光电子技术_ch3激光原理2

V x , y
L x , y
ik 4
V x , y
1 cos e

ik
ds
L, cos 1 1 cos 2 L
ik x , y , x , y V x , y e ds
5. 横模产生的物理原因
开腔模式形成的定性解释
6. 横模－横向场分布（表现为不同光斑花样）
（1）x, y 轴对称 TEMmn m－X向暗区数 n－Y向暗区数
TEM00
TEM10
TEM20
TEM03
TEM11
TEM31
（2）旋转对称 TEMmn
m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)
TEM00
TEM01
j
1
•衍射积分公式 •自再现概念
光腔中的衍射场 自洽积分方程
二. 光腔中的衍射场自洽积分方程 ik e ik u 2 x , y u 1 x , y 1 cos d s 4 s
……..
ik u j 1 x , y 4

P.45
xx yy a a ik i ikL L V mn x , y mn e d x d y V mn x , y e L aa
分离变量V mn=Fm(X)Gn(Y)
X
c x, a
Y
iX X
c y a
c 2N
P’2 P2(x’,y’)

a
K x y , y V y d y
P1P2 L
2L

2L
a
x2 y2 P1P1 1 2 R1
P’1
P1(x,y)
L

x2 y2 P2P2 2 2 R2 p2 p1 p1 p2 p2 p1
1
e
几何相移
i
u j 1
1

uj

mn kL
2 L
附加相移


根据谐振条件 mn q 当mn得知, 可求得模的谐振频率
§2.5 方形镜对称共焦腔的自再现模
Y
R1
x
Y
+a
L a
+a
2a
R2
-a
0
光电子技术
Optoelectronics Technique
3.3激光器基本结构及输出 Ch.3 激光原理
谐振腔模式 谐振腔纵模
3.3激光器基本结构及输出 Ch.3 激光原理
谐振腔横模 综合腔中的场的纵模和横模的概 念，用符号TEMmnq表示谐振腔中的 场的特征。符号TEM表示腔中的场 是横电磁波；符号q表示轴向驻波 节点数目(严格讲为波节点数一),一 个q值代表一个轴向模；符号mn表 示横向驻波波节的数目，它由腔镜 面上的场分布来确定。不同的mn的 值，表示不同的横模，即有不同的 模式花样。通常也用符号TEMmn表 示不同的横模。例如m=n=0的模， 即TEM00q或TEM00模表示最低阶横 模，亦称基模。
M2
U2(x2, y2)
u j x , y
u j 1 x , y
往返次数足够多时,除表示 振幅衰减和相移的常数因 子外, Uj+1能再现Uj
Uj(xj, yj) Uj+1(xj+1, yj+1)
• 自再现条件
U
j 1
场分布不变－再现
x , y U x , y
u x , y 1 cos d s
j s
e ik
……..
• 自再现模 积分方程
ik V x , y 4
e ik V x , y 1 cos d s
开腔中稳态场分布函数
•自再现模积分方程 (自洽积分方程）
ict t e S 0 m c , t d t （2.5.11) 1 1
Hale Waihona Puke 1 径向长椭球函数
角向长椭球函数
(m=0, 1, 2….)
X Y V mn x , y F m X G n Y S 0 m c , S0n c , c c
) (1 ) R 0( 1 ( c , 1 ) R , 0 n ( c ,1 ) 均为实函数 m
二、厄米～高斯函数 － 近似解 近似解 － 长椭球函数的特殊情况
近似条件： 模场分布集中在镜面中心附近 x , y << a 菲涅尔数较大
c c
ikL
C=2 N 1
ie m Fm X 2
2. 本征值 － 复常数
mn mn e
设 e
i
i mn
－传输因子
与 D 有关
u j 1
2
1

2
uj
2
u j 1 e u j e i
单程模振幅的衰减 相移
D
umnj umnj 1 umnj
2
1 e
1
1
mn
2
D－光场在腔中渡越一次的相对功率损耗－单程损耗
mn－量度自再现模的单程损耗, 不同横模有不同的D mn 模的单程损耗
mn－自再现模在腔内渡越一次的总相移 3. 单程相移
mn arg u j 1 arg u j mn arg

c
c
Fm X e iXX d X
c c
n F n Y
ie ikL 2



F n Y e iY Y d Y
(2.5.6)
ie m F m X 2 ie n G n Y 2
1
X x Fm X S 0 m c , S 0m c , a c Y y G n Y S 0 n c , S 0n c , a c
• 本征值－径向长椭球函数 决定模的相移和损耗
ie m F m X 2
ikL
ikL

