2021年安徽省九年级数学中考复习-三角形

2021年安徽省九年级中考复习-三角形
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.如图,直线a,b被c,d所截,且c⊥a,c⊥b,∠1=60°,则∠2的度数是( )
A.80°
B.60°
C.40°
D.20°
2.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=28°,则∠3的度数是( )
A.22°
B.28°
C.50°
D.30°
3.若一个角的补角比它余角的4倍还多15°,则这个角的度数是( )
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
4.如图,BC∥EF,AC∥DF,添加下列一个条件,仍不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AD=BE
B.∠C=∠F
C.AC=DF
D.BC=EF
5.如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为( )
A.4∶9
B.2∶5
C.2∶3
D.√2∶√3
6.可以用来证明命题“若a2>b2,则a>b”是假命题的反例是( )
A.a=3,b=-2
B.a=2,b=1
C.a=-2,b=3
D.a=-3,b=2
7.若三角形的两条边长分别是3,5,第三条边长是整数,则第三条边长的最大值是( )
A.7
B.6
C.5
D.4
8.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,延长BC到点D,使CD=AC,则tan
22.5°=( )
A.√2+1
B.√2-1
C.√2+1
2D.√2-1
2
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6,DE=2,则BC的长为( )
A.4
B.6
C.8
D.12
10.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC绕点A逆时针旋转至AC',连接BC',E为BC'的中点,连接CE,则CE的最大值为( )
A.√5
B.√2+1
C.√2+1
D.√5+1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.如图,C是线段BD的中点,AD=3,AC=7,则AB的长等于.
12.如图,AB=AC,AB的垂直平分线ED交AC于点D.若∠CBD=30°,则∠A的度数
为.
13.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的一点,连接BE并延长,交CD的延长线于点F.若AE∶ED=2∶1,且平行四边形ABCD的面积为24,则△DEF的面积是.
14.如图,在△ABC中,BC=8,∠BPC=118°,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD ∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是,∠DPE=°.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:sin2 45°+3tan 30°-3tan 60°·cos 30°.
16.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且AC=1,CD=2,DB=4.求证:△ACP∽△PDB.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,AB∥CD.
(1)尺规作图:作出∠CAB的平分线AM,交CD于点M;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若CN⊥AM,垂足为N,求证:N是AM的中点.
18.在△ABC中,AB=25,BC=24,D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD.若DE=3.5,求
AC+AD+CD的值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别是BC,AB边上的高,连接DE.
(1)求证:BC=2DE;
(2)若∠BAC=50°,求∠ADE的度数.
20.如图,点P 表示河对岸(两岸平行)的一幢建筑物,先在岸边的点A 处测得∠PAC=45°,再沿着河岸前进10米后到达点B ,在点B 处测得∠PBC=53°,求河宽.参考数据:sin 53°≈4
5,cos 53°≈3
5,tan 53°≈4
3
六、(本题满分12分)
21.如图,在四边形ABCD 中,∠C=90°,AD ⊥DB ,E 为AB 的中点,DE ∥BC. (1)求证:BD 平分∠ABC ; (2)连接EC ,若∠A=30°,DC=2√3,求EC 的长.
七、(本题满分12分)
22.如图,四边形ABCD 中,AB=BC=2CD ,AB ∥CD ,∠C=90°,E 是BC 的中点,AE 与BD 相交于点F ,连接DE.
(1)求证:△ABE ≌△BCD ;
(2)判断线段AE 与BD 的数量关系及位置关系,并说明理由.
八、(本题满分14分)
23.如图,E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点,连接DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交边DC于点G.
(1)求证:DG·BC=DF·BG;
(2)连接CF,求∠CFB的大小;
(3)作点C关于直线DE的对称点H,连接CH,FH.求证:BF=CH+DF.
答案
1.如图,直线a,b被c,d所截,且c⊥a,c⊥b,∠1=60°,则∠2的度数是( )
A.80°
B.60°
C.40°
D.20°
2.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=28°,则∠3的度数是( )
A.22°
B.28°
C.50°
D.30°
3.若一个角的补角比它余角的4倍还多15°,则这个角的度数是( )
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
4.如图,BC∥EF,AC∥DF,添加下列一个条件,仍不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AD=BE
B.∠C=∠F
C.AC=DF
D.BC=EF
【解析】∵BC∥EF,AC∥DF,∴∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,根据全等三角形的判定方法,添加选项B中的∠C=∠F,不能判定△ABC≌△DEF.
5.如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为( )
A.4∶9
B.2∶5
C.2∶3
D.√2∶√3
6.可以用来证明命题“若a 2>b 2,则a>b ”是假命题的反例是( ) A .a=3,b=-2 B .a=2,b=1 C .a=-2,b=3 D .a=-3,b=2
7.若三角形的两条边长分别是3,5,第三条边长是整数,则第三条边长的最大值是( ) A .7 B .6 C .5 D .4
【解析】根据三角形的三边关系,得5-3<第三条边长<3+5,即2<第三条边长<8,所以第三条边长的最大值是7. 8.如图,在△ABC 中,∠B=90°,∠ACB=45°,延长BC 到点D ,使CD=AC ,则tan 22.5°=( )
A .√2+1
B .√2-1
C .
