05-06年上学期高一同步优化训练数学：第一章 集合与简易逻辑1 B卷(附答案)

高中同步测控优化训练(二) 第一章 集合与简易逻辑(一)(B 卷)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.数集{1，2，x 2-3}中的x 不能取的数值的集合是
A.{2，5}
B.{-2，-5}
C.{±2,±5}
D.{2,- 5}
解析:(1)由x 2-3≠1解得x ≠±2. (2)由x 2-3≠2解得x ≠±5. ∴x 不能取得值的集合为{±2,±5}. 答案:C
2.若|3x -1|＜3,化简162492+-x x +41292++x x 的结果是
A.6x -2
B.-6
C.6
D.2-6x 解析:由|3x -1|＜3,解得-
32＜x ＜3
4. ∴162492+-x x +41292++x x =2)43(-x +2)23(+x =|3x -4|+|3x +2| =-(3x -4)+(3x +2)=6.
答案:C
3.已知M ={x |x
1
＜1},N ={y |y =x 2},则M ∩N 等于 A.∅ B.{x |x ＞1}
C.{x |x ＜0}
D.{x |x ＜0或x ＞1}
解析:M ={x |x ＞1或x ＜0},N ={y |y ≥0},两个集合都是数集，集合中的元素是数，易知 M ∩N ={x |x ＞1}.
答案:B
4.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式错误的是
A.( I A )∪B =I
B.(
I A )∪(I B )=I
C.A ∩(I B )=
∅
D.(
I A )∩(
I B )=
I B
解法一:韦恩图法.由题意画出满足条件的图形.
A
I
B
如图所示,阴影部分为(
I A )∪(
I B ),而不是集合
I .
解法二:特例法.
设A ={a ,b ,c },B ={a ,b ,c ,d },I ={a ,b ,c ,d ,e}, ∵I A ={d ,e},
I B ={e},
∴(
I A )∪(I B )={d ,e}≠I .
答案:B
5.下列5个命题,其中正确的个数为
①a ∈A ⇒a ∈A ∪B ②A ⊆B ⇒A ∪B =B ③a ∈B ⇒a ∈A ∩B ④A ∪B =B ⇒A ∩B =A ⑤A ∪B =B ∪C ⇒A =C
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:①②④正确;③错误，例如A =∅;⑤错误，例如A ={1，2}，B ={3，4}，C ={1，2，3}，显然有A ∪B =B ∪C ，但A ≠C.
答案:B
6.若ax 2+ax +a +3＞0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 A.(-4,0) B.(-∞,-4)∪(0,+∞) C.［0,+∞) D.(-∞,0) 解析:当a =0时，
不等式ax 2+ax +a +3＞0恒成立，∴a 可取0. 答案:C
7.已知集合M ={x |x =
2k +41,k ∈Z },N ={x |x =4k +2
1
,k ∈Z }.若x 0∈M ,则x 0与N 的关系是 A.x 0∈N B.x 0∉N C.x 0∈N 或x 0∉N D.不能确定
解法一:可利用代入检验法，令k =0，则x 0=4
1
，对于集合N ，
当k =-1时，x =41
,∴x 0∈N .
令k =1，则x 0=43,对于集合N ，k =1时，x =4
3
,∴x 0∈N .
归纳得x 0∈N .
解法二:集合M 的元素为x =2k +41=412+k (k ∈Z )，集合N 的元素为x =4k +2
1
= (k ∈Z ),
而2k +1为奇数，k +2为整数，∴总有x 0∈N .
由以上分析知A 正确. 答案:A
8.二次函数y =x 2+(a -3)x +1的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2,且x 1＜2,x 2＞
2,如图所示,则a 的取值范围是
x x
y
x 1
22
O
A.a ＜1或a ＞5
B.a ＜
21 C.a ＜-21
或a ＞5
D.-2
1
＜a ＜1
解法一:由题意可得f (2)＜0, 即4+(a -3)×2+1＜0,
解得a ＜2
1
.
解法二:由题意知方程x 2+(a -3)x +1=0的两根为x 1、x 2.
∴⎩⎨⎧<-->∆.0)2)(2(,021x x
∴⎩⎨⎧<++->∆,04)(2,0212
1x x x x
即⎩
⎨⎧<+--•->+-.04)]3([21,0562a a a
解得a ＜
2
1
. 答案:B
9.设集合P ={1,2,3,4,5,6},Q ={x ∈R |2≤x ≤6},那么下列结论正确的是 A.P ∩Q =P B.P ∩Q Q C.P ∪Q =Q D.P ∩Q P 解析:解这类选择题可采用“直接代入法”，对A 、B 、C 、D 四个答案逐一作出判断,从而确定问题的答案.
