为3。

∴323cos θ=+，即1cos 3
θ=。

又由BF m =，得2cos()m m πθ=+-，即23
1cos 2
m θ=
=+。

例5. （2012年辽宁省文5分）已知双曲线22 =1x y -，点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若
12PF PF ⊥,则12PF PF +的值为 ▲ .
【答案】
【考点】双曲线的定义、标准方程以及转化思想。

【解析】
由双曲线的方程可得1,a c ==1222PF PF a -==。

∴2
2
1122
24PF PF PF PF -+=。

∵12PF PF ⊥，∴2
2
212
(2)8PF PF c +==。

∴1224PF PF =。

∴2
12()8412PF PF +=+=。

∴12PF PF +=
例 6. （2012年重庆市理5分）过抛物线2
2y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若
25
,,12
AB AF BF =
<则AF = ▲ . 【答案】
56。

【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，方程思想的应用。

【分析】设直线的方程为)2
1
(-
=x k y （由题意知直线的斜率存在且不为0）， 代入抛物线方程，整理得04
)2(2
2
2
2=++-k x k x k 。

设1122(,),(,)A x y B x y ，则122
21x x k +=+。

又∵2512AB =
，∴1225
112
x x ++=。

∴122132112x x k +==+，解得224k =。

代入04
)2(22
2
2=+
+-k x k x k 得1214
,33x x ==。

∵||||AF BF <，∴13x =。

∴5
||6
AF =。

例7. （2012年安徽省文13分）如图，21F F 分别是椭圆C ：22a x +22
b y =1（0>>b a ）的左、右焦点，
A 是椭圆C 的顶点，
B 是直线2AF 与椭圆
C 的另一个交点，1260F AF ο∠=.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）已知1AF B ∆面积为403，求,a b 的值
【答案】解：（I ）∵1260F AF ο
∠=，∴12AF
F ∆是等边三角形。

∴2a c =。

∴椭圆C 的离心率1
2
c e a =
=。

（Ⅱ）设2BF m =；则12BF a m =-。

在12BF F ∆中，∵12=F F a ，0
1120F
FB ∠=，
∴222
12122122cos120BF BF F F BF F F ο
=+-⨯⨯，
即222(2)a m m a am -=++，解得3
5
m a =。

∴235BF a =
，137
2=55
BF a a a =-。

∴1211sin 602AF B S F F AB ο∆=
⨯⨯
⨯13()25a a a =⨯⨯+=， 解得10a =。

∴1
=5, 2
c a b =
= 【考点】椭圆性质和计算，余弦定理。

【解析】（I ）根据1260F AF ο
∠=可知12AF
F ∆是等边三角形，从而可得2a c =，求出离心率。

（Ⅱ）根据余弦定理，用a 表示出2BF ，1BF ，从而表示出AB ，利用1AF B ∆面积为403列方程求解即可。

三、点与圆锥曲线的关系问题：
典型例题：例1. （2012年浙江省理4分）定义：曲线C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线C 到
直线l 的距离．已知曲线1C ：2y x a =+到直线l ：y x =的距离等于曲线2C ：22
(4)2x y ++=到直线l ：
y x =的距离，则实数a = ▲ ．
【答案】7
4。

【考点】新定义，点到直线的距离。

【解析】由C 2：x 2＋(y ＋4) 2
＝2得圆心(0，—4)，则圆心到直线l ：y ＝x
的距离为：d =
=。

∴由定义，曲线C 2到直线l ：y ＝x
的距离为d d r d '=-= 又由曲线C 1：y ＝x 2
＋a ，令20y x '==，得：12
x =
，则曲线C 1：y ＝x 2
＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，1
4
a +)。

∴7
4
d a '===
⇒=。

例2. （2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线2
1249
y x =
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .
（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
【答案】解：（1）5.0=t 时，P 的横坐标P 7
7=
2
x t =，代入抛物线方程21249y x =得P 的纵坐标P 3y =。

