决战2021年九年级中考数学复习知识点过关梳理练习：几何变换综合题(三)【有答案】

决战2021年中考数学复习知识点过关梳理练习：
几何变换综合题（三）
1．如图1，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N 分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．
（1）观察猜想：
图1中，PM与PN的数量关系是，位置关系是．
（2）探究证明：
将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD 分别交于点G、H，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．
2．【问题背景】
（1）如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，则＝；
【知识应用】
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式，并说明理由？
（3）如图3，△ABD和△CBD均为等边三角形，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．若AE＝4，CE＝1，求BF的长．
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD 绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF＝AF；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形．
4．问题发现：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．拓展探究：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC
＝90°，请直接写出线段AD的长度．
5．如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．
观察猜想
（1）①OE与CE的数量关系是；
②∠OEC与∠OAB的数量关系是；
类比探究
（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
拓展迁移
（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD＝，OB＝3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．
6．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB 绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：PA＝DC；
②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离为．
7．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．
（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？；（直接写出结果）
（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）①当BD为何值时，∠DEC＝30°；（直接写出结果）
②点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出△DEC周长的
最小值；若不存在，请说明理由．
8．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，将边AB绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D做BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是，△BCD的面积为；
（2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时
针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；
（3）探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
9．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（I）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．
求证：（1）△BAD≌△CAE；
（2）BC＝DC+EC．
（Ⅱ）如图，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED．
（1）△BAD≌△CAE的结论是否仍然成立？并请你说明理由；
（2）若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
10．如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，点E是线段CD上一点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转60°得到线段OF，连接DF．（1）求证：DF＝CE；
（2）连接EF交OD于点P，求DP的最大值；
（3）如图2，点E在射线CD上运动，连接AF，在点E的运动过程中，若AF＝AB，求OF 的长．
参考答案
1．解：（1）PM＝PN，PM⊥PN，理由如下：
延长AE交BD于O．
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEO，
∴∠CBD+∠BEO＝90°，
∴∠BOE＝90°，即AE⊥BD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM＝BD，PN＝AE，
∴PM＝PN，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC+∠BDC＝90°，∴∠MPA+∠NPC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
即PM⊥PN．
故答案是：PM＝PN，PM⊥PN．
（2）如图②中，设AE交BC于O．
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，
∠ACB＝∠ECD＝90°．
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE＝∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．
