简谐运动的表达式动力学表达式

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特别提示 如单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡 态，则g为等效重力加速度，大体有这样几种情 况(1)不同星球表面g=GM/r2;(2)单摆处于超重或 失重状态等效g=g0±a,如轨道上运行的卫星a=g0 完全失重,等效g=0;(3)不论悬点如何运动还是受 别的作用力，等效g的取值等于在单摆不摆动 时，摆线的拉力F与摆球质量的比值，即等效 g=F/m.
(1)求此单摆的摆长？
图10
(2)若增大摆长,共振曲线的峰值向左移还是向右移?
解析 (1)由单摆的共振曲线知,当驱动力的频率为
0.3 Hz时单摆发生共振,因此单摆的固有频率为
0.3 Hz,固有周期为T0= 摆长l为l= T ≈2 g2.8 m.
10s;由T=2π
3
得l 单摆的
g
4π2
(2)当摆长增大时，周期变大，固有频率变小，曲
性势能各是怎样变化的？
（3）该振子在前100 s的总位移是多少？路程是
多少？
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思维导图
解析 （1）由振动图象可得 A=5 cm,T=4 s, =0
则ω= 2 =π rπad/s
T2
故该振子简谐运动的表达式为 x=5 sin tπ cm
2
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(2)由图可知,在t=2 s时,振子恰好通过平衡位
置,此时加速度为零,随着时间的延续,位移值不
线的峰值应向左移.
答案 (1)2.8 m
(2)左移
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题型4 单摆模型问题
如图11所示，ACB为光滑圆弧形
槽，弧形槽半径为R，R
.
甲球从弧形槽的球心处自由落下，
乙球从A点由静止释放，问：
图11
（1）两球第1次到达C点的时间之比.
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释
放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左
选修3-4
第十二章 机械振动 机械波
第1课时 机械振动 考点自清
一、简谐运动 1.概念
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规 律，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲 线，这样的振动叫做简谐运动.
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2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的 有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的 最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.
断加大,加速度的值也不断变大,速度点续传值
不断变小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大.当
t=3 s时,加速度的值达到最大,速度等于零,动能
等于零,弹性势能达到最大值.
(3)振子经一周期位移为零，路程为5×4 cm=
20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前
100 s振子位移x=0,振子路程x′=20×25 cm=
T 2
(n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置
关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
要注意多解的可能性或需要写出解答结果的
通式.
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热点二 对单摆的理解 1.单摆及成立条件
如图4所示，一根轻细线，悬挂着一个小 球，就构成所谓的单摆.能够视为单摆需 要满足两个条件：(1)和小球的质量m相 图4 比，线的质量可以忽略；(2)小球可视为质点， 如果小球不能视为质点，则单摆半径为悬点到重 心的距离. 2.单摆的受力特征 当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一 个恒定的竖直向下的重力mg和一个变化的始终沿 绳方向指向悬点的拉力F，垂直于速
的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度” 表示周期.
由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周 期，T=0.2 s，频率f = 1 =5 Hz.
T
(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻， 质点正远离平衡位置向位移的正方向运动;在t3 时刻，质点正向着平衡位置运动. (5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如
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(2)简谐运动的表达式 动力学表达式：F=-kx
运动学表达式：x=Asin(ωt+ )
(3)简谐运动的图象 ①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规 律，为正弦（或余弦）曲线. ②从平衡位置开始计时，函数表达式为x=
Asinωt,图象如图1.
图1
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从最大位移处开始计时，函数表达式为x=
Acosωt，图象如图2.
图7
图8
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A.若规定状态a时t=0,则图象为① B.若规定状态b时t=0,则图象为② C.若规定状态c时t=0,则图象为③ D.若规定状态d时t=0,则图象为④ 解析 A选项,t=0时,a点位移为3 cm且向正方向 运动,故图象①对.D选项,t=0时,d点位移为-4 cm 且向正方向运动,故图象④对.B、C与图象②③ 不对应,故A、D对. 答案 AD
摆球重力沿与摆线 弹簧的弹力提供 垂直（即切向）方
向的分力
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周期公式
m
T=2π k (不作要求)
T=2π
l g
能量转化
弹性势能与动 重 力 势 能 与
能 的 相 互 转 化 ，动 能 的 相 互 机 械 能 守 转化，机械能
恒
守恒
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三、受迫振动和共振
1.受迫振动：物体在 周期性驱动力 作用下的振动.
500 cm=5 m.
答案 （1）x=5sin π t cm
(2)见解析
2
(3)0
5m
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规律总结 分析简谐运动的图象问题要特别注意以下两点： 第一，简谐运动图象实质为位移—时间图象；第 二，要将图象所提供的信息与简谐运动特征有 机结合起来，并注意发掘隐含信息.
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变式练习2 一弹簧振子沿x轴振动,振幅为4 cm,振子的平衡 位置位于x轴上的O点.图7中的a、b、c、d为四 个不同的振动状态：黑点表示振子的位置,黑点 上的箭头表示运动的方向.图8给出的①②③④ 四条振动图线,可用于表示振子的振动图象（ ）
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图9
(1)稳定后，物体振动的频率f =
Hz.