∵A（0，12）， ∴AP 。

/时。

由tan∠OAP=7
2tan OAP 3+12730∠==，得OAP arc 30
tan 7
∠=，
∴救援船速度的方向为北偏东arctan
7
30
弧度。

（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2
t t 。

由222)1212()7(++=
t t vt ，整理得2222
11144()337144()625v t t t t -=+
+=+。

∵当1t t
=即t =1时2v 最小，即25≥v 。

∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。

【考点】曲线与坐标。

【解析】（1）求出A 点和P 点坐标即可求出。

（2）求出时速v 关于时间t 的函数关系式求出极值。

例3. （2012年福建省理13分）如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率
e ＝12
，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（II ）设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）∵|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，∴|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8。

又∵|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，∴4a ＝8，a ＝2。

又∵e ＝12，即c a ＝12，∴以c ＝1。

∴b ＝a 2－c 2
＝3。

∴椭圆E 的方程是x 24＋y 2
3
＝1。

（II ）由22=++143
y kx m x y ⎧⎪⎨⎪⎩得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2
－12＝0。

∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，∴m ≠0且Δ＝0， ∴64k 2m 2
－4(4k 2
＋3)(4m 2
－12)＝0，化简得4k 2
－m 2
＋3＝0①， 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m 。

∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4k m ，3m 。

由=4
=+x y kx m
⎧⎨⎩得Q (4,4k ＋m )。

假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上。

设M (x 1,0)，则MP →·MQ →
＝0对满足①式的m 、k 恒成立。

∵MP →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－4k
m
－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，
∴由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 2
1＋12k m
＋3＝0，
整理，得(4x 1－4)k
m
＋x 2
1－4x 1＋3＝0②。

∵②式对满足①式的m ，k 恒成立，∴121
144=0
4+3=0x x x ⎧--⎪⎨⎪⎩，解得x 1＝1。

∴存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M 。

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。

【解析】（Ⅰ）根据过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8，可得4a =8，即a =2，利用e ＝12
，b ＝a 2－c 2
，即可求得椭圆E 的方程。

（Ⅱ）由22=++143
y kx m x y ⎧⎪⎨⎪⎩ 消元可得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2
－12＝0，由动直线l 与椭圆E 有且只有一个
公共点P (x 0，y 0)，可得m ≠0，△=0，进而可得4k 2－m 2
＋3＝0①，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m 。

由=4=+x y kx m ⎧⎨⎩
得Q (4,4k ＋
m )。

假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上。

设M (x 1,0)，则MP →·MQ →
＝0对满
足①式的m 、k 恒成立。

由MP →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－4k m
－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )和MP →·MQ →
＝0得(4x 1－4)k m
＋x 21－4x 1＋3
＝0②。

由②式对满足①式的m ，k 恒成立，得121144=0
4+3=0
x x x ⎧--⎪⎨⎪⎩，解得x 1＝1。

故存在定点M (1,0)，使得以
PQ 为直径的圆恒过点M 。

例4. （2012年福建省文12分）如图所示，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：
x 2＝2py (p ＞0)上．
（I ）求抛物线E 的方程；
（II ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．
【答案】解：（I ）依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°。

设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝43，y ＝|OB |cos30°＝12。

因为点B (43，12)在x 2
＝2py 上，所以(43)2
＝2p ×12，解得p ＝2。

故抛物线E 的方程为x 2＝4y 。

（II ）由（I ）知y ＝14x 2，y ′＝1
2
x 。

设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14
x 2
0。

由200
11241y x x x y ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩得200421x x x y ⎧-=⎪⎨
⎪=-⎩。

所以Q ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x 2
0－42x 0，－1。

假设以PQ 为直径的圆恒过定点M ，由图形的对称性知M 必在y 轴上，设M (0，y 1)，令MP →·MQ
→＝0对满足y 0＝14
x 2
0(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立。

由MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2
0－4
2x 0，－1－y 1， 由于MP →·MQ →＝0，得x 2
0－42
－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 2
1＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0(*)。

