河北省武邑中学高三上学期期末考试数学(理)试题有答案

河北武邑中学高三年级上学期期末考试
数学试题（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设i 是虚数单位，复数
1a i
i
-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． 1 B ． -1 C ．
1
2
D ．-2 2.设α为锐角，()()sin ,1,1,2a b α==，若a 与b 共线，则角α=（ ） A ． 15° B ． 30° C ．45° D ．60° 3.下列说法正确的是（ ）
A ．命题“若2340x x --=，则4x =”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠ ”
B ．0a >是函数a
y x =在定义域上单调递增的充分不必要条件 C ．()000,0,34x
x x ∃∈-∞<
D ．若命题:,3500n P n N ∀∈>，则00:,3500n
P x N ⌝∃∈≤
4. 已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）
A ．
2 B ．2 C. 2- D ．2
- 5. 若双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与直线1y =-所围成的三角形面积为2，则该双曲线的
离心率为（ ）
A ．
2
B D 6.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何，下图网格纸中实线部分分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）
A ．3立方丈
B ．5立方丈 C.6立方丈 D ．12立方丈
7. 从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ） A ．
57 B ．59 C. 27 D ．49
8. 将曲线1:sin 6C y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
上各点的横坐标缩短到原的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2
π
个单位长度，得到曲线()2:C y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A ．5,66ππ⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦ B ．2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．,6ππ⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦ 9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入
,n x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（ ）
A ． 32
B ． 64 C. 65 D ．130
10. 若()()5
0,2a x y ax y <-+展开式中4
2
x y 的系数为-20，则a 等于（ ）
A ． -1
B ． 32-
C. -2 D ．5
2
- 11. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，
0,,60,2,2,3PA AB PA AC BAC PA AB AC ⊥⊥∠====，则球O 的表面积为（ ）
A ．
403π B ．303π C. 203π D ．10
3
π 12.已知函数()2
13ln 2f x x x a x ⎛
⎫
=-+-
⎪⎝⎭
在区间()1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．1,52⎛⎫-
⎪⎝⎭
B ．111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,52⎛⎫
⎪⎝⎭
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.已知抛物线()2
20y px p =>的准线与圆()2
2316x y -+=相切，则p 的值为 ．
14.已知实数,x y 满足20
41
x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2y x +的最小值为 ．
15.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2
1x
f x
g x e x -=++，则函数
()()()h x f x g x =+在点()()0,0h 处的切线方程是 ．
16.已知a b c 、、是ABC ∆的三边，()4,4,6,sin 2sin a b A C =∈=，则c 的取值范围为 ．
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2
n n S n a =+．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列11n n a b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
18.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表： 表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
（2）甲、乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立，记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的 分布列和数学期望； （3）将表1和表2的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为317
60
），记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2
0s ，判断2s 与2
0s 的大小（只需写出结论）．
19.如图，直角梯形BDFE 中，//,,EF BD BE BD EF ⊥=ABCD 中，
//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．
（1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为
4
π
，求二面角B DF C --的余弦值．
20. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为3的椭圆过点⎭． （1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于,P Q 两点，连接PQ ，求BPQ ∆的面积的最大值．
21. 已知函数()()2
2ln f x x x mx m R =+-∈．
（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若17
52
m <<
，且()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()12f x f x -的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26
x t
y t =⎧⎨
=+⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()12f x x x a =+++． （1）当4a =-时，求()f x 的最小值； （2）若2a >时，()7f x ≥对任意的,12a x ⎡⎤
∈--⎢⎥⎣⎦
恒成立，求a 的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5ABDAA 6-10 BCBCA 11、12：AB
二、填空题
13. 2 14.
