2018学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：3.3第5

利用图解法求得线性规划问题的最优解 一、课前准备 1、课时目标：
（1）知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； （2）过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； （3）情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德. 2、基础预探：
（1） 在求可行域的过程中，对于线性约束条件，用y 的系数的符号比用点的坐标代入来的
更快捷.当0b >时，不等式0a x b y c ++>表示的区域是直线0ax by c ++=的_______________；不等式0ax by c ++<表示的区域是直线0ax by c ++=的__________，当0b <时，不等式0ax by c ++>表示的区域是直线0ax by c ++=的________；不等式0ax by c ++<表示的区域是直线0ax by c ++=的____________. （2） 求线性目标函数z ax by =+的最大值或最小值，首先做出直线0ax by +=，再将该直
线_________移动，使直线和可行域有公共点，再观察在可行域中使(0)z b b >或(0)z
a a
>最大或最小时所经过的点，该点的坐标就是__________解. 二、基本知识习题化
1、点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是 （ ） A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a = C ．724a -<< D ．247a -<<
2、不等式组3,
0,20,x x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
表示的平面区域面积是（ ）
A ．28
B ．16
C ．
39
4
D ．121 3、已知实数,x y 满足510110,3020300,0,0,,
x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪
≥⎨⎪≥⎪∈⎪⎩则68z x y =+的最大值为______________
4、已知,x y 满足条件1,2,27,y x y x y ≤+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
则z x y =+的最大值为_________
三、学习引领
最优整数解问题，就是在有些线性规划问题中，变量要求取整数，因此其最优解也必须为整
点，解答这类问题可以先解决一般的线性规划问题（不考虑整数），再在可行域内适当调整，从而确定最优整数解即可. 四、典例导析：
例1、某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg 要用煤9吨，电力4kw ，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg 要用煤4吨，电力5kw ，劳力10个.又知制成甲产品1kg 可获利7万元，制成乙产品1kg 可获利12万元.现在此工厂只有煤360吨，电力200kw ，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？ 思路导析：设未知量，建立目标函数，根据平面区域求最值.
解：设此工厂应生产甲、乙产品x kg,y kg ，利润z 万元，则依题意可得约束条件：
94360,45200,310300,0,0,
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩利润目标函数为712z x y =+ 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图）， 作直线:7120l x y +=，把直线向右上方平移至1
l 位置时，直线经过可行域上的点M 时，此时
712z x y =+取得最大值.
解方程组45200,
310300,
x y x y +=⎧⎨
+=⎩得点M 的坐标为
(20,24)
所以应生产甲20千克、乙产品24千克，才能获得最大经济效益
变式练习1、某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包，生产高档蛋糕1千克分别需要面粉100克、
糖200克、鸡蛋300克，生产普通面包分别需要面粉300克、糖200克、鸡蛋100克.现已在库存量面粉为15千克，糖12千克，鸡蛋15
千克，若在此基础上进行生产，请
列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
例2、某人有楼房一幢，室内面积共计1802
m ，拟分割成两类房间作为旅游客房 .大房间每间面积为182
m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为132
m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间才能获得最大收益？ 思路导析：按线性规划问题的步骤.
解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元，则,x y 满足185180,
10006008000,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩且
200150z x y =+
作出可行域如图
作出直线:2001500l x y +=即，:430l x y +=
平行移动，当到达B 点时（记为1l ），2
0150z x y =+的纵截距最大，解185180,
10006008000,
x y x y +≤⎧⎨
+≤⎩得
2060(
,)77B ，但2060
,77
N ∉，所以2060(,)77不是最优解，于是将从1l 向左下方平移，平移过程中，最早
经过可行域的整点可能为(0,12)，(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0),它们对应的值一次为36,34,35,36,34,35,33,31,32分别与50的乘积.
所以当经过(0,12)和(3,8),时，z 取得最大值，所以应隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润.
规律总结：最优解不一定都在边界上，如果要求的最优解是可行域中的整数解，且直观上不
易确定最优解，那么在求得非整数解后，可以在其附近按可行域中的最优解应满足的必要条
件对x 的取值一一列举.由边界直线方程分别求得对应y 的最大（或最新）整数值，再代入目标函数分别计算并比较大小，如能适当推理估计，则过程更简.