由于(*)式对满足y 0＝14x 2
0(x 0≠0)的y 0恒成立，所以121
1
102+20
y y y -=⎧⎨-=⎩
，解得y 1＝1。

故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)。

【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。

【解析】（I ）依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°，从而可得B (43，12)，利用点B (43，12)在x 2
＝2py 上，可求抛物线E 的方程。

（II ）由（I ）知y ＝14x 2，y ′＝12x ，设P (x 0，y 0)，可得l 的方程为y ＝12x 0x －14
x 2
0，与y =－1联立，
求得Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2
0－42x 0，－1。

假设以PQ 为直径的圆恒过定点M ，由图形的对称性知M 必在y 轴上，设M (0，y 1
)，
由 MP →
·MQ →＝0，得(y 2
1＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0。

所以12
11102+20
y y y -=⎧⎨-=⎩解得y 1＝1。

故以PQ 为直径的圆恒过y
轴上的定点M (0,1)。

四、直线与圆锥曲线的关系问题：
典型例题：例1. （2012年辽宁省文5分）已知P ，Q 为抛物线2
2x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为【 】 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 【答案】C 。

【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。

【解析】∵点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，∴代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8，2。

由22x y =得2
12
y x =
，∴y x '=。

∴过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2。

∴过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22y x y x =-=-- 。

联立方程组解得1,4x y ==- 。

∴点A 的纵坐标为-4。

故选C 。

例2. （2012年湖北省理5分）如图，双曲线()22
22-=1>>0x y a b a b
的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，
两焦点为12,F F 。

若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D 。

则 （Ⅰ）双曲线的离心率e= ▲ ；
（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值
1
2
=S S ▲ 。

【答案】
；
【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算。

【解析】
（Ⅰ）由已知()()()22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
22
4
=+-=2--3+=0bc b c a
b c c a c a c a c a c a
⇒⇒⇒
4
2
-3+1=0e e
，解得
2
e e ⇒ （Ⅱ）由已知得1=2S bc ，又直线22B F 的方程为()=-
-b y x c c ，而直线OA 的方程为=c
y x b
， 联立解得222
2
22
=+=+b c
x b c bc y b c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，
∴22
22222=4
++b c bc S b c b c ，()
()
()()
(
)2
2
2
222221
222222222
2
2222+2-2-12=
====222-2-14++b c c a e S bc b c bc S b c c a c e e b c b c。

例3. （2012年全国大纲卷理12分）已知抛物线2:(1)C y x =+与圆222
1:(1)()(0)2
M x y r r -+-=> 有
一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l 。

（1）求r ；
（2）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

【答案】解：（1）设200(,(1))A x x +，对2(1)y x x ==+求导得2(1)y x '=+。

∴直线l 的斜率02(1)k x =+，当01x =时，不合题意，∴01x ≠。

∵圆心为1(1,)2
M ，MA 的斜率2001(1)21
x k x +-'=
-，
由l MA ⊥知1kk '=-，即20001
(1)22(1)11
x x x +-+⨯
=--，解得0
0x =。

∴(0,1)A 。

∴||2
r MA === （2）设2
(,(1))a a +为C 上一点，
则在该点处的切线方程为2(1)2(1)()y a a x a -+=+-即2
2(1)1y a x a =+-+。

若该直线与圆M 相切，则圆心M
21
|2(1)11|
2a a +⨯--+=，化简可得22(46)0a a a --=
，解得0120,22a a a ===
∴抛物线C 在点2
(,(1))(0,1,2)i i a a i +=处的切线分别为,,l m n ，其方程分别为
21y x =+① 2112(1)1y a x a =+-+② 2222(1)1y a x a =+-+③。

