2020-2021 北京第一学期海淀 高三期末数学期中考试交流

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二、功能定位
（1）检测功能 检查教学和学生学习时基础知识、基本技能的掌握和落实情况，
帮助学生发现知识漏洞，反思和总结有效的复习方法，以提高下阶段 复习的质量；帮助教师发现教学中的得失，摸清学生的现状，即优势 与不足，寻求更有效的教学方法，充分挖掘学生的潜力。确保测试对 教学和学习产生积极的、正面的引导作用。
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二、功能定位
（2）激励功能 考虑学情，控制难度基础上适当满足个性需求，让不同学校、不同
层次的学生均有所收获，同时真实反映出学生的学习成果和学校的教学 情况。帮助学校和教师发现和解决分化问题，使学生理性的认识自己， 找到发展点，看到希望。 （3）评估功能
通过本次检测，力争对本学科的教学现状、学生的学习现状给出较 为定量的分析、评价；为进一步指导教学提供依据。
在一项 ak( j k 2 j) ，使得 ak 2a j ai .
（Ⅰ）若 a 3 , b 5 ，求 a3 ；
（Ⅱ）若 a b 0 ，求证：数列{an}中有无穷多项为 0 ；
（Ⅲ）若 a b ，求数列{an}的通项公式.
已知{an}是无四穷、数试列题，分a析1 a , a2 b ，且对于{an}中任意 在一项 ak( j k 2 j) ，使得 ak 2a j ai .
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四、试题分析
14. 设函数 f (x) sin(x ) ， A 0, 0 ，若 f (x) 在区间[ , ] 上具有单调性，且
62
f f 2 f ，则 f (x) 的最小正周期为________.
2 3 6
（19）（本小题共 14 分）
四、试题分析
已知函数 f (x) 2sin(x π) . 6
4
2
5
5
2
10
四、试题分析
8
先证明： f (x1) f (x2 ) 4 . 由（Ⅱ）知，当 a 0 时， f (x) 的递增区间是 (,0) ， (2, ) ，递减区间是
6
(0, 2) .
因为 x1 x2 2 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1.
4
① 若 x1 0 ，则 x2 2 x1 2 .
y
2C
A
1 O
B 2x
四、试题分析
（14）设函数
f
(x)
x3
3x,
x ≤ a,
2x, x a.
① 若 a 0 ，则 f (x) 的最大值为
；
② 若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是
．
四、试题分析
（14）已知 f (x) m(x 2m)(x m 3) ，g(x) 2x 2 . 若同时满足条件：① x R ，
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四、试题分析
（8）已知函数 y Asin(x ) 的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移 t(t 0) 个单
位长度，得到函数 y f (x) 的图象.若函数 y f (x) 为奇函数，则 t 的最小值是
（A） π 12
（C） π 4
（B） π 6
（D） π 3
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M D
A
B
在边长为 2 的正三角形 ABC 中， M 是 BC 边上的动点， D 是线段 AM 的中点.
① 若 M 是 BC 的中点， BD xBA yBC ，则 x y _______；
② BD BM 的最大值是 _______.
四、试题分析
（15）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如
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三、考试内容
注重考查本阶段数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，考查抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力以及分析问题 和解决问题的能力． 基本知识：集合、简易逻辑、函数（导数）、数列、三角函数（解三角 形）、不等式、平面向量、复数 基本思想、方法：函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化的思 想、特殊与一般的思想、反证法、导数方法等
14 53 115 32
三、考试内容
抽象概括能力：能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对 象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其 应用于解决问题或作出新的判断. 运算求解能力：会根据概念、公式、法则正确地对数、式、方程、 几何量等进行变形和运算；能分析条件，寻求与设计合理、简捷的 运算途径；能根据要求对数据进行估计，并能近似计算.
所以 f (x1) f (x2) f (x1) f (2 x1) 4 4a 4 .
……………11 分
② 若 x1 0 ，因为 x2 1，
2
所以 f (x1) f (x2 ) f (2) f (2) 4 ，当且仅当 x1 x2 2 时取等号.
综上所述， f (x1) f (x2 ) 4 .
图，某桨轮船的轮子的半径为 3m ，它以1rad / s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点
P ， 点 P 到船底的距离是 H（单位：m ），轮子旋转时间为 t（单位：s ）. 当 t 0 时，
点 P 在轮子的最高点处.
①当点 P 第一次入水时， t
；
②当 t t0 时，函数 H (t) 的瞬时变化率取得最大值，则 t0 的最小值是
准偶函数”.
若函数
f
(
x)
(
1 2
)
x
,
x
a,
是“
2
阶准偶函数”，则
a
的取值范围是
x2 , x a
（A） (,0)
（B）[0, 2)
（C）[0, 4)
（D）[2, 4)
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四、20试题分析
20
18
18
18
16
16
16
14
14
14
12
12
12
10
10
10
8
8
8
6
6
6
4
4
4
2
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四、试题分析
（7）已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn an （ n 1, 2,3, ），则 a2020
（A） 0
（B）1
（C） 2020
（D） 2021
（13）已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ．若 a1 9 ，公差 d 2 ，则 Sn 的最大值为_______.
所以
当
x2
t 2
时，
3a(t
2)
x22
3at(t
2)
x2
4
8a
at 3
3 at 2
取得最小值
1 at3 3 at2 4 8a . 42
令 g(t) 1 at3 3 at2 4 8a ， t 2 . 42
所以 g '(t) 3 at2 3at . 4
由 g '(t) 3 at2 3at 0 得 t 0 ，或 t 4 . 4
4
(4, )
g '(t)
0
g (t )
极小值
所以 g(t) g(4) 8 .

