塔什库尔干塔吉克自治县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

塔什库尔干塔吉克自治县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列式子表示正确的是（ ）
A 、{}00,2,3⊆
B 、{}{}22,3∈
C 、{}1,2φ∈
D 、{}0φ⊆ 2． 设函数的集合
，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P 中函数
的图象恰好经过Q 中
两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10
3． 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A ．2=1
B ．2=1
C ．2=2
D ．2=2
4． 与圆C 1：x 2+y 2﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2+y 2﹣14x ﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 5． 如右图，在长方体
中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将
次到第次反射点之间的线
段记为
，
，将线段
竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A B C
D
6． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y ﹣1=0； ②x 2+y 2=3； ③+y 2=1； ④
﹣y 2=1．
在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④
8． 下列式子中成立的是（ ） A ．log 0.44＜log 0.46 B ．1.013.4＞1.013.5 C ．3.50.3＜3.40.3 D ．log 76＜log 67
9． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A ∈ 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f <<
11．已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ）
A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n
B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥n
D ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β
12．已知直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8平行，则实数m 的值为（ ）
A ．﹣7
B ．﹣1
C ．﹣1或﹣7
D ．
二、填空题
13．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．
14．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P （400＜X ＜450）=0.3，则P （550＜X ＜600）= ．
15．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的
体积是 ．
16．已知f （x ）=，则f （﹣）+f （）等于 ．
17．设()x x
f x e
=
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
18．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
三、解答题
19．已知椭圆C ： +
=1（a ＞b ＞0）与双曲线
﹣y 2=1的离心率互为倒数，且直线x ﹣y ﹣2=0经过椭圆
的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．
20．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为2
325x t y t ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C 的方程为25sin ρθ=．
Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；
Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P 的坐标为(3,5)，求PA PB +．
21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥． （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=o
，求三棱锥1C AA B -的体积．
22．（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
24．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若，求实数k的值；
（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．
塔什库尔干塔吉克自治县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参
考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】
试题分析：空集是任意集合的子集。

故选D。

考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。

2．【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个
3．【答案】D
【解析】解：由题意知圆半径r=，
∴圆的方程为2=2．
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
4．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．
【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，
；；
∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．
故选C．
5．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；
A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

6．【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=，
则=，又sin2α+cos2α=1，
解得sinα=，cosα=（负值舍去）．
则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）=．
故选B．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．
MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为=
∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），
∵①4x+2y ﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意． ②x 2+y 2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y 得5x 2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN 的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y 得9x 2﹣24x ﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN 的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y 得7x 2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN 的垂直平分线有交点，
故选D
8． 【答案】D
【解析】解：对于A ：设函数y=log 0.4x ，则此函数单调递减∴log 0.44＞log 0.46∴A 选项不成立 对于B ：设函数y=1.01x ，则此函数单调递增∴1.013.4＜1.013.5 ∴B 选项不成立 对于C ：设函数y=x 0.3，则此函数单调递增∴3.50.3＞3.40.3 ∴C 选项不成立
对于D ：设函数f （x ）=log 7x ，g （x ）=log 6x ，则这两个函数都单调递增∴log 76＜log 77=1＜log 67∴D 选项成立 故选D
9． 【答案】A
【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且
05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1
考点：集合与元素的关系. 10．【答案】A
【解析】
考
点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
11．【答案】C
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
12．【答案】A
【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】[0，2]．
【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；
命题q：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．
∵q是p的充分不必要条件，
∴q⊊p，
∴，
解得0≤a≤2，
则实数a的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
14．【答案】0.3．
【解析】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，
∴正态分布曲线的对称轴为x=500，
∵P（400＜ξ＜450）=0.3，
∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键．15．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高
由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
16．【答案】4．
【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=．
f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣）=f（）=2×=，
∴f（）+f（﹣）=+．
故答案为：4．
17．【答案】3 5
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 18．【答案】 6 ．
【解析】解：双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，即为：
﹣
=1，
可得a=3， 则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率
，
又∵直线x ﹣y ﹣2=0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…
∴椭圆方程为：
．…
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m •（k ≠0，m ≠0），M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2） 联立
消去y 并整理得：（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣1）=0…
则，
于是
…
又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列． ∴
…
由m ≠0得：
又由△=64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）=16（4k 2﹣m 2+1）＞0，得：0＜m 2＜2 显然m 2≠1（否则：x 1x 2=0，则x 1，x 2中至少有一个为0，
直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） …
设原点O 到直线的距离为d ，则
∴故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为（0，1）…
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．
20．【答案】
【解析】Ⅰ∵:25sin C ρθ= ∴2
:25sin C ρρθ= ∴22:250C x y y +-=，即圆C 的标准方程为22
(5)5x y +-=．
直线的普通方程为530x y +--=． 所以，圆C 的圆心到直线的距离为
0553
32
2
2
+--=
． Ⅱ由22(5)553
x y y x ⎧+-=⎪⎨=-++⎪⎩，解得152x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩或251x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩
所以
21．【答案】（143.
【解析】
试题分析：（1）有线面垂直的性质可得1BC AB ⊥，再由菱形的性质可得11AB A B ⊥，进而有线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证三角形1A AB 为正三角形，再由于勾股定理求得AB 的值，进而的三角形1A AB 的面积，又知三棱锥的高为3BC =，利用棱锥的体积公式可得结果.
考
点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式. 22．【答案】
2222||||(31)(552)(32)(551)32
PA PB +=-+---+--=
【解析】解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得，∴f（x）的增区间为，减区间为．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”⇔“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0⇒x=e a﹣1﹣1．
当x∈（﹣1，e a﹣1﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数．
当x∈（e a﹣1﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
“g（x）≥0在x≥0时恒成立”⇔“e a﹣1﹣1≤0”，即e a﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1．
故a的取值范围是（﹣∞，1]．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
结合AB⊥AD，可得
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），
P（0，0，λ）（λ＞0）
∴，，
得，，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．
∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
则，解之得λ=±2
∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）
设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，
由，，得到，
令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）
∴cos＜，
由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．
24．【答案】
【解析】
【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；
（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，
，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；
方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设，
则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN
面积的最大值．
【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以
解得a=0，r=2，…（2分）
所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）
（II）方法一：因为，…（6分）
所以，∠POQ=120°，…（7分）
所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）
又，所以k=0．…（9分）
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）
由题意得：…（7分）
因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，
又，
所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）
化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，
所以k2=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）而，即
…（13分）
当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）
当直线l的斜率k≠0时，设
则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0
所以
同理得到．…（11分）
=…（12分）
因为，
所以，…（13分）
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）。