②－③得12
22
a a x +=
=，将2x =代入②得1y =-，故(2,1)D -。

∴D 到直线l 的距离为
d =
=。

【考点】抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，点到直线的距离。

【解析】（1）两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来。

首先设出切点坐标，求出抛物线方程的导数，得到在切点处的斜率。

求出圆心坐标，根据两直线垂直斜率的积为－1列出方程而求出切点坐标。

最后根据点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离即圆的半径。

（2）求出三条切线方程，l 可由（1）求出。

m 、n 的切线方程含有待定系数，求出它即可求得
交点坐标，从而根据点到直线的距离公式求出D 到l 的距离。

例4. （2012年全国课标卷理12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值。

【答案】解：（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角三角形，斜边
2BD p =。

点A 到准线l 的距离d FA FB ===。

∵ ABD S ∆=1
2
BD d ⨯⨯= ∴2p =。

∴()0, 1F ，FB =。

∴ 圆F 的方程为22
(1)8x y +-=。

（2）由对称性设2
00(,)(0)2x A x x p
>，则(0,)2p F
∵,,A B F 三点在同一直线m 上，
∴点,A B 关于点F 对称，得：200(,)2x B x p p --。

∴2022
x p p p -=-，即2
203x p =
∴3,)2p A
，直线3:2p p p m y x -
=+
，整理得0x =。

∴直线m。

又∵直线n 与m 平行，∴直线n。

由2
2x py =得2
2x y p
=，∴x y p '=。

∵直线n 与C
只有一个公共点，∴令3
x y p '=
=
x p =。

∴切点)6p P 。

∴直线:6p n y x -
=
，整理得0x p = ∴坐标原点到,m n
3=。

【考点】抛物线和圆的性质，两直线平行的性质，点到直线的距离，导数和切线方程。

【解析】（1）由已知0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24，根据抛物线和圆的性质可求得2p =以及
()0, 1F
，FB =F 的方程。

（2）设2000(,)(0)2x A x x p >，根据对称性得2
00(,)2x B x p p
--，由B 在准线l 上得到2
203x p =，从
而求得A B ，的坐标（用p 表示），从而得到直线m 的方程和斜率。

由直线n 与m 平行和直线n 与C 只有一个公共点，应用导数可求出直线n 的方程。

因此求出坐标原点到,m n 距离的比值。

例5. （2012年上海市文16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2
2
:21C x y -= （1）设F 是C 的左焦点，M 是C
右支上一点，若MF =，求点M 的坐标；（5分）
（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为k
（k <l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ
（6分）
【答案】解：（1）由双曲线2
2:112
x C y -=
得左焦点(0)F 。

设),(y x M
，则2222||(2MF x y =+=+， 由M
是右支上一点，知x ≥
，所以||MF ==
x =。

当x =
y =
∴M 。

（2
）左顶点(0)A ，渐近线方程：x y 2±=。

过A 与渐近线x y 2=
平行的直线方程为：)2
y x =+，即12+=x y . 解方程组⎩⎨⎧+=-=1
22x y x y
，得12x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩。

∴ 所求平行四边形的面积为||||S OA y == （3）设直线PQ 的方程是b kx y +=。

1=，即122+=k b (*)。

由⎩⎨
⎧=-+=1
22
2y x b kx y ，得012)2(2
22=----b kbx x k 。

设()()1122, , P x y x y 、Q ，则1222
1222212kb x x k b x x k ⎧
+=⎪-⎪
⎨--⎪=⎪-⎩
， ∴2222
2
12122
2
2
122()()=++=
222b kb b k y y kx b kx b k kb b k k k ---=++⋅
⋅
---，
∴ 2222212122
2
2
121=
222b b k b k OP OQ x x y y k
k
k
-----⋅=+=
+
---。

由(*)知0OP OQ ⋅=，∴OP ⊥OQ 。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，直线与圆的位置关系，双曲线的性质。