√2+1
2
D .
√2-1
2
【解析】根据题意,设AB=BC=x ,则AC=CD=√2x ,∴BD=BC+CD=(√2+1)x.∵∠DAC=∠D ,且∠DAC+∠D=∠ACB ,∴∠D=22.5°,∴tan 22.5°=AB
BD =
(2+1)x
=√2-1.
9.如图,在△ABC 中,AB=AC ,D ,E 是△ABC 内的两点,AD 平分∠BAC ,∠EBC=∠E=60°.若BE=6,DE=2,则BC 的长为( )
A .4
B .6
C .8
D .12
【解析】延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N.∵AB=AC ,AD 平分∠BAC ,∴AN ⊥BC ,BN=CN.∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM 为等边三角形,∴BM=EM=BE=6,∠DMN=60°.∵DE=2,∴DM=4.在Rt △DMN 中,∠MDN=30°,∴MN=1
2DM=2,∴BN=BM-MN=4,∴BC=2BN=8.
10.如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC 绕点A 逆时针旋转至AC',连接BC',E 为BC'的中点,连接CE ,则CE 的最大值为( )
A.√5
B.√2+1
C.√2
2+1
D.√5
2+1
【解析】取AB 的中点M ,连接CM ,EM ,∴当CE=CM+EM 时,CE 的值最大.∵将直角边AC 绕点A 逆时针旋转至AC',∴AC'=AC=2.∵E 为BC'的中点,∴EM=1
2AC'=1.∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=2√2,∴CM=1
2AB=√2,∴CM+EM=√2+1. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.如图,C 是线段BD 的中点,AD=3,AC=7,则AB 的长等于 11 .
12.如图,AB=AC ,AB 的垂直平分线ED 交AC 于点D.若∠CBD=30°,则∠A 的度数为 40° .
【解析】设∠A 的度数为x ,根据题意得x+2(x+30)=180,解得x=40,即∠A=40°.
13.如图,在平行四边形ABCD 中,E 是AD 边上的一点,连接BE 并延长,交CD 的延长线于点F.若AE ∶ED=2∶1,且平行四边形ABCD 的面积为24,则△DEF 的面积是 2 .
【解析】∵ED ∶AE=1∶2,AB ∥CD ,∴△DEF ∽△AEB ,∴S △DEF
S
△AEB
=1
4.∵AD ∥BC ,AD=BC ,
∴△DEF ∽△CBF ,DE
BC
=
1
3,∴S △DEF S △CBF
=1
9,∴S △AEB =4S △DEF ,S 四边形BCDE =8S △DEF ,∴
4S △DEF +8S △DEF =24,解得S △DEF =2.
14.如图,在△ABC 中,BC=8,∠BPC=118°,BP ,CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,且PD ∥AB ,PE ∥AC ,则△PDE 的周长是 8 ,∠DPE= 56 °.
【解析】∵BP 是∠ABC 的平分线,∴∠ABP=∠PBD.∵PD ∥AB ,∴∠ABP=∠BPD ,∴∠PBD=∠BPD ,∴BD=PD ,同理得CE=PE ,∴△PDE 的周长
=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8.∵∠PBD=∠BPD ,∠PCE=∠CPE ,∠BPC=118°,∴∠DPE=118°-∠PBC-∠PCB.∵∠PBC+∠PCB=180°-118°=62°,∴∠DPE=118°-(∠PBC+∠PCB )=56°.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15.计算:sin 2 45°+3tan 30°-3tan 60°·cos 30°. 解:原式=(√2
2)2
+3×√3
3-3×√3×√3
2
=1
2+√3−92
=-4+√3.
16.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且AC=1,CD=2,DB=4.求证:△ACP∽△PDB.
证明:∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=∠PDC=60°,PC=CD=PD=2,
∴∠PCA=∠PDB=120°.
∵AC=1,BD=4,∴AC∶PC=PD∶BD=1∶2,
∴△ACP∽△PDB.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,AB∥CD.
(1)尺规作图:作出∠CAB的平分线AM,交CD于点M;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若CN⊥AM,垂足为N,求证:N是AM的中点.
解:(1)如图.
(2)∵AB∥CD,∴∠BAM=∠CMA.
∵AM是∠CAB的平分线,∴∠CAM=∠BAM,
∴∠CAM=∠CMA,∴CA=CM.
又∵CN⊥AM,∴N是AM的中点.
18.在△ABC中,AB=25,BC=24,D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD.若DE=3.5,求
AC+AD+CD的值.
解:∵D,E分别是AB,BC的中点,∴AC=2DE=7.