变式练习2、经调查，某高校,A B 两个专业拟招收新生.已知A 专业招收100名新生需配备教师：教授1人，副教授4人；B 专业招收100名新生需配备教师：教授1人，副教授2人.A
专业新生每年的学费为6000元；
B 专业新生每年的学费为5000元.这所高校为,A B 两个专业配备的教师确定为：教授不超过5人，副教授不超过16人.问,A B 两个专业每年从这两个专业的新生中招收多少名新生收缴的学费最多？
例3、已知36x ≤≤，
1
23
x y x ≤≤,求x y +的最大值和最小值. 思路导析：要求x y +的最值，可令x y b +=，则b 为斜率为-1的平行直线系在y 轴上的截
距，将已知条件转化为不等式组，作出平面区域（可行域）
解：设x y b +=，题设条件可转化为
作出它们在平面直角坐标系内围成的区域如图所示，则b 为斜率为-1的平行直线系在y 轴上的截距.当直线
x y b +=往右平移时，b 随之增大，经过不等式组所表示
的平面区域的点(3,1),时，b 取最小值，即min 314b =+=；
当直线x y b +=经过点(6,12),时，b 取最大值，即max 61218b =+=.
所以x y +的最大值和最小值分别是18和4.
规律总结：这类问题的解题思路是在直角坐标平面内，根据条件确定平面区域，并将最值问
题转化为直线在坐标轴上的截距问题来解决.
变式练习3、已知实数,x y 满足2,
2,03,x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
则2z x y =-的取值范围是_______________
五、随堂练习：
1、设变量,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则目标函数24z x y =+的最小值为（ ）
Ａ．6 Ｂ．-6 Ｃ．10 Ｄ．-10
2、设变量,x y 满足约束条件240,250,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩则目标函数32z x y =+的最小值为（ ）
A.90
B.80
C.70
D.40
3、设变量,x y 满足约束条件36,2,,y x x y y x ≥-⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
4、设变量,x y 满足约束条件60,280,04,03,
x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎪
⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则目标函数23z x y =+取得最大值的最优解为
5、设变量,x y 满足约束条件21,02,01,y x y x -≥⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩则目标函数224z y x =-+的最小值为
6、设变量,x y 满足约束条件250,350,250,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
则目标函数22
(1)(1)z x y =+++的最大值和最
小值为？
六、课后作业：
1、设变量,x y 满足约束条件1,0,0,x y y x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
则z x y =-的最大值为（ ）
A -1
B 1
C 2
D -2
2、设点(,)P x y ，其中,x y N ∈，满足3x y +≤的点P 的个数是（ ） A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数个
3、若变量,x y 满足约束条件330,
00,
x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
则21y z x +=-的取值范围为
4、设变量,x y 满足约束条件5,26,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩则目标函数68z x y =+取得最大值的点的坐标是
___________
5、变量,x y 满足约束条件1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值为？
6、写出满足不等式组3-2-20,440,260,,,
x y x y x y x y Z >⎧⎪++>⎪
⎨+-<⎪⎪∈⎩的解集.
答案：
一．2.（1）上方，下方，下方，上方 （2） 平行，最优
二．1 C 解析： 由题意知(92)(1212)0a a -+--+<，即(7)(24)0a a +
-<，
724a ∴-<< 2．B 解析：依题意作出可行域如图，因为直线0x y +=与直线20x y -+=垂直，所以ABC 为直角三角形，易得
(1,1),(3,3),(3,5)A B C --
，||||AB AC == ，
211
||
||(41622
ABC
S
AB AC ∴=
==
3.96 ，解析：作出可行域如图，令z =0，则
:680,34l x y x y +=+=
即，当移动直线过图中的点A 时，68z x y =+取得最大值，解方程组3020300,
510110,
x y x y +=⎧⎨+=⎩，得(4,9)
A ，
代入68z x y =+，得max 96z =
4．5解析：依题意作图，z x y =+，即y x z =-+，交点5
(,2)2
A ，
(2,3)B ，所以过B 点时z 取最大值为5.
四． 变式训练1： 解析：设设高档蛋糕和普通面包应各生产x 千克和y 千克，则(,)x y 所满
足的数学关系式为10030015000,20020012000,30010015000,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即3150,60,3150,0,0,
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩分别画出不等式组中各不等式
所表示的区域，然后取交集.如图所示的平面区域（阴影部分）就是不等组所表示的 区域.
变式训练2： 设A 专业招收新生100x 人，B 专业招收新生100y 人，每年收缴的学费为z 元，
则5,4216,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩600000500000z x y =+，作出可行域如图，做直线:600000
5000000l x y +=，即
:650l x y +=，把直线向右上方平移至1l 的位置时，
直线经过可行域上的点P ，这时
600000500000z x y =+取得最大值，解方程组
5,
4216,x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得P 点的坐标为（3,2）把3,2x y ==代入600000500000z x y =+得2800000z =元。

