天津市滨海新区五所重点学校高三数学联考试题试题 理(含解析)新人教A版

数学试卷（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

考试结束后，将II 卷答题卡和选择题答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共40分） 注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只
有一个是正确的）
1．复数2
2 (
)1i i
-（其中i 为虚数单位）的虚部等于( ) A ．i - B ． 1- C ． 1 D ．0 【答案】B
22222 22()2(1)
i i i i i i ===---,所以虚部为1-，选B. 2. :||2p x >是:2q x <-的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
由2x >得2x >或2x <-，所以:||2p x >是:2q x <-的必要不充分条件，
选C.
3．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ）
A ．39
B ．21
C ． 81
D ．102 【答案】D
第一次循环，3,2S n ==;第二次循环，2
32321,3S n =+⨯==;
第三次循环，3
2133102,4S n =+⨯==;第四次循环，不满足条件，输出
32133102S =+⨯=，选D.
4. 若51()ax x
-(0)a >展开式中3
x 的系数为5
81
-，则a 的值为（ ） A.
13 B. 19 C. 127
D. 1 【答案】A
二项展开式的通项为55521551
()
()(1)k
k
k k k k k k T C ax C a x x
---+=-=-，由523k -=得1k =，所以143
25
(1)T C a x =-，即3x 的系数为45a -，即45581
a -=-，所以4181a =，解得1
3
a =，选A.
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，在双曲线右支
上存在一点P 满足12PF PF ⊥且126
PF F π
∠=
，那么双曲线的离心率是（ ）
A ．2
B ．3
C ．31+
D ．51+
【答案】C
因为12PF PF ⊥且126
PF F π
∠=
，所以21,3PF c PF c ==,又
1232PF PF c c a -=-=，所以
22(31)31(31)(31)
c a +===+-+，即双曲线的离心率为31+，选C.
6. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b ==， 且ABC ∆面积为3,则
sin sin a b
A B
+=+( )
A. 21
B. 239
C. 221
D. 27 【答案】D
01
sin12032
ABC
S
bc ==，即13322c ⨯
=，所以4c =，所以22202cos12021a b c bc =+-=，所以21a =。

因为
2sin sin a b
R A B
==，所以21
227sin 3
a R A =
==，所以
2(sin sin )227sin sin sin sin a b R A B R A B A B ++===++,选D. 7. 在平行四边形ABCD 中，2,AE EB CF FB ==,连接CE 、DF 相交于点M ， 若AM AB AD λμ=
+,则实数λ与μ的乘积为（ ）
A ．
14 B ．38 C ．34 D ． 4
3
【答案】B
因为,,E M C 三点共线，所以设(1)AM x AE x AC =+-,则
(1)()(1)(1)22
x x
AM AB x AB AD AB x AD =
+-+=-+-。

同理,,D M F 三点共线，所以设(1)AM y AF y AD =+-,则2(1)3y AM y AB AD =+-，所以有12
2113x
y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-
⎪⎩
，解得
34y =
，即3142AM AB AD =+，所以31,42λμ==，即313
428
λμ=⨯=，选 B.
8.已知函数234
2013
()12342013
x x x x f x x =+-+-++, 234
2013()1234
2013
x x x x g x x =-+-+-
-,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-， 且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ． 10 D ． 11 【答案】C
函数的导数为()201320132
3
2012
1()1'11()1x x f x x x x x
x x
--+=-+-⋅⋅⋅+==--+，由
'()0f x =得1x =-，即函数的极小值为(1)f -，所以()11
1
111023
2013
f -=----
-
<。

当1x <-时，()0f x <，又(0)1f =，所以在(1,0)-上函数有且只有一个零点，即()3f x +在
(4,3)
--上函数有且只有一个零
点.()201320132
3
2012
1()1'11()1x x g x x x x x
x x
----+=-+-+⋅⋅⋅-==--+，由'()0g x =得1x =，即
函数的极小值为(1)f ，所以()111
111023
2013
g =-+
-+-
>。

当1x <-时，()0g x >，又(0)1g =，(1)0g >，(2)0g <，所以在(1,2)上函数()g x 有且只有一个零点，即()4g x -在(5,6)上函数有且只有一个零点，又函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，所以6,4b a ≥≤-，即10b a -≥，所以-b a 的最小值为10，选C. 2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（理科） 第Ⅱ卷 (非选择题，共110分) 注意事项：
1．第Ⅱ卷共３页，用黑色的水笔或签字笔将答案直接答在答题卡上． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
请把答案填在答题卡的相应的横线上.
9.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为4:3:2， 现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件， 那么此样本容量=n ． 【答案】 72
由题意可知22(
)162349
n
n ⨯==++，解得72n =。

