湖南省多所学校2022-2023学年高二上学期期中数学试卷(含答案)

湖南省金太阳2022-2023学年期中考试（126B ）
高二数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册、第二册占30%，选择性必修第一册占70%。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.倾斜角为135°，在y 轴上的截距为1的直线方程是
A.10x y --=
B.10x y +-=
C.10x y ++=
D.10x y -+=
2.
13i
2i -+=+ A.17i 55
--
B.17i 55
-
+
C.57i 33
-
+ D.
17i 55
+ 3.下列关于空间向量的说法中错误的是 A.零向量与任意向量平行 B.任意两个空间向量一定共面 C.零向量是任意向量的方向向量
D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量
4.若方程
22
131
x y k k +=-+表示椭圆，则k 的取值范围为 A.()1,-+∞
B.()1,1-
C.()1,3-
D.()()1,11,3-⋃
5.空间中有三点()1,2,2P --，()2,3,1M -，()3,2,2N -，则点P 到直线MN 的距离为
A.
B.
C.3
D.6.某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下：97，90，x ，95，92，85，87，90，94.去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以x 表示，则x = A.84 B.86 C.89 D.98
7.已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22
144
x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅=，则P 的纵坐标为
A.1
B.2
8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，90BDC ∠=︒，222BD AB CD ===，E 是BC
的中点，H 是ABD △内的动点（含边界），且EH ∥平面ACD ，则CA EH ⋅的取值范围是 A.[]0,3
B.1,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.111,
22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D.113,
2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数()2cos 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，将()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则
A.()g x 的图象关于y 轴对称
B.()g x 的最小正周期是π
C.()g x 的图象关于点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭对称
D.()g x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递减 10.如图，平面ABC 内的小方格均为边长是1的正方形，A ，B ，C ，D ，E ，F 均为正方形的顶点，P 为平面ABC 外一点，则
A.AE PA PC =-
B.41
55CD PA PB PC =-+
+ C.32
55
PF PA PB PC =-
-
D.46
55
PD PA PB PC =-++
11.已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，A ，M ，B 在直线l 上的投影分别为P ，N ，Q ，则 A.AN BN ⊥
B.PF AB ⊥
C.PF AN ⊥
D.NF AB ⊥
12.已知曲线Ω：()
2
2
2
2
2200x x y y x y -+-=+≠，则 A.曲线Ω围成的面积为84π
+
B.曲线Ω截直线y x =所得弦的弦长为
C.曲线Ω上的点到点()2,0P 的距离的最大值为
D.曲线Ω上的点到直线3y =-2+ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量()2,1,3a =，()1,1,1b =-，()4,3,c m =，
若a ，b ，c 共面，则m =__________. 14.已知圆1C 和圆2C 的半径都为1，圆心分别为()12,3C ，()24,3C ，写出一个与圆1C 和圆2C 都相切的圆的方程：__________.
15.古希腊伟大的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方
米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.2的镜子的价格为__________元.（结果精确到整数）
16.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P ，A ，B ，C ，满足2PA =，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若三棱锥P ABC -的体积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）
为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台，开设书法兴趣班.为了解学生对这个兴趣班的喜爱情况，该校随机抽取了本校100名学生，调查他们对这个兴趣班的喜爱情况，得到数据如下.
1人，求该学生是女学生且喜欢书法兴趣班的概率； （2）从该校随机抽取1名男学生和1名女学生，求这2名学生中恰有1人喜欢书法兴趣班的概率. 18.（12分）
已知圆M 经过点()2,5A -，()2,3B --，()6,1C -. （1）求圆M 的标准方程；
（2）过点()2,3P 向圆M 作切线，求切线方程. 19.（12分）
如图，在四棱锥E ABCD -中，BE ⊥底面ABCD ，
BC AD ∥，AB AD ⊥，1AB BC ==，3AD BE ==.
（1）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值； （2）求平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值.
20.（12分）
在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a c
C b
-=. （1）求角B 的大小； （2）求
a
c
的取值范围. 21.（12分）
已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>> 1.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q
两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值. 22.（12分）
如图，菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，E 为AB 的中点.将ADE △沿DE 折起，使A 到达A '，连接A B '，A C '，得到四棱锥A BCDE '-. （1）证明：DE A B ⊥'.
（2）当二面角E A D B '--在2,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦内变化时，求直线C A '与平面E A D '所成角的正弦值的最大值.
高二数学试卷参考答案
1.B 因为直线的倾斜角为135°，所以斜率为-1.因为直线在y 轴上的截距为1，所以所求直线方程为1y x =-+，即10x y +-=.
2.D
()()()()13i 2i 13i 17
i 2i 2i 2i 55
-+--+==+++- 3.C 在直线l 上取非零向量a ，把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量，C 错误.
4.D 因为方程22
131
x y k k +=-+表示椭圆，所以30k ->，10k +>，且31k k -≠+，解得
()()1,11,3k ∈-⋃.
5.A 因为()1,1,1MN =，所以MN 的一个单位方向向量为()3
1,1,13
u =.