又∵∠AOC＝∠BOE，
∠CAE＝∠CBD，
∴∠BHO＝∠ACO＝90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM＝BD，PM∥BD；
PN＝AE，PN∥AE．
∴PM＝PN．
∴∠MGE+∠BHA＝180°．
∴∠MGE＝90°．
∴∠MPN＝90°．
∴PM⊥PN．
（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM＝BD，∴当BD的值最大时，PM的值最大，△PMN的面积最大，∴当B、C、D共线时，BD的最大值＝BC+CD＝6，
∴PM＝PN＝3，
∴△PMN的面积的最大值＝×3×3＝．
2．解：（1）如图1，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴BQ＝BC，∠BAQ＝∠BAC＝60°，
在Rt△ABQ中，∠B＝30°，
∴AQ＝AB，
根据勾股定理得，BQ＝＝AB，
∴BC＝2BQ＝AB，
∴＝，
故答案为；
（2）①证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠CAE，
在△DAE和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）；
②CD＝AD+BD；
理由：如图2中，作AH⊥CD于H，
∵△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，
在Rt△ADH中，同（1）的方法得，DH＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD；
（3）证明：如图3，作BG⊥AE于G，连接BE．∵E、C关于BM对称，
∴BC＝BE，FE＝FC，
∴BM垂直平分CE，
∴∠BNE＝90°，∠EBN＝∠CBN，
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴AB＝BE，
又∵BG⊥AE，
∴∠ABG＝∠EBG，∠BGE＝90°，
∴∠EBG+∠EBN＝∠ABC＝60°，
∴四边形BNEG中，∠CEG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠CEF＝60°，
又∵FE＝FC，
∴△EFC是等边三角形；
∵AE＝4，EC＝EF＝1，
∴AG＝GE＝2，FG＝3，
在Rt△BGF中，∵∠BFG＝30°，
∴BG＝BF，
根据勾股定理得，BF2﹣（BF）2＝FG2＝9
∴BF＝2．
3．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
．
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD＝∠ACE．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．
∵点F是DE的中点，∠DAE＝∠DCE＝90°．
∴AF＝DE，CF＝DE．
∴CF＝AF；
（2）解：符合条件的等腰直角三角形有：△ABC，△ADE，△ADF，△AFE．理由如下：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，则△ABC是等腰直角三角形．在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，则△DEA是等腰直角三角形．
在等腰Rt△ADE中，∵点F是DE的中点，
∴AD⊥DE，AF＝DF＝EF＝DE，
∴△ADF，△AFE都是等腰直角三角形．
4．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴AC＝BC＝EC+CD；
故答案为：60°，AC＝DC+EC；
（2）BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）作AE⊥CD于E，连接AD，
∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，
∴点B，C，A，D四点共圆，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，
∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴AE2+（5﹣AE）2＝17，
∴AE＝1，AE＝4，
∴AD＝或AD＝4．
5．解：（1）①如图1中，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵∠AOD＝90°，AE＝DE，
∴OE＝AD，EC＝AD，
∴OE＝EC．
②∵EO＝EA，EC＝EA，
∴∠EAO＝∠EOA，∠EAC＝∠ECA，
∵∠OED＝∠EAO+∠EOA＝2∠EAO，∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝2∠EAC，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠OEC＝2（∠OAE+∠EAC）＝90°，
∴∠OEC＝2∠OAB，
故答案为OE＝EC，∠OEC＝2∠OAB．
（2）结论成立．
理由：如图2中，延长OE到H，使得EH＝OE，连接DH，CH，OC．
由题意△AOB，△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ABO＝∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵AE＝ED，∠AEO＝∠DEH，OE＝EH，
∴△AEO≌△DEH（SAS），
∴AO＝DH，∠A＝∠EDH＝45°，
∴∠CDH＝∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，BC＝CD，
∴DH＝OB，
∴△HDC≌△OBC（SAS），
∴CH＝OC，∠HCD＝∠OCB，
∴∠HCO＝∠DCB＝90°，
∴∠COE＝∠CHE＝45°，
∵OE＝EH，
∴CE⊥OE，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OEC＝2∠OAB，OE＝EC．
（3）①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC．
由（1）（2）可知△OEC是等腰直角三角形，
∵BC＝BD＝1，OB＝3，
∴OC＝OB﹣BC＝3﹣1＝2，
∴OE＝OC＝．
②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC．同法可得OE＝OC＝（3+1）＝2，
综上所述，OE的长为或2．
6．（1）①证明：如图1中，
∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，∴PB＝PD，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴PA＝DC．
②解：如图1中，设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．
（2）解：结论：CD＝PA．
理由：如图2中，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴＝＝，
∴CD＝PA．
（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N．如图3﹣1中，当△PBA是钝角三角形时，
在Rt△ABN中，∵∠N＝90°，AB＝6，∠BAN＝60°，
∴AN＝AB•cos60°＝3，BN＝AB•sin60°＝3，
∵PN＝＝＝2，
∴PA＝3﹣2＝1，
由（2）可知，CD＝PA＝，
∵∠BPA＝∠BDC，
∴∠DCA＝∠PBD＝30°，
∵DM⊥PC，
∴DM＝CD＝
如图3﹣2中，当△ABP是锐角三角形时，同法可得PA＝2+3＝5，CD＝5，DM＝CD ＝，
综上所述，满足条件的DM的值为或．
故答案为或．
7．解：（1）由旋转变换的性质可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）AC+CD＝CE，
证明：由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE，
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，
∴CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD；
（3）①BD为2或8时，∠DEC＝30°，
当点D在线段BC上时，∵∠DEC＝30°，∠AED＝60°，
∴∠AEC＝90°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝2，
当点D在线段BC的延长线上时，∵∠DEC＝30°，∠AED＝60°，∴∠AEC＝30°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝30°，又∠B＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝2AB＝8，
∴BD为2或8时，∠DEC＝30°；
②点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
则△DEC的周长＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE，
当点D在线段BC上时，△DEC的周长＝BC+DE，
当点D在线段BC的延长线上时，△DEC的周长＝BD+CD+DE＞BC+DE，∴△DEC的周长≥BC+DE，
∴当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD，
AD的最小值为2，
∴△DEC的周长的最小值为4+2．
8．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠A＝∠ABC＝45°，
由旋转的性质可知，BA＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝45°，
在△ACB和△DEB中，
，
∴△ACB≌△DEB（AAS）
∴DE＝AC＝BC＝3，
∴△BCD的面积＝×3×3＝，
故答案为：DE＝BC；；
（2）作DG⊥CB交CB的延长线于G，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBG＝90°，又∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DBG，
在△ACB和△BGD中，
，
∴△ACB≌△BGD（AAS），
∴DG＝BC＝a，
∴△BCD的面积＝×BC•DG＝a2；
（3）作AN⊥BC于N，DM⊥BC交CB的延长线于M，∵AB＝AC，AN⊥BC，
∴BN＝BC＝a，
由（2）得，△ANB≌△BMD，
∴DM＝BN＝a，
∴△BCD的面积＝×BC•DM＝a2．
9．解：（Ⅰ）（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△BAD≌△CAE
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD；
（Ⅱ）（1）△BAD≌△CAE的结论仍然成立，
理由：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝9，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝＝6，
∵∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝DE＝6．
10．（1）证明：由题意知∠FOE＝∠DOC＝60°，∴∠FOE﹣∠DOC﹣∠DOE，
即∠FOD＝∠EOC，
在矩形ABCD中，AC＝BD＝2OC＝2OD，
∴OC＝OD，
又∵OF＝OE，
∴△FOD≌△EOC（SAS），
∴DF＝CE；
（2）解：在△ODC中，OD＝OC，∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，∠OCD＝60°，
又△FOD≌△EOC，
∴∠FDO＝∠ECO＝60°，
在△OEF中，OE＝OF，∠EOF＝60°，
∴△OEF是等边三角形，∠OEF＝60°，
∴180°﹣∠FDP﹣∠FPD＝180°﹣∠OEP﹣∠OPE，即∠DEP＝∠DOE，
又∠FDP＝∠ODE＝60°，
∴△FDP∽△ODE，
∴，
设DF＝CE＝x，则DE＝1﹣x，
∴，
∴DP＝﹣x2+x＝，
∴DP的最大值为．
（3）解：①在矩形ABCD中，AB＝1，∠COD＝60°，∴AD＝，∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠FDA＝∠FDO﹣∠ODA＝30°，
如图1，过点F作FM⊥AD于点M，
设FM＝m，则MD＝m，AM＝m，又∵AF＝AB＝1，
∴在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，
∴＝1，
∴m
1＝，m
2
＝1（舍去），
∴sin∠FAM＝，
∴∠FAM＝30°，
∴∠FAO＝60°，且AF＝AB＝AO，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF＝1．
②如图2，过点A作AN⊥DF于点N，则∠FDA＝30°，
∴∠DAN＝60°，AN＝，
∴cos∠FAN＝，
∴∠FAN＝30°，
∴∠FAO＝120°，
又∠AOD＝120°，
∴∠FAO＝∠AOD，
又AF＝AO＝OD，
∴△OAF≌△AOD（SAS），
∴OF＝AD＝．
综合以上可得，OF＝1或．。