【解析】（1）求出双曲线的左焦点F 的坐标，设),(y x M ，
利用22
2||(MF x y =++求出x ，推出M 的坐标。

（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出平行四边形的面积。

（3）直线PQ 的方程是b kx y +=，通过直线PQ 与已知圆相切，得到12
2
+=k b 1，通过求解
0OP OQ ⋅=证明OP ⊥OQ 。

例6. （2012年北京市理14分）已知曲线C ：22(5m)x (m 2)y 8(m R)=∈－＋－ （1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；
（2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y kx 4=+与曲线c 交于不同的两点M 、N ，直线y=1与直线BM 交于点G 。

求证：A ，G ，N 三点共线。

【答案】（1）原曲线方程可化为：22x y 1885m m 2
=＋－－。

∵曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，
∴885m m 2
8
05m
8
0m 2>>>⎧⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪⎩
－－－－，是7m 52<<。

∴若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，则m 的取值范围为7m 52
<<。

（2）证明：∵m=4，∴曲线c 的方程为22x 2y 8=＋。

将已知直线代入椭圆方程化简得：
()
2
22k
1x 16kx 24=0+++。

由()()()
2
22=16k 42k 124=322k 30>∆-⋅+⋅-得，
23k 2
>。

由韦达定理得：M N M N
2216k 24
x +x =x x =2k 12k 1
-
⋅++，。

设()()()M M N N G M x kx 4N x kx 4G x 1++ ，，，，，。

则MB 的方程为M M kx 6
y=
x 2x +-，∴M M 3x G 1kx 6⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，。

AN 的方程为N N
kx 2
y=
x 2x ++。

欲证A ，G ，N 三点共线，只需证点G 在直线AN 上。

将M M 3x G 1kx 6⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，代入N
N kx 2y=x 2x ++，得N M
N M kx 23x 1=2x kx 6+⋅++， 即M N N M N M kx x 6x =3kx x 6x -⋅-⋅+，即()M N M N 4kx x 6x x =0⋅++， 即2224
16k 46=02k 12k 1⎛⎫
⋅
+⋅- ⎪++⎝⎭
，等式恒成立。

由于以上各步是可逆的，从而点M M 3x G 1kx 6⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，在直线AN 上。

∴A，G ，N 三点共线。

【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用，求直线方程，三点共线的证明。

【解析】（1）根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于0得不等式组求解即得m 的取值范围。

（2）欲证A ，G ，N 三点共线，只需证点G 在直线AN 上。

故需求出含待定系数的直线MB 和AN 的方程，点G 的坐标，结合韦达定理的应用用逆推证明。

也可通过证明直线MB 和AN 在y=1时横坐标相等来证A ，G ，N 三点共线或直线AN 和AG 斜率相等。

还可用向量求解。

例7. （2012年北京市文14分）已知椭圆C ：
222
2
x y =1a
b
+
（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率
直线y=k(x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N （1）求椭圆C 的方程 （2）当△AMN
时，求k 的值 【答案】解：（1）∵椭圆C 的一个顶点为A （2，0
），离心率为
2
∴c a=2e=a ，。

∴222b =a c =42=2--。

∴椭圆C 的方程为22
x y =142+。

（2）将y=k(x －1)代入22
x y =142
+，并整理得，()
22222k 1x 4k x 2k 4=0+-+-。

设()()M M N N M x y N x y ，，，，
∴22M N M N 224k 2k 4
x +x =
x x =2k 12k 1
-⋅++，。

在y=k(x －1)中令y=0，得x=1。

∴()()AMN M N M N M N k 11
S =1y y =kx k kx k =
x x 222
∆⋅⋅-----
k
22k 1+ 平方，并整理得427k 2k 5=0--，解得k=1±。

【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用。

【解析】（1）由已知A （2
，0），离心率为2，根据公式c
e=a
和222b =a c -求出a b ，，即可求得椭圆C 的方程。

（2）将y=k(x －1)代入22
x y =142
+，应用韦达定理求得M N M N x +x x x ⋅，。

根据三角形面积公式
和已知的△AMN ，列式求解。

例8. （2012年四川省理12分）如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成M A B ∆，且
2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。