10.右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 .
【答案】243
π
-
由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2,1的长方体挖去一个半径为1的半球。

所以长方体的体积为2214⨯⨯=，半球的体积为
142233
π
π⨯=
，所以该几何体的体积为243
π
-。

11. 已知13
2log a =，06
2b =.，43c =log ，则,,a b c 的大小关系为 ．
【答案】a c b <<
13
20a =<log ，0621b =>.，01c <<，所以a c b <<。

12. 己知集合2
22{|28},{|240}x
x
A x
B x x mx -=<=+-<，
若{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<<，则实数m 等于 . 【答案】
32
2
22{|28}{|230}{13}
x
x
A x x x x x x -=<=--<=-<<，因为
{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<<，所以由数轴可知{|41}B x x =-<<，即4,1-是方程2240x mx +-=的两个根，所以4123m -+=-=-，解得32
m =。

13. 直线4,:(),:22cos()12.
4x a t l t C y t π
ρθ=+⎧=+⎨
=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重
合，且单位长度相同），若直线l 被圆C 截得的弦长为65
，则实数a 的值为 . 【答案】 0或2
在平面直角坐标系下直线方程为2(2)0x y a ++-=，圆的方程为
2222x y x y +=-，即22(1)(1)2x y -++=，所以圆心为(1,1)-，半径2r =。

若直线l 被
圆C 截得的弦长为
655，则圆心到直线的距离2
23595()255d r =-=-=，又2
12215
5
12a a d -+--=
=
=
+，即11a -=，解得0a =或2a =。

14. 设函数011
()(),2
1
x f x x A x =+
+为坐标原点，()n A y f x =为函数图象上横坐标为*
()n n N ∈的点，向量11
,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑向量设为向量与向量的夹角，
满足
1
5
tan 3
n
k k θ=<
∑的最大整数n 是 . 【答案】3
由题意知(,())n A n f n =，又1
01
n
n k k n k a A
A A A -==
=∑，因为
n n a i θ为向量与向量，所以()11tan ()2(1)n n f n n n n θ=
=++，所以111
tan 122
θ=+=，2115tan 4612θ=
+=，3115tan 81224θ=+=，4119tan 162080θ=+=。