1 2



c c
F m X e iX X d X
1 2
c c
G n Y e iY Y d Y
(2.5.6)
• 精确解： 采用类比法
2 i R 0 m c ,1 S 0 m c , t
m
长椭球函数系
a y a
i ik x , y ,x , y K x , y , x , y e K x , y , x, y K x , xK y , y ？ L x , y , x, y x x , x y y , y ？ x x 2 y y 2

1 2
n
n
c R0n
1

1
ie c ,1 2
ikL
1 2
mn
m n
m n 4 Ne
i kL m n 1 2
(1 ) (1 ) R0 ( c , 1 ) R 0 n ( c ,1) m
TEM02
TEM10
TEM20
TEM30
• 基(横)模 TEM00 • 光斑轴对称或旋转对称分布取决于腔镜的几何形状 • 增益介质的不均匀或腔内插入其它光学元件（布氏窗、 反射镜等）会破坏腔的旋转对称性，出现轴对称横模。
§2.3 开腔衍射理论分析方法 一、衍射理论的基本出发点与自再现概念 1. 惠更斯--菲涅尔衍射原理及基尔霍夫衍射积分
m
ikL

1 2


c c
F m X e iX X d X
ict t e S 0 m c , t d t 1 1
2 i R 0 m c ,1 S 0 m c , t
1 1
径向长椭球函数
角向长椭球函数
(2-5-11)
X
a2 L L a
2
f
-a
L
• 分离变量法
V x , y
i L
ik x , y , x , y V x , y e ds
V x , y V x V y
V y
V x x a K x x , x V x d x
c
mn
1
ie ikL m n Fm X G n Y 2
mn

c
c
Fm X e
d X c G n Y e iY Y d Y
(2.5.4)
Y方向和X方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程
ie ikL m Fm X 2
2. 数值解 (数值迭代法)
振幅
2a 2a 2a 2a
300次迭代结果
...
相位
…...
详见图2.4.1
四、自再现模积分方程的解的物理意义 i ik x , y , x , y V x , y V x , y e ds L
本征函数 本征值
对称共焦腔
R1 R2 R L
x , y , x, y L
1 x x y y L
i V x , y L
方形共焦腔

s
V x , y e ik x , y , x , y d s
L x x y y L
1. 本征函数形式
V mn x , y A mn x , y e i mn x , y
横模)
Vmn x , y －镜面上场分布函数 (本征函数
Amnx, y －镜面上振幅分布
mn x , y －镜面上场的相位分布
一般球面镜腔得不到解析解，唯有对称共焦腔有精确解
• 求出V(x,y) 开腔振荡模的场分布
－积分方程的核
• 适用任何对称光腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔） 求解积分方程
三、自再现模积分方程的解法 1. 解析解： －对称共焦腔才能得到解析解
方形镜共焦腔 圆形镜共焦腔 精确解 长椭球函数 超椭球函数 近似 厄米～高斯函数 拉盖尔～高斯函数
其它稳定球面镜腔可通过“等价”对称共焦腔求得
ik u x , y 4

s
e ik 1 cos d s u x , y
各子波源发 出的球面波 倾斜因子
S曲面上光场分布函数
从普遍的电磁场理论推导衍射积分公式 参见朱如曾“激光原理”P.446
2. 自再现模概念
P’

P(x,y)
M1
U1(x1, y1) U3(x3,y3)
i V x , y L
V x , y K x , y , x , y V x , y d s （2.3.6）
i ik x , y , x , y 其中 K x , y , x , y e L
• 本征值－径向长椭球函数 决定模的相移和损耗
m
m n
n
m n ie ikL
2c

2c
i m R 01m c ,1 i n R 01n c ,1

m
2i 2i
m
ie c R 0 m c ,1 2
1
ikL
X x Fm X S0m c , S0m c , c a
Y y Gn Y S0n c , S0 n c , c a
• 本征函数－角向长椭球函数 镜面上场的振幅、相位分布
X Y , V mn x , y F m X G n Y S 0 m c , S c 0n c c