（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||
||
PR PQ 的取值范围。

【答案】解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ），显然有x >0且0≠y 。

当∠MBA =90°时，点M 的坐标为（2，, ±3）。

当∠MBA ≠90°时，x ≠2。

由2MBA MAB ∠=∠得
tan∠MBA =MAB
MAB ∠-∠2
tan 1tan 2，即2||
2
||1||21()1
y y x y x x +-=--+ 化简得：22330x y --=。

而点（2，,±3）在22330x y --=上。

∵=0y 时，=1x ，∴1x >。

综上可知，轨迹C 的方程为22330x y --=（1x >）。

(II)由方程⎩⎨⎧=--+-=0
3322
2y x m x y 消去y ，可得0342
2=++-m mx x 。

（*） 由题意，方程（*）有两根且均在（1，+∞）内，设34)(22++-=m mx x x f ，
∴⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧>+--=∆>++-=>--0)3(4)4(0341)1(1242222m m m m f m ，解得，m >1且m ≠2。

设Q 、R 的坐标分别为(,),(,)Q Q R R x y x y ，由PR PQ <有
22R Q x m x m ==。

∴)
1
1(3241)11(32)1
1(32)1(32)1(3222222
m
m m m m m m x x PQ PR Q R --+-=---
+=---+==。

由m >1且m ≠2得
117<-<+
17-+
≠。

∴
PQ
PR
的取值范围是())347,7(7,1+ 。

【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法，倍角公式的应用。

【解析】（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ），当∠MBA =90°时，可直接得到点M 的坐标为（2，, ±3）；当∠MBA ≠90°时，由2MBA MAB ∠=∠应用倍角公式即可得到轨迹C 的方程。

（Ⅱ）直线2y x m =-+与22330x y --=联立，消元可得0342
2=++-m mx x ①，利用①有两根且均在（1，+∞）内可知，m ＞1，m ≠2。

设Q ，R 的坐标，求出x R ，x Q ，利用R
Q PR x PQ
x =
，即可确定PR PQ
的取值范围。

例9. （2012年天津市理14分）设椭圆22
22+=1x y a b
(>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上
且异于A ，B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为1
2
-
，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||=||AP OA ，证明直线OP 的斜率k
满足|k 【答案】解：（Ⅰ）设00P x y （，）
，∴22
0022+=1x y a b
①； ∵椭圆22
22+=1x y a b
(>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ,∴()()00A a B a - ，,，。

∴0000
AP BP y y k k x a x a
=
=+-，。

∵直线AP 与BP 的斜率之积为1
2
-
，∴222002x a y =-。

代入①并整理得()
222
02 0a b y -=。

∵0y ≠0，∴2
2
2 a b =。

∴222
212a b e a -==。

∴2
e =。

∴椭圆的离心率为
2。

（Ⅱ）证明：依题意，直线OP 的方程为y kx =，设00P x y （，）
，∴22
0022+=1x y a b
， ∵0>>0,0a b kx ≠ ，∴()2
20022
+1kx x <a a。

∴()222
01+k x <a ②。

∵||=||AP OA |，()0A a - ，，∴()()2
2
200x a kx a ++=。

∴()
220012 0k x ax ++=。

∴02
21a
x k
=
+。

代入②得()2
22
2
21+1a k <a k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，∴2k ＞3。

∴直线OP 的斜率k
满足|k
【考点】圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质。

【分析】（Ⅰ）设00P x y （，）
，则220022+=1x y a b
，利用直线AP 与BP 的斜率之积为1
2-，即可求得椭圆的离心率。

（Ⅱ）依题意，直线OP 的方程为y kx =，设00P x y （，），则220022+=1x y a b ，代入可得()2
20022
+1kx x <a a
，利用||=||AP OA ，()0A a - ，，可求得02
21a
x k
=
+ ，从而可求直线OP 的斜率的范围。

