福建省莆田四中高二数学上学期期中考试试题 理 新人教

莆田四中2012-2013学年上学期期中
高二年段数学科（理科）试卷
命题者：吴春山 审核者：黄旭东 2012.11.17
一、选择题：本大题共10小题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的）． 1．椭圆x 216＋y 2
25
＝1的焦点坐标是( ) A ．(±4,0) B ．(0，±4) C ．(±3,0) D ．(0，±3)
2．已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为( )
A. 2
1
-
B. 23-
C. 21
D. 23
3．口袋中有4个白球2个黑球，从中任取2球，则下列关系是互斥事件的是（ ）
A ．一个白球、一个黑球与至少一个白球； B. 一个白球、一个黑球与至少一个黑球；
C. 两个都是白球与至少一个白球；
D. 两个都是白球与一个白球、一个黑球.
4．设有一个直线回归方程为 ^
2 1.5y x =- ,则变量x 增加一个单位时( ) A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位 5．下列说法正确．．
的是（ ） A. “1-≠x ”是“06-5-2
≠x x ”的充分不必要条件．
B. 命题“x R ∃∈，使得2
10x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有2
10x x ++<”． C. 命题“若2
1x =，则1=x ”的否命题为：“若2
1x =，则1x ≠”． D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．
6．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2 后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A ．众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差
7．一个几何体的正视图、侧视图是两个边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（ ）
A ．6
B ．22+
C ．32+
D ．42+8.过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）
Ａ．(11)-， Ｂ．(1)(1)--+U ，，∞∞ Ｃ．(10)
(01)-U ，， Ｄ．ππ44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
9．已知()(){,|6,0,0},{,|20,4,0}x y x y x y A x y x y x y Ω=+≤≥≥=-≥≤≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ）
1.9A
2.9B 1.3C 4.9
D 10．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两
渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，3
16
λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
322 B ．355 C ．233 D ．9
8
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的
位置上．
11．根据气象资料统计，某地元旦下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为_________.
12．已知椭圆22
192x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若14PF =,则12F PF ∠=_________.
13．已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为_____________.
14．下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_____________.
15．洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz,1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937
年提出了一个 著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即
2
n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即
31n +）
，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，
我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，
目前谁也不能
证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：
1可以多次出
现）后的第八项为1，则n 的所有可能的取值为_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（1）求离心率6
e =，且过点（3，0），焦点在y 轴上的椭圆的标准方程。

（2）双曲线C 与2241x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是y=2x ，求双曲线C 的方程。

17．某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩(单位：秒)如下：
(1)请画出茎叶图（前两位数字为茎，后一位数字为叶）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)． (2)从甲、乙两人的前4次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个不高于 13.25秒的概率．
18．已知等比数列{n a }的公比q=3，前3项和3
13
3=S 。

（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在6
x π
=
处取得最大值，且最大值
为3a ，求函数f （x ）的解析式。

19.如图，圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC-A 1B 1C 1，
三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径。

（1）证明：O 1A ∥平面B 1OC ；
（2）证明：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1；
（3）设AB=AA 1 =2，在圆柱OO 1内随机选取一点，记该点取自于
三棱柱ABC-A 1B 1C 1内的概率为P ，当点C 在圆周上运动时，求P 的最大值；
20．设命题p :在(]0,2x ∈内，不等式2
30x
x m
-
+≥恒成立；命题q :方程22
135x y m m
+=--表示双曲线. (1)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题: ""p q ∨为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.
21．如图，椭圆C ：22
22+1x y a b
=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不
过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(1)求椭圆C 的方程；
(2) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．
莆田四中2012-2013学年上学期期中高二年段数学科（理）试卷答案
一、选择题 DADCD DCBBC
10.解析：双曲线的渐近线为：y ＝b x a ±
，设焦点F （c ，0）
，则A （c ，bc
a
），B （c ，
－
bc a
）， P （c ，2b a ），因为OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r 所以，（c ，2
b a
）＝（()c λμ+，
()
bc
a
λμ-）， 所以，λμ+＝1，λμ-＝
b c ，解得：,22c b c b c c λμ+-==，又由3
16
λμ=，得：
3
2216
c b c b c c +-⨯=，解得：2234a c =，所以e ＝233。

二、填空题11．0.35 12. 32π
13. 120° 14. 3 15.
{}
2,3,16,20,21,128
三、解答题
16．(1)Q 椭圆的焦点在y 轴上，∴可设椭圆方程为22
221y x a b
+=
又离心率63c
e a
==，且过（3,0）∴33,3,a b == ∴
17．解：(1)茎叶图从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度
较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好。