因为()1,1,3PM =-，所以点P 到直线MN ()()
2
2
PM PM u -⋅=6.C 当85x ≤时，
90959285879094633
9177
++++++=≠，则85x ≤不符合题意；
当97x ≥时，97909592879094645
9177
++++++=≠，则97x ≥不符合题意；
当8597x <<时，9095928790945489177
x x
+++++++==，解得89x =.
7.C 因为120PF PF ⋅=，所以2
2
2121
2
32PF PF F F +==.由双曲线的定义可得
124PF PF -=，所以()
2
2
2
1212122PF PF PF PF PF PF ⋅=+--，解得
128PF PF ⋅=，故12PF F △的面积为
121
42
PF PF ⋅=.设P 的纵坐标为h ，12PF F △的面
积为
121
42
F F h ⋅=，解得h = 8.B 设F ，
G 分别为AB ，BD 的中点，连接FG ，EF ，EG .易得FG AD ∥，EF AC ∥，因为,FG EF ⊂平面EFG ，,AD AC ⊂平面ACD ，FG EF F ⋂=，AD AC A ⋂=，所以平面EFG ∥平面ACD .因为E
H ∥平面ACD ，所以H 为线段FG 上的点.
易得CD ⊥平面ABD ，因为E G C D ∥，所以EG ⊥平面ABD ，EG FG ⊥，
cos FG
EFG EF
∠=
.
因为222BD AB CD ===，所以122FG AD =
=
，122
EF AC ==. ()
2
222CA EH EF EF FH EF EF FH ⋅=⋅+=+⋅
2
22cos 223EF EF FH EFG EF FH FG =-⋅∠=-⋅=.
因为FH ⎡∈⎢⎣⎦，所以1,32CA EH ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦
.
9.BCD 将()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到()g x 的图象，则()2c o s 22c o s 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.则A 错误，B 正确.令262x k πππ-=+，k ∈Z ，解得23k x ππ=+，k ∈Z ，当1k =-时，6
x π
=-.则C 正确.令
2226k x k ππππ≤-≤+，k ∈Z ，解得71212
k x k ππ
ππ+≤≤+
，k ∈Z ，则D 正确. 10.ABD 在平面ABC 内选取两个互相垂直的单位向量i ，j ，且2AC i j =+， 则2PC PA i j -=+，3PB PA i j -=-+，5PC PB -=， 则1155i PB PC =-
+，23
55
j PA PB PC =-++. 所以2AE i j PA PC =--=-，41
255
CD i j PA PB PC =-+=-+
+. 32
255PF PA AF PA i j PA PB PC =+=+-=--，
46
255
PD PA AD PA j PA PB PC =+=+=-++.
11.ACD 抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-.
设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,P y -，()21,Q y -
.联立方程组2
1,4,
x my y x =+⎧⎨
=⎩得2
440y my --=，则124y y m +=，124y y =-. 因为()21212242x x m y y m +=++=+，所以()221,2M m m +，()1,2N m -，所以
()()2
1212122121212242211124
AN BN
y y m y y m y m y m k k x x m y y m y y -++--⋅=⋅==-+++++，所以AN BN ⊥，故A 正确； 因为()()()
2111111111412221122122AN PF
my my y m y y my k k x x my +---⋅=⋅===-+--+-+，所以AN PF ⊥，故
C 正确，B 错误；
因为
21
1
2
NF AB
m
k k
m
⋅=⋅=-
-
，所以NF AB
⊥，故D正确
.
12.ABD当0
x>，0
y>时，曲线Ω：()()
22
112
x y
-+-=；当0
x>，0
y<时，曲线Ω：()()
22
112
x y
-++=；当0
x<，0
y>时，曲线Ω：()()
22
112
x y
++-=；当0
x<，0
y<时，曲线Ω：()()
22
112
x y
+++=.画出曲线Ω，如图所示.曲线Ω
围成的面积为
2
284
ππ
⨯=+，A正确.
曲线Ω截直线y x
=
所得弦的弦长为2⨯=B正确.
以P为圆心作圆与曲线Ω相切，设其中一个切点为A，则曲线Ω上的点到点()
2,0
P的距
离的最大值为
11
AP AC C P
=+==C错误.
数形结合可得，曲线Ω上到直线3
y=-距离最大的点在第一象限，
2
C到直线3
y=-
的距离2
2
d==+，
曲线Ω上的点到直线3
y=-
的距离
的最大值为2
2
d=
+，D正确.
13.1因为a，b，c共面，所以c xa yb
=+，即
()()()()
4,3,2,1,31,1,12,,3
m x y x y x y x y
=+-=++-，则
24,
3,
3,
x y
x y
x y m
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
，解得1
x=，2
y=，1
m=.
14.()()22334x y -+-=（或(
)(2
2
331x y -+--=或(
)(2
2
331x y -+-=）
与圆1C 和圆2C 都相切的圆如图所示，分别为
()()2
2
334x y -+-=，
(
)
(2
2
331x y -+-=，(
)(
2
2
331x y -+-=
.