例10. （2012年天津市文14分）已知椭圆2222+=1x y a b (>>0)a b ，点
P )2
a ，在椭圆上。

（I ）求椭圆的离心率。

（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。

【答案】解：（I ）∵点
P )
在椭圆上，∴22
22+=1a a b ⎫⎫
⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

∴225=8b a 。

∴222
2
38a b e a -==。

∴4
e =。

（II ）设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y kx =。

设点Q 的坐标为00x y （，），由条件得002200
22+
1 =
y kx x y a
b =⎧⎪
⎨⎪⎩， 消元并整理可得22
2
02222+a b x k a b
= ①。

∵|AQ|=|AO|，A （－a ，0），00y kx =，
∴()2
22200x a k x a ++=。

∴()
22001+2k x ax =- 。

∵0x ≠0，∴02
21+a
x k
=-。

代入①，整理得(
)
2
2
22
21+4+4a k
k b
=⋅。

∵228=5
a b ，∴()2
22321++45k k = ，整理得242+52152k k k --，解得2=5k 。

∴=k 。

∴直线OQ
的斜率的值为
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质。

【分析】（I ）根据点
P )2
a ，
在椭圆上，可得22
222+=1a a b ⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可求椭圆的离心率。

（II ）设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y kx =，设点Q 的坐标为00x y （，）
，与椭圆方程联立，求得222
02222+a b x k a b
=，根据|AQ|=|AO|，A （－a ，0），00y kx =，可求02
21+a
x k =-，两式联立由此可求直线OQ 的斜率的值。

例11. （2012年安徽省理13分） 如图，12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>
的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点
P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2
a x c
=于点Q ；
（I ）若点Q 的坐标为(4,4)；求椭圆C 的方程； （II ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点。

【答案】解：（I ）由12(,0),(,0)F c F c -，得点，11(,)(0)P c y y ->代入22221x y a b
+=得：2
1b y a =。

∵22PF QF ⊥ ，Q (4,4)，∴2
4014b a c c c
--⨯=----①。

又∵2
4a c
= ② ， 222(,,0)c a b a b c =->③，
由①②③解得：2,1,a c b ===
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=。

（II ）设22(,)a Q y c ，则∵22PF QF ⊥，∴2
22
1b y a a
c c c c
--⨯=----，解得22y a =。

∴2
22PQ b a c
a k a a c c
-
==+ 。

又∵22221x y a b +=，且点P
在椭圆的上半部分，∴y =
22b x
y -'=。

∵过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x c
PQ c
k y k a
=-'
==
=， ∴过点P 与椭圆C 相切的直线与直线PQ 重合。

∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点。

【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系。

【解析】（I ）根据椭圆的性质2
2
2
c a b =-，点Q 在2
a x c
=上和22PF QF ⊥得到三个关于,,a b c 的方程，
求解即得。

（II ）求出直线PQ 的斜率和过点P 与椭圆C 相切的直线斜率，证明二者相等即可。

例12. （2012年浙江省理15分）如图，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，其左焦点到点
(2,1)P
．．．．O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求ABP ∆面积取最大值时直线l 的方程．
【答案】解：(Ⅰ)由左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)
d =
=21c =。

由椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12得：1
2c e a ==。

∴24a =。

∴23b =。

∴所求椭圆C 的方程为：22
+143x y =。

(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝1
2
x 。

设A (x A ，y A )，B (x B ， y B )，AB 的中点R (x 0，y 0)，其中y 0＝1
2
x 0。

∵A ，B 在椭圆上，
∴22
02
2
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒=
=-=-=-⎨-+⎪=⎪⎩。

设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣3
2
x m +(m ≠0)，
代入椭圆：22
22+143
333032
x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨
⎪+⎪⎩＝-。

显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->，
m
m
m ＜0或0＜m
又有：A B x x +＝m ，A B x x ＝23
3
m -，
∴|AB |
A B x x -|
∵点P (2，1)到直线l
的距离为：d =
=
，
∴S ∆ABP ＝12d |AB |＝1
2
|m －
设()()()2
2=412u m m m --，
∵()(
)()()
=4411u'm m m m --
，
且当1m <()
0u'm >；当10m <时，()0u'
m <，
∴当=1m
S ∆ABP 最大。