变式训练3 解析：依题意作出可行域如图，直接求出各直线交点(2,0),(1,3),(5,3)A B C -， 再求1234,5,7,[5,7]z z z z ==-=∴∈-
五．1.B 解析：只需画出线性规划区域如图，可知，24z x y =+的最
小值为-6.
2 .C 解析：依题意作出可行域如图，由32z x y =+，得
322
z
y x =-+，要求z 的最大值，可求2z 的最大值，即斜率
为3
2
-的直线在可行域内在y 轴上截距的最大值，如图，显然
直线过A 点时，在y 轴上的截距最大，联立240,
250,
x y x y +=⎧⎨
+=⎩得
(10,20)
A ，所以
32z x y
=+的最大值为
31022z =⨯+
⨯=
3. B 解析：依题意作出可行域如图，直接求出各直线交点
(2,0),(1,1),(3,3)A B C ，则目标函数2z x y =+的最小值为
3.
4. （4,3） 解析：作出可行域如图，直线23x y z +=，过(4
,3)A 时，z 最大
5. 4 解析：作出可行域如图，当直线224z y x =-+过可行域上点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小，又点(1,1)B ，所以min 4z =
6. 依题意作出可行域，由250,
250,
x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得(1,3)A ，由
250,350,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得(3,4)B ，由350,250,
x y x y --=⎧⎨+-=⎩得(2,1)C ，22(1)(1)z x y =+++表示可行域内的点到点(1,1)--的距离
的平方，以(1,1)--B
时，z 最大，当圆经过点C 时，z 最小，所以max 41z =，
min 13z =
六．1．B 解析： 依题意找到可行域，对于直线y x b =+，b 越大，z 越小。

2. A 解析：选择单位长度，找整数点。

3. (,2][1,)-∞-+∞解析：作出可行域如图， 21
y z x +=-理解为区域上的点(,)P x y 与点(1,2)Q -连线的斜率，由
0221,2311
AQ OQ k k +====---，结合图形分析知，21y z x +=-的取值范围为(,2][1,)-∞-+∞。

4. (0,5) 解析：如图，画出可行域，可知，直线68z x y
=+可化为348z y x =-
+，其斜率1314
k =->-，故经过点(0,5)时，直线的纵截距8z 最大，从而z 最大。

5. 5 解析：作出可行域如图，交点坐标为
(1,2),(3,4)A B ，表示可行域一点到原点的距
离，可知22x y +的最小值是2
||=5AO .
6. {(3,1),(2,1),(2,0),(2,1),(1,0),(1,1)}--- 解析：作出可行域，
求得(4,2)C -，即04x <<，3x =时，由第3式知道0y <，由第2式知道74
y >-，所以有唯一解(3,1)-，2x =时，有(2,1),(2,0),(2,1)-，1x =时，有(1,0),(1,1)-，
解集为{(3,1),(2,1),(2,0),(2,1),(1,0),(1,1)}---，共6个元素。

。