因为5513112248
++=，
559139112248080+++=，且135139
8380<<，所以满足1
5tan 3n
k k θ=<∑的最大整数n 是3.
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本题满分13分）
已知函数22
()sin 23sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求：
(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (II) 求函数()f x 在区间[,]63
ππ
-上的值域．
16．（本题满分13分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试， 在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是
5
3
，乙只能答对其中的3道题． 答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．
17.（本题满分13分）
如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，
且PA PD AD ==
,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ； (Ⅲ) 求二面角B PD C --的正切值．
18．(本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*
22()n n S a n N =-∈，
数列{}n b 满足11b =，且点*
1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上．
（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ； （Ⅲ）设2
2*sin
cos ()22
n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．
B
A
19. (本题满分14分) 设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为12,F F ，
上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =，且2AF AB ⊥． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）D 是过2F B A 、、三点的圆上的点，D 到直线:l 椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 与椭圆C 交于N M 、两点，线段MN 的中垂线
与x 轴相交于点)0,(m P ，求实数m
20． (本题满分14分) 设函数()ln a
f x x x x
=+，32()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()
()f x h x x
=
的单调性； （Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； （Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．
2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学答案（理科）
一．选择题： B C D A C D B C
二、填空题：
9． 72 10． 243
π
- 11． a c b << 12．
3
2
13． 0或2 14． 3 三、解答题
15
．已知函数22
()sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求：
(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (II)求函数()f x 在区间[,]63ππ
-
上的值域． 【解】(I)：
1cos 23(1cos 2)
()222
x x f x x -+=+
22cos 2x x =+2sin(2)26
x π
=++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴最小正周期22
T π
π==， ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤+
∈时()f x 为单调递增函数
∴()f x 的单调递增区间为[,],36
k k k Z ππ
ππ-
+∈．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (II)解: ∵()22sin(2)6f x x π=++，由题意得: 63
x ππ
-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-，
∴1
sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[1,4]f x ∈
∴()f x 值域为[1,4] ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 16. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每次考试每人必须从备选的6道题中 随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是
5
3
， 乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率． 【解】设乙的得分为X ，X 的可能值有0102030,,, .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
333
61020()C P X C ==
= 21333
6
9
1020()C C P X C === 12
333
692020()C C P X C ==
= 333
61
3020()C P X C === ．．．．．．．．．．．．．．．5分 乙得分的分布列为：
B
A
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
1991
01020301520202020
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= 所以乙得分的数学期望为15 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (2) 乙通过测试的概率为
191
20202+= ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 甲通过测试的概率为3
2
2
3332815
5
5125
()()
C += ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 甲、乙都没通过测试的概率为18122112125125
()()-
⋅-= 因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为22103
1125125
-
= ．．．．．．．．．13分 17
．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,
侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD
==若E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ； (Ⅲ) 求二面角B PD C --的正切值． 法一：(Ⅰ)证明：ABCD 为平行四边形 连结AC BD F =，F 为AC 中点，
E 为PC 中点∴在CPA ∆中E
F //PA ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分 且PA ⊆平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴
PAD EF 平面// ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(Ⅱ)证明：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD 面ABCD AD =
ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD ∴
CD PA ⊥ ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
又PA PD AD ==
，所以PAD ∆是等腰直角三角形，
B
A
且2
PAD π
∠= 即PA PD ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．6分
CD
PD D =，且CD 、PD ⊆面ABCD
PA ⊥面PDC ．
．．．．．．．．．．．７分 又PA ⊆面PAB 面PAB ⊥面PDC ．．．．．．．8分 (Ⅲ) 【解】：设PD 的中点为M ,连结EM ,MF , 则EM PD ⊥由(Ⅱ)知EF ⊥面PDC , EF PD ⊥，PD ⊥面EFM ，PD MF ⊥，
EMF ∠是二面角B PD C --的平面角 ．
．．．．．．．．．．12分 Rt FEM ∆
中，12
4EF PA a =
= 11
22
EM CD a ==
4tan 122
EF EMF EM a
∠=== 法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF .
∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD , PAD ABCD AD ⋂=平面平面,
∴PO
ABCD ⊥平面,
而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥. ∵2PA PD AD ==
,∴PA PD ⊥,2
a
OP OA ==. 以O 为原点,直线,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,
则有(,0,0)2
a
A ,(0,
,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2
a
C a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424
a a a
E - .．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（Ⅰ）证明：易知平面PAD 的法向量为(0,,0)2a OF =而(,0,)44
a a
EF =-,
且(0,,0)(,0,)0244
a a a
OF EF ⋅=⋅-=, ∴EF //平面PAD .．．．．．．．．．．．．．6分