（=4
m m ，m ＜0或
0＜m 。

此时直线
l 的方程y ＝﹣3
1
2
x +-3+22x y -+。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程和性质，导数的应用。

【解析】（Ⅰ）由题意，根据离心率为 1
2
，其左焦点到点P
（2，1，建立方程，即可求
得椭圆C 的方程。

（Ⅱ）设A (x A ，y A )，B (x B ， y B )，AB 的中点R (x 0，y 0)，由A ，B 在椭圆上，求得3
2
AB k =-。

设直
线AB 的方程为l ：y ＝﹣3
2
x m +(m ≠0)， 用m 表示出|AB |和点P (2，1)到直线l 的距离，从而表示出ABP
∆面积，应用导数知识求出ABP ∆面积最大时m 的值即可。

例13. （2012年湖南省文13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为1
2
的椭圆E 的一个焦点为圆22420C x y x +-+=：的圆心. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为1
2
的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标.
【答案】解：（Ⅰ）由2
2
420x y x +-+=，得2
2
(2)2x y -+=，故圆Ｃ的圆心为点(2,0)。

设椭圆Ｅ的方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>其焦距为2c 。

由题设知1
2,2
c c e a ==
=，∴22224,12a c b a c ===-=。

∴椭圆Ｅ的方程为：
22
11612
x y +=。

（Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为
10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x -=--=-且1212
k k =。

由1l 与圆22:(2)2c x y -+=
=
即222
010020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦。

同理可得222
020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦。

∴12,k k 是方程022
0000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦的两个实根，于是
2022
00(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪
⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩
① 且2
0122
22
2(2)2
y k k x -==-- 由22
00
2
02
01,161221
(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩
得2
0058360x x --=，解得02,x =或0105x =。

由02x =-得03y =±；由0185x =
得0y =它们都满足①式。

∴点Ｐ的坐标为(2,3)-，或(2,3)--
，或18(
5
，或18(,5。

【考点】曲线与方程、直线与曲线的位置关系。

【解析】（Ⅰ）据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为1
2
，得出关于点P 坐标的一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标。

例14. （2012年重庆市理12分） 如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段12,OF OF 的中点分别为21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形. （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（5分）
（Ⅱ）过1B 作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程（7分）
【答案】解：（Ⅰ）设所求椭圆的标准方程为
222
2
1(0)x y a b a b +
=>>。

∵12AB B ∆是直角三角形且12||||AB AB =，∴01290B AB ∠=。

∴2||||OA OB =，即2
c
b =。

∵222c a b =-，∴2224b a b =-，即225a b =。

∴224c b =。

∴e =。

在21B AB Rt ∆中，12OA B B ⊥，∴1221221
||||||||2
AB B S B B OA OB OA b ∆===。

由题设条件得24b =，∴220a =。

∴椭圆的标准方程为
22
1204
x y +=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知12(2,0),(2,0)B B - 。

根据题意，直线P Q 的倾斜角不为0，故可设直线P Q 的方程为2x my =-， 代入椭圆方程，得(*)0164)5(2
2
=--+my y m 。

设1122(,),(,),P x y Q x y 则12,y y 是(*)方程的两根， ∴12245m y y m +=
+，122
16
5
y y m -⋅=+。

又∵111222(2,),(2,)B P x y B P x y =-=- ，
∴1212(2)(2)B P B P x x ⋅=--12y y +1212(4)(4)my my y y =--+
2
12(1)m y y =+124()16m y y -++222216(1)161655m m m m -+=
-+++221664
5
m m -=-+。

由22PB QB ⊥，知220B P B Q ⋅=，即2
16640m -=，解得2m =±。

∴满足条件的直线方程为22,220220x y x y x y =±-++=-+=即或。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程和性质，直角三角形和等腰三角形的性质，待定系。