(2)记甲的前4次成绩为a,b,c,d;乙的前4次成绩为1,2,3,4. 设事件A 为：甲、乙两人成绩至少有一个不高于13.25秒
则从甲、乙两人的前4次成绩中各随机抽取一次的可能情况为：
（a,1）, （a,2）, （a,3）, （a,4）, （b,1）, （b,2）, （b,3）, （b,4）, （c,1）, （c,2）, （c,3）, （c,4）, （d,1）, （d,2）, （d,3）, （d,4）共16种；
其中，满足事件A 的可能情况为：（a,1）, （a,2）, （a,3）, （a,4）, （b,1）, （b,2）, （b,3）, （b,4）, （c,1）, （c,2）, （c,3）, （c,4）, （d,1）, （d,4）共14种。

所以P （A ）=
147168
=
18．解：（I）由
3
1
3
(13
)
1313
3,,
3133
a
q S
-
===
-
得
19. 解(1)连结
1
O A，
11
O B
Q∥OA且
11
O B=OA∴四边形11
AOB O为平行四边形
∴
1
O A∥
1
OB又
1
OB⊂平面
1
B OC∴1O A∥平面1B OC
（2）⊥
A
A
1
Θ平面ABC，⊂
BC平面ABC，BC
A
A⊥
∴
1
AB
Θ是圆O的直径，AC
BC⊥
∴
又A
A
A
AC=
1
I，⊥
∴BC平面
1
1
ACC
A
而⊂
BC平面
1
1
BCC
B，
所以平面
1
1
ACC
A⊥平面
1
1
BCC
B。

（3）解法一：设圆柱的底面半径为r，则
1
2
AB AA
==
故三棱柱
1
1
1
_C
B
A
ABC的体积
1
1
BC1AC BC1
2
V AC
=⋅⋅=⋅⋅
又2222
4*1
AC BC AB
+==
Q
22
2
2
AC BC
AC BC
+
∴⋅≤=
当且仅当2
AC BC
==
1
2
V≤
而圆柱的体积222
V r r
ππ
=⋅=，故
π
π
1
2
2
3
3
2
1=
≤
=
r
r
V
V
p，
当且仅当r
BC
AC2
=
=，即AB
OC⊥时等号成立。

所以，p的最大值等于
π
1解法二：设圆柱的底面半径为r，则r
AA
AB2
1
=
=，
故三棱柱
1
1
1
_C
B
A
ABC的体积r
AC
V⋅
⋅
=
⋅
⋅
=BC
AC
2r
BC
2
1
1
设
)
900(οο<<=∠ααBAC ，则
α
αcos 2cos r AB AC ==，
ααsin 2sin r AB BC ==，
由于2
2222sin 2cos sin 4r r r BC AC ≤==⋅ααα，
当且仅当12sin =α即ο
45=α时等号成立，故3
12r V ≤
而圆柱的体积3
2
22r r r V ππ=⋅=，故π
π1
223
321=≤=r r V V p ， 当且仅当12sin =α即ο
45=α时等号成立。

所以，p 的最大值等于
π
1
解法三：设圆柱的底面半径r ，则r AA AB 21==，故圆柱的体积3
2
22r r r V ππ=⋅= 因为V
V p 1
=
，所以当1V 取得最大值时，p 取得最大值。

又因为点C 在圆周上运动，所以当AB OC ⊥时，ABC ∆的面积最大。

进而，三棱柱
111_C B A ABC 的体积最大，且其最大值为322221r r r r =⋅⋅⋅ 故p 的最大值等于π
1
20.解(1)若命题q 为真，则（m-3）(5-m) < 0,所以m>5或m<3 (2)若命题p 为真，则在(]0,2x ∈内，不等式23x x m ≤+恒成立，即13
x m x
≤+恒成立 令3()g x x x =+
，则min 1
()g x m
≤= 所以0m <
或m ≥
由""p q ∨为真命题，且“p q ∧”为假命题知：p 与q 一真一假。

若p 真q
假，则5,3
0m m m ><⎧⎪
⎨≤<⎪
⎩06m ⇒≤< 若p 假q
真，则35
0,m m m ≤≤⎧⎪
⎨<≥
⎪⎩
35m ⇒≤≤
综上，0m ≤<或35m ≤≤ 21. 解(Ⅰ)由题：1
2
c e a =
=； (1)
左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)
的距离为：d =
= (2) 由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，． ∴所求椭圆C 的方程为：22
+143
x y =．
(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝12
x 0． ∵A ，B 在椭圆上， ∴22
02
2
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒=
=-⨯=-⨯=-⎨-+⎪=⎪⎩．
设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣32
x m +(m ≠0)，
代入椭圆：22
22+143
333032
x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨
⎪+⎪⎩＝-．
显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->．
m
m ≠0．
由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝23
3
m -．
∴|AB |
A B x x -|
∵点P (2，1)到直线l
的距离表示为：d =
=
．
∴S ∆ABP ＝12d |AB |＝12|m ＋
当|m ＋2|
m ＝﹣3 或m ＝0(舍去)时，(S ∆ABP )max ＝12．
此时直线l 的方程y ＝﹣3122
x +．。