三维定向井随钻监测的曲面投影方法

三维定向井随钻监测的曲面投影方法
刘修善
【摘要】并眼轨道的投影图是监测实钻轨迹沿设计轨道行进情况的重要方法,但现有的平面投影方法对于三维定向井和水平井存在较大的误差,甚至导致失真和错误的分析结果.过设计轨道上诸点的铅垂线构成一个铅垂柱面,将实钻轨迹投影到该设计轨道所在的铅垂曲面上,能够科学有效地分析和评价实钻轨迹与设计轨道的符合程度.阐述了井眼轨道曲面投影的原理,建立了曲面投影视平移和水平偏距的概念和计算方法,从而可真实地反映实钻轨迹沿设计轨道在水平方向上的进程以及实钻轨迹与设计轨道的横向偏离程度.通过简单的数学模型,分析了平面投影产生误差的原因及误差估算方法.最后,用计算实例验证了曲面投影方法的科学性和可靠性.
【期刊名称】《石油钻采工艺》
【年(卷),期】2010(032)003
【总页数】6页(P49-54)
【关键词】钻井理论;定向钻井;井眼轨迹;数学模型;监测方法
【作者】刘修善
【作者单位】中国石化石油工程技术研究院,北京,100083
【正文语种】中文
【中图分类】TE242
Abstract:Projection of well path is an important approach to monitoring real drilling trajectory along designed path. However, the plane projection
technique available now may lead to bigger error or irreal results as to 3D directional wells and horizontal wells. The vertical line across all points of designed path constitutes a vertical plane. The coincidence of real drilled trajectory with designed path could be analyzed and evaluated scientifcally by projecting real drilled trajectory on the path-plan curved surface. This paper elaborates the principle of projecting well path on curved surface, proposes the defnition and calculating method of vertical section and horizontal departure. So the real drilled trajectory horizontally along designed path and the lateral runout of real drilled trajectory and designed path could be refected truly. With simple mathematical models, the cause and calculating method of error resulting from plane projection is analyzed. Finally, calculating examples are used to verify that the path-plan curved surface projection is scientifc and reliable.
Key words:drilling theory; directional drilling; hole trajectory; mathematical model; monitoring method
在定向钻井施工过程中，不仅要随时掌握实钻井底的坐标位置及井眼方向，还要与设计轨道进行对比，分析实钻轨迹与设计轨道的相符程度及其变化趋势，以便及时采取调整措施，确保中靶并保持良好的井身质量。

绘制井眼轨道投影图是一种常用的实钻轨迹监测方法。

对于二维设计轨道来说，现有的井眼轨道投影图绘制方法是有效的；但是，如果设计轨道是三维的，则会产生失真，甚至导致错误的结果。

尹德战［1］、卢毓周［2］等初步探讨了三维定向井实钻轨迹视投影长度的计算方法，但仅适用于设计轨道在水平投影图上为特定形状的情况。

笔者将阐述用井眼轨道投影图监测实钻轨迹的科学原理，分析现有投影图绘制方法产生失真的原因，建立具有普遍适用性的三维定向井和水平井井眼轨道投影图的构建方法。

Posing problems
井眼轨道的垂直投影图与投影面的选取及投影方法密切相关。

传统做法是：将设计轨道和实钻轨迹都投影到过井口和靶点所确定的铅垂平面上，并定义“视平移”为“水平位移在设计方位线所在铅垂面上的投影”［3］。

这样，对于二维定向井和水平井，其视平移的计算公式为
式中，V为实钻轨迹的视位移，m；A为实钻轨迹的水平位移，m；φ为实钻轨迹的平移方位角，（°）；ψ为设计平面的方位角，（°）。

然而，对于三维定向井和水平井，这种投影方法存在误差，甚至会使实钻轨迹与设计轨道之间的相互关系产生失真，从而导致错误的分析结果。

特别是，水平井和多目标井都具有2个以上的靶点，如果这些靶点与井口不在同一个铅垂平面内，就只能选取其中的一个靶点与井口的铅垂平面作为投影平面。

因此，必须研究新的投影方法，以保证井眼轨道投影图的科学性和可靠性。

Curved surface projection
绘制井眼轨道投影图的目的是对比实钻轨迹与设计轨道的符合程度及其变化趋势，所以需要将实钻轨迹投影到设计轨道所在的铅垂面上。