15.151设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为a 米，b 米，
则
2 1.2,,3a =⎧=0.6,
0.4,a b =⎧⎨
=⎩
故小张要买的镜子的价格为200151ab π≈元. 16.16π如图所示，取AB 的中点D ，过D 作OD PA ∥，且1
12
OD PA ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以OD ⊥平面ABC .
因为AC BC ⊥，所以DA DB DC ==，所以OA OB OC OP ===， 所以O 是三棱锥P ABC -外接球的球心，OA 为球的半径. 因为11
232
P ABC V AC CB PA -=⨯⋅⋅=，所以6AC CB ⋅=. 因
为
2
22
2
12A B A
C B C A C B C =≥+⋅=，所以球的
半
径
2R OA ==≥=
，当且仅当AC BC =
=此时AB =min 2R =，故所求表面积的最小值为2
416R ππ=.
17.解：（1）从这100名学生中随机抽取1人，该学生是女学生且喜欢书法兴趣班的概率为
303
10010
=. （2）由题意可知该校男学生喜欢书法兴趣班的频率为
402603
=.
由题意可知该校女学生喜欢书法兴趣班的频率为303404
=. 故所求概率21135343412
P =
⨯+⨯=. 18.解：（1）设圆M 的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=，
则29250,13230,3760,D E F D E F D E F -++=⎧⎪
--+=⎨⎪-++=⎩
解得4D =，2E =-，11F =-，
所以圆M 的方程为22
42110x y x y ++--=， 故圆M 的标准方程为()()2
2
2116x y ++-=. （2）当切线斜率不存在时，切线方程为2x =.
当切线斜率存在时，设切线方程为()32y k x -=-，即230kx y k --+=.
4=，解得3
4
k =-，
所以切线方程为()3
324
y x -=-
-，即34180x y +-=. 综上所述，所求切线方程为2x =或34180x y +-=.
19.解：（1）以B 为坐标原点，BE 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()0,1,0A ，()0,0,1C ，()3,0,0E ，()0,1,3D ， 则()3,1,0AE =-，(0,1,2CD =
cos ,10AE CD ==-，
故异面直线AE 与CD
.
（2）()3,0,1CE =-，设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =， 则0n CE n CD ⋅=⋅=，即30,
20,
x z y z -=⎧⎨+=⎩
令1x =，得()1,6,3n =-.
易知()0,0,1m =是平面ABE 的一个法向量，
由cos ,46m n ==， 得平面CDE 与平面ABE
夹角的余弦值为
46
. 20.解：（1）由正弦定理可得2sin sin cos 2sin A C C B
-=， 即2sin 2sin cos sin A B C C =+. 因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
所以2sin cos 2cos sin 2sin cos sin B C B C B C C +=+，
即2cos sin sin B C C =.
因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，1cos 2B =
. 因为()0,B π∈，所以3B π
=. （2
）1sin sin sin 1322sin sin sin 2
C C C a A c C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+. 因为ABC △为锐角三角形，所以0,220,32C A C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所
以t a n C >
1,22a c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故a c 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 21.（1）解：设双曲线C 的一个焦点为(),0F c ，一条渐近线的方程为0bx ay -=，
1b ==.
因为e 3
c a ==
，所以a =2c =， 所以双曲线C 的方程为2
213
x y -=.免费下载公众号《高中僧试卷》 （2）证明：当直线l 的斜率不存在时，直线l
的方程为x =
此时2PQ =
，122
OPQ S ==△ 当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l ：y kx m =+
，且斜率k ≠
联立方程组22,1,3
y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222136330k x mkx m ----=， 由()()222236413330m k k m =+-+=△，得2231k m =+，
联立方程组,,3y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
得x =不妨设直线l
与3y x =的交点为P
，则P x =
同理可求Q x =
，所以P Q PQ x x =-=因为原点O 到直线l
的距离d =
所以221213OPQ S PQ d k
==-△，又因为2231k m =+
，所以OPQ S =△ 故OPQ △
22.（1）证明：在菱形ABCD 中，因为E 为AB 的中点，60BAD ∠=︒，所以DE AB ⊥， 在翻折过程中，恒有DE A E '⊥，DE BE ⊥，
又A E BE E '⋂=，所以DE ⊥平面A BE '，
而A B '⊂平面A BE '，所以DE A B '⊥.
（2）解：由（1）知A EB '∠为二面角A DE B '--的平面角，记其为θ，则2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 以EB 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0E ，()cos ,0,sin A θθ
，()D
，()C ，
设平面A DE '的法向量(),,n x y z =，则0EA n ED n '⋅=⋅=
，得cos sin 0,0,
x z θθ+=⎧⎪= 令sin x θ=，得()sin ,0,cos n θθ=-，
()2cos sin A C θθ'=--
，则2sin cos ,8A C n A C n A C n '⋅'==='令2cos t θ=-，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得35,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
cos,1
A C n
'===≤=
，
当且仅当t=.
故直线A C'与平面A DE
'1
-.。