∵AC2+BC2=72+242=625,AB2=252=625,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,
∴CD=BD,∴AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=32.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别是BC,AB边上的高,连接DE.
(1)求证:BC=2DE;
(2)若∠BAC=50°,求∠ADE 的度数.
解:(1)∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD. ∵CE ⊥AB ,∴DE=BD=CD ,∴BC=2DE. (2)∵AB=AC ,BD=CD ,∴∠BAD=1
2∠BAC=25°.
∵AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,∴∠ADB=∠CEB=90°. ∵∠B=∠B ,∴∠BCE=∠BAD=25°. ∵DE=CD ,∴∠DEC=∠DCE=25°, ∴∠BDE=50°,∴∠ADE=40°.
20.如图,点P 表示河对岸(两岸平行)的一幢建筑物,先在岸边的点A 处测得∠PAC=45°,再沿着河岸前进10米后到达点B ,在点B 处测得∠PBC=53°,求河宽.参考数据:sin 53°≈4
5
,cos 53°≈35
,tan 53°≈
43
解:过点P 作PE ⊥AC 于点E. 设BE=x 米,则AE=(10+x )米. ∵∠A=45°,∴PE=AE=(10+x )米.
∵tan ∠PBE=PE BE ,∴4
3≈10+x
x
,解得x=30,
∴河宽为40米.
六、(本题满分12分)
21.如图,在四边形ABCD 中,∠C=90°,AD ⊥DB ,E 为AB 的中点,DE ∥BC.
(1)求证:BD 平分∠ABC ; (2)连接EC ,若∠A=30°,DC=2√3,求EC 的长. 解:(1)∵AD ⊥DB ,E 为AB 的中点,∴DE=BE=1
2
AB ,
∴∠1=∠2.
∵DE ∥BC ,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BD 平分∠ABC. (2)∵AD ⊥DB ,∠A=30°,∴∠1=60°,∴∠3=∠2=60°.
∵∠BCD=90°,∴∠4=30°,∴∠CDE=∠2+∠4=90°.
在Rt △BCD 中,∠3=60°,DC=2√3,∴DB=4.
∵DE=BE ,∠1=60°,∴DE=DB=4,
∴EC=√DE 2+CD 2=√(2√3)2+42=2√7.
七、(本题满分12分)
22.如图,四边形ABCD 中,AB=BC=2CD ,AB ∥CD ,∠C=90°,E 是BC 的中点,AE 与BD 相交于点F ,连接DE.
(1)求证:△ABE ≌△BCD ;
(2)判断线段AE 与BD 的数量关系及位置关系,并说明理由.
解:(1)∵AB ∥CD ,∠C=90°,∴∠ABE=∠C=90°.
∵E 是BC 的中点,∴BC=2BE.
又∵BC=2CD ,∴BE=CD.
在△ABE 和△BCD 中,{AB =BC ,
∠ABE =∠C ,BE =CD ,
∴△ABE ≌△BCD.
(2)AE=BD ,AE ⊥BD.
理由:由(1)得△ABE ≌△BCD ,∴AE=BD ,∠BAE=∠CBD.
∵∠ABF+∠CBD=90°,
∴∠ABF+∠BAE=90°,∴∠AFB=90°,即AE ⊥BD.
八、(本题满分14分)
23.如图,E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上的一点,连接DE ,过顶点B 作BF ⊥DE ,垂足为F ,BF 交边DC 于点G.
(1)求证:DG ·BC=DF ·BG ;
(2)连接CF ,求∠CFB 的大小;
(3)作点C 关于直线DE 的对称点H ,连接CH ,FH.求证:BF=CH+DF.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°.
∵BF⊥DE,∴∠GFD=90°,∴∠BCD=∠GFD.
∵∠BGC=∠FGD,∴△BGC∽△DGF,∴BG∶DG=BC∶DF, ∴DG·BC=DF·BG.
(2)连接BD.∵△BGC∽△DGF,∴BG∶CG=DG∶FG.
又∵∠BGD=∠CGF,∴△BGD∽△CGF,∴∠BDG=∠CFG.∵四边形ABCD是正方形,BD是对角线,
∴∠BDG=1
∠ADC=45°,∴∠CFB=45°.
2
(3)在线段FB上截取FM,使得FM=FD,连接DM.
∵∠BFD=90°,∴∠MDF=∠DMF=45°,DM=√2DF.
∵∠BDG=45°,∴∠BDM=∠CDF.
∵△BGD∽△CGF,∴∠GBD=∠DCF,∴△BDM∽△CDF,
∴BM∶CF=DM∶DF=√2,∴BM=√2CF.
∵∠CFB=45°,BF⊥DE,点C与点H关于直线DE对称,
∴∠EFH=∠EFC=45°,∴∠CFH=90°.
∵CF=FH,∴CH=√2CF,∴BM=CH,
∴BF=BM+FM=CH+DF.。