1
5
15. 20x y +-=
16. ( 三、解答题
17.解：（1）因为22
11n n n n a a a a +-+=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，
因为10,0n n a a ->>，所以10n n a a -+≠，所以11n n a a --=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =， 当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=， 当1n =时，12b =也满足，所以2n b n =； （2）由（1）可知
()1111112121n n
a b n n n n -⎛⎫
=
=- ⎪++⎝⎭
，
所以()1111111
1222334121n n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
． 18.解：（1）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，所以()153
204
P A ==； （2）X 可能的取值为0，1，2，
记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”
则()()
()512;11533P B P B P B =
==-=；()()()
409
P X P B P B ===；()1211411339
P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()()()129P X P B P B ===，
所以X 的分布列为：
()412
0129993
E X =⨯+⨯+⨯=，
（注：学生得到12,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以()12233E X =⨯=，同样给分）
； （3）22
0s s <．
19.解：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE BD ⊥，平面BDFE 平面ABCD BD =，
∴BE ⊥平面ABCD
，又AC ⊂平面ABCD
，∴AC BE ⊥， 又∵AC BD ⊥，且BE BD B =，∴AC ⊥平面BDFE ；
（2）设AC
BD O =，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242
DOC AB CD π
∠=
==，
∴OD OC OB OA
==
==
∵//OB FE ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ， 又∵BE ⊥
平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD
， ∴FBO ∠为BF
与平面ABCD 所成的角，∴4
FBO π
∠
=，
又∵2
FOB
π
∠=
，∴OF OB ==
以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为轴，建立空间直角坐标系，
则()(
)((
)()
,0,,,,B D F C A ，
()()0,2,22,2,DF CD ==，
∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0，
设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =，
由00DF n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得00+=-=⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-， 222
2cos ,31221n AC =
=
++，∴二面角B DF C --的余弦值为2
3
． 20.解：（1）由题意可设椭圆方程为()22
2210x y a b a b +=>>，则22
3271
9c a a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩， 故31
a b =⎧⎨=⎩，所以，椭圆方程为2
219x y +=； （2）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为0，
故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >， 由22
1
990
y kx x y =+⎧⎨
+-=⎩，消去y 得()
22
19180k x kx ++=，
则BP
=0k >换成1
k
-，得：29BQ k =+，
22
2211181181
22211621829APQ k k k S BP BQ k k k k ∆++=
==⎛
⎫
==+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭⎝
⎭
设1
k t k
+
=，则2t ≥， 故2
16216227
6496489BPQ t S t t t
∆=
=≤=++，取等条件为649t t =，即83t =， 即183k k +
=，解得43k =时，BPQ S ∆取得最大值27
8
． 21.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2
2f x x m x
'=
+-， ()f x 的定义域内单调递增，则()2
20f x x m x
'=
+-≥， 即2
2m x x
≤
+在()0,+∞上恒成立，
由于
2
24x x
+≥，所以4m ≤，实数m 的取值范围是(],4-∞； （2）由（1）知()22222x mx f x x m x x -+'=+-=，当17
52m <<时()f x 有两个极值点，此时
12120,12
m
x x x x +=
>=，∴1201x x <<<， 因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，解得111
42x <<，
由于21
1x x =
，于是()()()()22
121112122ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()22
21212121121
1
2ln ln 4ln x x m x x x x x x x =---+-=
-+， 令()2
214ln h x x x x
=
-+，则()()2
22
210x h x x
--'=<，
∴()h x 在11,42⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，()1124h h x h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即()()()()1211
41ln 2161ln 2416
f x f x --
<-<--， 故()()12f x f x -的取值范围为152554ln 2,16ln 2416⎛⎫
--
⎪⎝⎭
．
22.解：（1）由26x t
y t =⎧⎨=+⎩
，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，
由ρθ=
，得2
cos ρθ=
，所以2
2
x y +=
，即(2
22x y -+=，
故曲线C
的普通方程为(2
22x y +=；
（2
）据题意设点)
M
θ
，则
2sin 4x y πθθθ⎛
⎫-+=+ ⎪⎝
⎭，
所以x y +
的取值范围是2⎡-++⎣．
23.解：（1）当4a =-时，()124f x x x =++-， 当1x ≤-时，()12433f x x x x =---+=-+； 当12x -<<时，()1245f x x x x =+-+=-+； 当2x ≥时，()12433f x x x x =++-=-；
即()33,15,1233,2x x f x x x x x -+≤-⎧⎪
=-+-<<⎨⎪-≥⎩
，
又因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，如图所示，所以当2x =时，()f x 有最小值3； （2）因为,12a x ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦
，所以10,20x x a +≤+≥，则()()()1217f x x x a x a =-+++=+-≥， 可得8a x ≥-+对任意,12a x ⎡⎤∈-
-⎢⎥⎣⎦恒成立，即82a a ⎛⎫
≥--+ ⎪⎝⎭
，解得16a ≥， 故a 的取值范围为[)16,+∞.。