(2)欲使物体的振动能量最大，需满足什么
条件？
答：
.
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(3)利用上述所涉及的知识，请分析某同学所提
问题的物理道理.
“某同学考虑，我国火车第六次大提速时，需尽
可能的增加铁轨单节长度，或者是铁轨无结
头”.
答：
11
.
T4
解析 (1)由丙图可知，f = = Hz=0.25 Hz.
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度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复 力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg =x-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在 圆弧的圆心. (3)g为当地重力加速度.
做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于
驱动力 的周期（或频率），而与物体的固有周
期（或频率） 无 关.
2.共振：做受迫振动的物体，它的
固有频率与驱动力的频率越接近，
其振幅就越大，当二者 相等 时，
振幅达到最大，这就是共振现象.
共振曲线如图3所示.
图3
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热点聚焦
热点一 简谐运动规律及应用 1.回复力——F=-kx.（判断一个振动是不是简谐运
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相 等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
C.若Δt=T，则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动
的加速度一定相等
D.若Δt=T/2,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长
度一定相等
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解析 弹簧振子做简谐运动的图
象如右图所示，图中A点与B、E、 F、I等点的振动位移大小相等,方 向相同.由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为 T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T 或T的整数倍，因此A选项不正确. 图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等， 方向相反,由图可知A点与C、G等点对应的时间差 为T/2或T/2的整数倍,A点与B、F等点对应的时间 差不为T/2或T/2的整数倍,因此B选项不正确;如果 t时刻和(t+Δt)时刻相差为一个周期T,则这两个时 刻振动情况完全相同,加速度一定相等,选项C正 确;如果t时刻和(t+Δt)时刻相差半个周期,则这两 个时刻振动的位移大小相等,方向相反,弹簧的长 度显然是不相等的，选项D也不正确. 答案 C
动的依据） 2.对称性——简谐振动物体具有对平衡位置的对称
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势 能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向 相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
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3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n)
为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1)
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热点三 振动图像
1.物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的
规律.
特别提示：振动图象不是质点的运动轨迹.
2.应用
(1)确定振动物体在任意时刻的位
移.如图5中，对应t1、t2时刻的位
移分别为x1=+7 cm,x2=-5 cm.
(2)确定振动的振幅.如图振幅是
图5
10 cm.
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(3)确定振动周期和频率.振动图象上一个完整
在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负； t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因 为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|.
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题型探究
题型1 简谐运动的规律
【例1】一弹簧振子做简谐运动，周期为T,则正确
的说法是
（）
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相 等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
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方法提炼
借助模型、振动图象是分析此类问题的有效方
法.比较两种方法可以看出，图象法更加直观、
快捷.
变式练习1
如果下表中给出的是做简谐运动的物体的位移
x、速度v与时间的对应关系,T是振动周期,则
பைடு நூலகம்
下列选项中正确的是
()
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状 时间 态
物理量 甲
乙
丙
丁
0
零
零 正向 最大 负向 最大
T 4
正向 最大 负向 最大
侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点
C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
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解析 (1)甲球做自由落体运动
R= 12gt12,所以t1=
2R g
乙球沿圆弧做简谐运动(由于
R，可认为摆
角θ＜5°).此振动与一个摆长为R的单摆振动
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题型3 受迫振动和共振的应用 【例3】一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图9
甲所示，该装置可用于研究弹簧振子的受迫振 动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动 力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就 是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就 可以改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝 码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动 图线如图乙所示.当把手以某一速度匀速运 动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如 图丙所示.若用T0表示弹簧振子的固有周期，T 表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后 砝码振动的振幅，则
4
大，这时速度为零.由此可见，丙的速度变化正 好对应甲的位移变化情况.所以A正确.同样可推 出B正确，C、D不正确. 答案 AB
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题型2 简谐运动图象的应用
【例2】如图6为一弹簧振子的振动图象,试完成以
下要求：
（1）写出该振子简谐运动的
表达式.
（2）在第2 s末到第3 s末这
图6
段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
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二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水 平）
单摆
模型示意图
条件 平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、 无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量 忽略、无空气等阻力、 摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
零
零
T 2
零
零 负向 最大 正向 最大
3T 4
负向 最大 正向 最大
零
零
T
零
零 正向 最大 负向 最大
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A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v B.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度v C.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度v D.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v 解析 当t=0时，甲的位移为零，这时刻的速度 为正向最大；当t= 1 T时，甲的位移为正向最
(2)物体振动能量最大时，即振幅最大，故应发
生共振，所以应有T=T0=4 s. (3)若单节车轨非常长，或无结头，则驱动力周
期非常大，从而远离火车的固有周期，即火车
的振幅较小.以便来提高火车的车速.
答案 (1)0.25 (2)(3)精见品解析
变式练习3
如图10所示，是一个单摆的共
振曲线(g取10 m/s2)