所以 f (x1) f (x2 ) 8a 4 8a 4 ，当 x1 x2 2 时取等号.
四、试题分析
四、试题分析
（21）（本小题共 15 分）
四、试题分析
已知{an}是无穷数列， a1 a , a2 b ，且对于{an}中任意两项 ai , a j(i j) ，在{an}中都存
四、试题分析
四、试题分析
（Ⅲ）由题意可得： f (x1) f (x2 ) a x13 3ax12 2 4a a x23 3ax22 2 4a
a(x13 x23 3x12 3x22 ) 4 8a .
因为 x1 x2 2 ，所以 x1 x2 2 0 .
所以
3x1x2 (x1
8
已知三次函数 f (x) ax3 3ax2 2 4a .
（Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f (x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程；
6
（Ⅱ）若函数 f (x) 在区间 (a, a 3) 上具有单调性，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）当 a 0 时，若 x1 x2 2 ，求 f (x1) f (x2) 的取值范围.
（Ⅰ）求 f (x) 的单调递减区间；
（Ⅱ）设 g(x) f (x) f (x π) . 当 x [0,m] 时， g(x) 的取值范围为[0, 2 3] ，求 m 的最大值. 6
四、试题分析
（10）对于函数 f (x) ，若集合{x | x 0, f (x) f (x)} 中恰有 k 个元素，则称函数 f (x) 是“ k 阶
5
2
四、试题分析
四、试题分析
（Ⅲ）因为 x1 x2 2 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1. 设 x1 x2 t ， t 2 ，则 x1 t x2 . f (x1) f (x2) f (t x2) f (x2)
3a(t 2) x22 3at(t 2) x2 4 8a at3 3at2 .
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集合 简易逻辑 不等式 函数 导数 三角函数 解三角形 数列 平面向量 复数
知识板块名称
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三、考试内容
板块得分 4 8
24 12 26 29 14 38
9 5
能力板块名称 空间想象能力 抽象概括能力 推理论证能力 运算求解能力 分析问题和解决问题的能力
7
板块得分 8
a1 a2 a（3 Ⅰa）4 若a5a a36, ba7 5 ，a8求aa93 ；a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16
2020-2021 北京第一学期海淀 高三期末数学试题分析
考试性质
本次考试是阶段复习的诊断性考试。考试的
指导思想：有助于学生落实基础知识和基本技能，
有助于提升学生分析问题的能力，有助于反馈教
学和学习效果，有助于建立和增强学生学习自信
心，有助于促进师生信任与合作。适当关注个性
发展。
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x2
2)
3(
x1
2
x2
)2 (x1
x2
2)
.
所以 x13 x23 3x12 3x22 (x1 x2 )[(x1 x2 )2 3x1x2 ] 3(x1 x2 )2 6x1x2
(x1 x2 )3 3(x1 x2 )2 3x1x2 (x1 x2 2)
( x1
x2 )3
3(x1
x2 )2
3(
x1
2
x2
)2 (x1
x2
2)
1 4
( x1
x2
)3
3 2
(x1
x2
)2
.
四、试题分析
设 g(t) 1 t3 3 t2,t (2, ) ，则 g '(t) 3 t2 3t 3 t(t 4) .
42
4
4
g(t) 与 g '(t) 在区间 (2, ) 上的情况如下：
t
(2, 4)
f (x) 0 或 g(x) 0 ；
② x ( , 4) ， f (x)g(x) 0 ，则 m 的取值范围是
.
四、试题分析
（14）在边长为 2 的正三角形 ABC 中， M 是 BC 的中点， D 是线段 AM 的中点.
C
①若 BD xBA yBC ，则 x y _______；
② BD BM _______.
2
一、命题意图
➢ 依据《2017年普通高中数学学科教学与评价指导意见》对知识内容的要求， 体现立足基础、突出重点的原则，适当考虑学科的内在联系和知识的综合. 以激发学生学习热情，树立学习数学的自信心为出发点命题。帮助教师发现、 总结教学中的问题，帮助学生反思学习中的问题，发现学习中的发展点。
➢ 基础知识为主，适当关注能力（阅读，直觉，分析，优化，运算，表 述……），突出通性、通法。起到检测、导向功能（教学上要充分展现思维 过程，重视知识的落实和学生能力的提升）。
.
H(t) 3cost 4 H '(t) 3sin t
P Hm
3m 水面
1.5m 1m
船底
四、试题分析
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四、试题分析
四、试题分析
四、试题分析
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-FUO-
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四、试题分析
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-FUO-
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四、试题分析
（20）（本小题共 14 分）
2
2
5
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5
5
10
5
5
5
2
2
2
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四、试题20 分析
20
18
18
18
16
16
16
14
14
14
12
12
12
10
10
10
8
8
8
6
6
6
4
4
4
2
2
2
10
5
10
5
5
10
5
5
5
2
2
2
26 24 22 20 18 16 14 12 10
8 6 4 2
10
5
四、试题分析
5
10
15
20
25
30
四、试题分析
（6）已知函数 f (x) 2x x 1，则不等式 f (x) 0 的解集是
（A） (1,1)
（B） (,-1) (1, )
（C） (0,1)
（D） (,0) (1, )
（7）如图，函数 f (x) 的图象为折线 ACB ，则不等式 f (x)≥log2 (x 1) 的解集是
（A）{x | 1 x ≤0} （B）{x | 1≤ x ≤1} （C）{x | 1 x ≤1} （D）{x | 1 x ≤ 2}