(Ⅱ)证明：∵(,0,)22
a a
PA =-,(0,,0)CD a = ∴(,0,)(0,,0)022a a PA CD a ⋅=-⋅=,
∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PD CD D =,
∴PA PDC ⊥平面,而PA PAB ⊂平面,
∴平面PAB ⊥平面PDC ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
(Ⅲ) 【解】：由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(,0,)22a a
PA =-.
设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =.∵(,0,),(,,0)22
a a
DP BD a a ==-,
∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅=可得00
22
00
a
a x y z a x a y z ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⎪-⋅+⋅+⋅=⎩,令1x =,则1,1y z ==-, 故(1,1,1)n =-
∴cos ,3
2
n PA n PA n PA
⋅<
>=
=
=
, 即二面角B PD C --的余弦值为
3
．．．．．．
．．．．．．．12分 所以二面角B PD C --的正切值为
2
.．．．．．．．．．．．．．13分 18． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*
22()n n S a n N =-∈， 数列{}n b 满足11b =，且点*
1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上．
（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ； （Ⅲ）设2
2*sin
cos ()22
n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． 【解】（Ⅰ）当1=n ，21=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴ 12(2)n n a a n -=≥，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =
∴2n
n a = ．．．．．．．．．．．．．．．3分 又点*
1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上，∴ 12n n b b +=+，
∴{}n b 是等差数列，公差为2，首项11=b ，∴21n b n =- ．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）∴(21)2n n n a b n ⋅=-⨯ ∴1234
112325272(23)2(21)2n n n D n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+
-⨯+-⨯ ① 23451212325272(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯+⨯+
-⨯+-⨯ ② ①—②得
123411222222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+
⨯--⨯ ．．．．．．．．．．7分
1114(12)
22(21)22(32)612
n n n n n -++-=+⨯--⨯=--- ．．．．．．．．．．．．．．．8分
1(23)26n n D n +=-+ ．．．．．．．．．．．．．9分
（Ⅲ）2(21)
n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数
n n ．．．．．．．．．．．．．．．11分
21321242()()n n n T a a a b b b -=+++-++
213
21
222
222[37(41)]23
n n n n n +--=+++-+++-=--．
．．．．．．．13分 19．设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为1F 、在x 轴负半轴上有一点B ，满足211F F BF =，且2AF AB ⊥. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）D 是过2F B A 、、三点的圆上的点，D 到直线
033:=--y x l 的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 交于N M 、两点，线段MN 的中垂线与x 轴上相交于点)0,(m P 【解】（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F BF =，所以112AF F F =，
即2a c =，故椭圆的离心率2
1
=e ．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （其他方法参考给分） （Ⅱ）由（1）知
,21=a c 得a c 2
1
=于是21(,0)2F a , 3(,0)2a B -，
Rt ABC ∆的外接圆圆心为11(,0)2F a -）
，半径21
||2
r F B a ==．．．．．．．．．．．．5分 D 到直线033:
=--y x l 的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，
所以a a =--2
|321
|，解得2,1,a c b =∴==
．
．．．．．．．．．．．．．．．7分 所求椭圆方程为13
42
2=+y x . ．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,1(2F , l ：)1(-=x k y
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)
1(2
2y x x k y 代入消y 得 01248)43(2
222=-+-+k x k x k 因为l 过点2F ，所以0∆>恒成立
设),(11y x M ，),(22y x N 则2221438k k x x +=+，1212
2
6(2)34k
y y k x x k -+=+-=+ MN 中点222
43(,)3434k k
k k
-++ ．．．．．．．．．．．．．．．10分
当0k =时，MN 为长轴，中点为原点，则0m = ．．．．．．．．．．．．．．．11分
当0k ≠时MN 中垂线方程2
22
314()3434k k y x k k k
+=--++．
令0y =，431432
2
2
+=
+=∴k k k m ．．．．．．．．．．．．．．．12分
230k >，2
1
44k +>， 可得4
10<<∴m ．．．．．．．．．．．．．．13分
综上可知实数m 的取值范围是1
[0,)4
． ．．．．．．．．．．．．．．14分
20.设函数()ln a f x x x x
=
+， 32
()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()
()f x h x x
=
的单调性； （Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立， 求满足上述条件的最大整数M ；
（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．
【解】（Ⅰ）2()ln a h x x x =+，233
212()a x a
h x x x x -'=-+=
， ．．．．．．．1分 ①00,()a h x '≤≥，函数()h x 在0(,)+∞上单调递增 ．．．．．．．．．．．．．．．．2分
②0a >，0(),h x x '≥≥()h x 的单调递增区间为)+∞ ．．．．．3分
00(),h x x '≤<≤
，函数()h x 的单调递减区间为0( ．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立 等价于：12max [()()]g x g x M -≥，．．．．．．．．．．．．．．．．5分
考察3
2
()3g x x x =--，
22
'()323()3g x x x x x =-=-， ．．．．．．．．．．．．．．．6分
．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由上表可知：min max 285
()(),()(2)1327
g x g g x g ==-==，
12max max min 112
[()()]()()27
g x g x g x g x -=-=， ．．．．．．．．．．．．．．．．9分 所以满足条件的最大整数4M =； ．．．．．．．．．．．．．．．．10分
（Ⅲ）当1
[,2]2x ∈时，()ln 1a
f x x x x
=
+≥恒成立 等价于2ln a x x x ≥-恒成立， ．．．．．．．．．．．11分 记2
()ln h x x x x =-，所以max ()a h x ≥
'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。

记'()(1)2ln h x x x =--，1
[,1)2x ∈，10,ln 0,'()0x x x h x -><>
即函数2
()ln h x x x x =-在区间1[,1)2
上递增，
记'()(1)2ln h x x x =--，(1,2]x ∈，10,ln 0,'()0x x x h x -<>< 即函数2
()ln h x x x x =-在区间(1,2]上递减，
1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h = ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 所以1a ≥。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 另解()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--， 由于1
[,2]2
x ∈，'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2
上递减， 当1[,1)2
x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <， 即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2
上递增，
在区间(1,2]上递减， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥。

．．．．．．．．．．．．．．．．14分。