二维设计轨道位于过井口点和靶点的铅垂平面内，而三维设计轨道则位于一个铅垂曲面内，这样的铅垂平面和铅垂曲面可分别称之为设计平面和设计曲面。

为了不失一般性，现基于三维定向井和水平井阐述井眼轨道的曲面投影方法。

如图1所示，过设计轨道上的各点作一系列铅垂线，这些铅垂线构成了一个铅垂柱面即为设计曲面。

将实钻轨迹垂直投影到该设计曲面上，得到一个曲面投影轨迹，然后再将设计轨道和曲面投影轨迹分别投影到水平面上。

在上述投影过程中，实钻轨迹上的某点M在曲面投影轨迹上为Q点，再将其投影到水平面上得到Q'点，而不经过曲面投影直接把M点投影到水平面上将得到M'点。

由于设计轨道和曲面投影轨迹都是设计曲面上的曲线，所以过Q点的铅垂线（或其延长线将与设计轨道交
于某点P，且P点和Q点在水平面上的投影（P'点和Q'点）是重合的。

因此，设
计轨道和曲面投影轨迹在水平投影图上将是同一条曲线，实钻轨迹上M点的视平
移就是P'点或Q'点沿这条曲线到井口投影点的长度。

这样，将设计曲面展为平面，便得到了曲面投影条件下井眼轨道的垂直投影图，如图2所示，显然，这样的垂
直投影图对于设计轨道是垂直剖面（展开）图，而对于实钻轨迹则是曲面投影轨迹的垂直剖面（展开）图。

如果设计轨道是二维的，曲面投影便退化为平面投影。

Vertial section and lateral runout
利用上述的曲面投影方法，可以得到适用于二维和三维定向井及水平井的井眼轨道垂直投影图和水平投影图。

在这两张投影图上，要直观地反映出实钻轨迹与设计轨道的偏离程度，还需要引入视平移和水平偏距的概念，并研究其定量计算方法。

如图1所示。

视平移为实钻轨迹投影到设计平面或设计曲面上的水平长度。

通过
曲面投影方法，如果找到了实钻轨迹上M点在设计轨道上的对应点P，那么视平
移就是沿着设计轨道从井口到P点的水平长度。

水平偏距则是实钻轨迹上某点到
设计平面或设计曲面的距离，反映了实钻轨迹与设计轨道在水平方向上的偏离程度［4］。

显然，视平移和水平偏距的数值既可能是正值，也可能是负值。

当视平移出现负值时，表明实钻轨迹的行进趋势与设计轨道是背道而驰的；当水平偏距为正值时，表示实钻轨迹位于设计轨道的右侧；当水平偏距为负值时，表示实钻轨迹位于设计轨道的左侧。

水平偏距的数值越小，说明实钻轨迹的方位控制得越好。

水平投影图上的视平移和水平偏距，如图3所示。

在图1中，M、Q、P三点确定了一个铅垂平面Ω。

在Ω平面内，设曲面投影方
向和铅垂方向上的单位向量分别为u和v，则
式中，i、j、k分别为O—NEH坐标系的单位坐标向量；φP为P点处设计轨道的方位角，（°）。

由于u和v垂直正交，所以Ω平面的单位法向向量为
又因Ω平面过M点和P点，所以其平面方程为
式中，N为北坐标，m；E为东坐标，m。

由于设计轨道上某点P的NP、EP和φP都是其井深的函数，所以根据式（5）可以确定出P点的轨道参数。

进而，P点的水平长度就是M点的视平移，而M点的水平偏距为
特别地，对于二维定向井和水平井，其水平偏距的计算公式为［3-4］
需要说明的是，在利用式（5）求解设计轨道上P点的参数时，应根据定向井或水平井的设计结果选用相应的井眼轨道模型进行插值计算［5］。

目前，常用的井眼轨道有圆柱螺线模型、空间圆弧模型和自然曲线模型。

由于它们的井眼轨道参数都可以表示成井深的函数［4-7］，因此上述计算方法具有普遍适用性，只不过是NP、EP、φP等参数的具体计算公式不同而已。

下面以井眼轨道的自然曲线模型为例，给出视平移和水平偏距的计算方法。

如图1和图3所示。

在实钻轨迹上任取一点M，则M点的轨道参数就是已知的。

为了求得曲面投影中M点在设计轨道上的对应点P，令
式中，L为井深，m。

将设计轨道上各节点（或分点）Pi（i = 1，2，…，n）的北坐标N、东坐标E、方位角φ依次代入式（8）。

如果f（Li）·f（Li+1）≤0，则说明P点位于相邻节点Pi和Pi+1间的井段上。

假设该井段的井眼轨道符合自然曲线模型，则P点的轨道参数为
其中
式中，ΔLi，P为Pi与P点间的井段长度，m；kα为井斜变化率，（°）/30 m，增斜时kα为正值，降斜时kα为负值；kφ为方位变化率，（°）/30 m，增方位时kφ为正值，减方位时kφ为负值；C为与曲率单位有关的常数。