P ∩Q ={1,2,3,4,5,6}∩{x ∈R |2≤x ≤6}={2,3,4,5,6}是集合P 的真子集. 答案:D
10.设函数f (x )=⎩
⎨⎧∈-∈,,,
,M x x P x x 其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集,又规定
f (P )={y |y =f (x ),x ∈P },f (M )={y |y =f (x ),x ∈M }.给出下列四个判断:
①若P ∩M =∅,则f (P )∩f (M )= ∅; ②若P ∩M ≠∅,则f (P )∩f (M )= ∅;
③若P ∪M =R ,则f (P )∪f (M )=R ; ④若P ∪M ≠R ,则f (P )∪f (M )≠R . 其中正确的判断有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 答案:B
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11.用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合应为_______.
x
y -1113
2
2
-O
答案:{(x ,y )|-1≤x ≤23,-2
1
≤y ≤1,xy ≥0} 12.不等式
3
252
---x x x
≤-1的解集为_______. 解析:原不等式等价于3
22
322--+-x x x x ≤0
)
1)(3()
1)(2(+---x x x x ≤0
⎩
⎨
⎧≠+-≤---+.0)1)(3(,
0)3)(2)(1)(1(x x x x x x 由数轴穿根法可知原不等式解集为 {x |-1＜x ≤1或2≤x ＜3}(如图).
-10123x ++--+答案:{x |-1＜x ≤1或2≤x ＜3}
13.设集合M ={x ∈Z |x
-26
∈Z },若用列举法表示集合M ,则M =_______.
答案:{-4,-1,0,1,3,4,5,8}
14.对于定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)=x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点.若二次函数f (x )=x 2+ax +1没有不动点，则实数a 的取值范围是________.
解析:函数没有不动点,即方程x 2+ax +1=x 无解，即x 2+(a -1)x +1=0无解. ∴Δ=(a -1)2-4＜0.得-1＜a ＜3. 答案:(-1,3)
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分10分)已知集合A ={a |2
2-+x a
x =1}有唯一实数解，用列举法表示集合A .
解:由22-+x a x =1得⎪⎩⎪⎨⎧≠-=---.
02,
022
2x a x x
由方程x 2-x -a -2=0得Δ=1+4(a +2)=0，解得a =-49,此时x =2
1
满足②. ∴A ={-
4
9
}. 16.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-5x +6＜0},B ={x |x 2-4ax +3a 2＜0},且A ⊆B ,求实数a 的取值范围.
解:A ={x |x 2-5x +6＜0}={x |2＜x ＜3}， B ={x |x 2-4ax +3a 2＜0}={x |(x -a )(x -3a )＜0}. (1)当a ＞0时,B ={x |a ＜x ＜3a }.
∵A ⊆B ,∴⎩
⎨⎧≥≤.33,
2a a 解得1≤a ≤2.
(2)当a ＜0时，B ={x |3a ＜x ＜a }.
由A ⊆B ,得⎩
⎨⎧≥≤,3,
23a a 解集为∅.
(3)当a =0时，B ={x |x 2＜0}=∅不合题意.
综上(1)(2)(3)可知1≤a ≤2.
17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-4x +3＜0},B ={x ||x -3|≤1}. (1)试定义一种新的集合运算Δ，使A ΔB ={x |1＜x ＜2}; (2)按(1)的运算，求出B ΔA.
解:易得A ={x |1＜x ＜3},B ={x |2≤x ≤4}. (1)∵A ΔB ={x |1＜x ＜2},
由上图可知A ΔB 中的元素都在A 中但不在B 中，
∴定义A ΔB ={x |x ∈A 且x ∉B }.
(2)由(1)可知B ΔA ={x |x ∈B 且x ∉A }={x |3≤x ≤4}. 18.(本小题满分12分)设函数f (x )=1
3
2++-x x 的定义域为A ,不等式(x -a -1)(2a -x )>0(a <1)的解集为B.
(1)求A ;
(2)若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.
分析:本题考查不等式的解及集合的关系等基础知识,可先利用已知条件求出集合A 、B ,然后借助于数轴的直观性解决此类问题.
解:(1)由2-1
3
++x x ≥0,得11+-x x ≥0.
∴x <-1或x ≥1,即A =(-∞,-1)∪［1,+∞). (2)由(x -a -1)(2a -x )>0,得(x -a -1)(x -2a )<0.
①
②
∵a <1,∴a +1>2a .∴B =(2a ,a +1). ∵B ⊆A ,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥2
1
或a ≤-2. 而a <1,∴
2
1
≤a <1或a ≤-2. 故当B ⊆A 时,实数a 的取值范围是(-∞,-2］∪［
2
1,1). 19.(本小题满分12分)已知汽车从刹车到停车所滑行的距离s (m)与速度v (m/s)的平方及汽车的总重量t (t)的乘积成正比.设某辆卡车不装货物以50 m/s 行驶时，从刹车到停车滑行了20 m.如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶，并与前面的车辆距离为15 m(假设卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1 s)，为了保证前面车辆紧急停车时不与前面车辆撞车，最大限制速度是多少？
解:由题意知s =k v 2t,
当v =50时,s =20，∴kt =2v
s =1251
.
设不撞车时的速度为v ，则v 应满足k v 2·2t ＜15-v ·1，
即1252v 2+v -15＜0,解得-75＜v ＜2
25. 又∵v ＞0,∴0＜v ＜225
.
答:最大限制速度是2
25
m/s.。