下标“i”表示Pi点的参数。

由于M点和Pi点的轨道参数以及设计轨道上Pi和Pi+1点间的井斜变化率和方位变化率都是已知的，所以将式（9）～（11）代入式（5）后，只有ΔLi，P未知，可用迭代法求得。

确定了P点及轨道参数后，其水平长度就是M点的视平移，而
M点水平偏距由式（6）计算。

Error estimation of plane projection
如图4所示。

在水平投影图上，平面投影是将实钻轨迹上的M'点向闭合方位线—OT投影，垂足为G'点，交设计轨道于N'点；而M'点向设计曲面投影时，其垂足为P'点。

显然，要监测实钻轨迹沿设计轨道的行进情况，应使用设计轨道上的P'
点与实钻轨迹上的M'点作对比，而N'点与M'点不具可比性。

不难看出，平面投
影不能直接找到设计轨道与实钻轨迹的真实对比点。

如果近似地选用N'点作为M'点的对比点，无疑会产生误差，甚至导致失真或错误的结果。

为了分析平面投影的误差，图5给出了一个简单的数学模型。

在水平投影图上，
假设某井段的设计轨道和实钻轨道均为直线段，将水平长度为ΔS的实钻轨迹井段，分别采用平面投影和曲面投影方法向闭合方位线—OT和设计轨道上投影，则平面投影的视平移（增量）误差为
式中，e为相对误差，%；φM为实钻轨迹的方位角，°；φP为设计轨道的方位角，°。

假设φM= 60°，φP= 50°，ψ= 30°，则e= 12.06%。

可见，平面投影存在着显
著的误差，而过大的误差会导致实钻轨迹与设计轨道对比关系的失真。

Calculating examples
某定向井设计垂深为2500 m，靶点的水平位移和平移方位分别为600 m和120°。

选用S型剖面，造斜点垂深为1000 m，增斜率为4（°）/30 m，降斜率为2.5（°）/30 m，进入油层稳斜段的井斜角为8°、垂深增量为200 m。

考虑地层方位漂移特性的影响，将该定向井设计成由若干段自然曲线组成的三维轨道，其设计轨
道数据见表1。

假设该井实钻轨迹的测斜数据见表2，测斜计算方法采用自然曲线法，则测斜计算结果见表2。

Conclusions
（1）为了有效地监测实钻轨迹沿设计轨道的行进情况，对于三维设计轨道应采用曲面投影方法来绘制井眼轨道的垂直投影图，其横坐标分别为设计轨道的水平长度和实钻轨迹的视平移。

（2）视平移和水平偏距是监测井眼轨道的2个重要参数，反映了实钻轨迹沿设计轨道在水平方向上的进程以及实钻轨迹与设计轨道的横向偏离程度。

曲面投影的主要贡献是科学地给出了实钻轨迹与设计轨道的对比点。

（3）监测实钻轨迹与设计轨道偏离程度的另一种方法是井眼轨道的法面扫描图，在实际应用中，往往是二者兼顾、相辅相成、互为补充。

References:
［1］尹德战，秦利民，张书志.三维定向井实钻井眼轨迹视投影长度的计算［J］.石油钻探技术，2007，35（4）：38-40.YIN Dezhan, QIN Limin, ZHANG Shuzhi.Calculation off the apparent projection length of the actual 3D wellbore trajectory［J］. Petroleum Drilling Techniques, 2007, 35（4）:: 38-40.
［2］卢毓周，鲁港，吴俊林.实钻井眼轨迹视投影长度的计算方法［J］.石油地质与工程，2008，22（5）：86-89.LU Yuzhou, LU Gang, WU Junlin. Calculation of the apparent projection length of actual wellbore trajectory ［JJJ］.Petroleum Geology and Engineering, 2008, 22（5）: 86-89.
［3］刘汝山，周跃云，刘修善，等.SY/T 5435—2003，定向井轨道设计与轨迹计算（中文/English）［S］.国家经济贸易委员会，2003.LIU Rushan, ZHOU
Yueyun, LIU Xiushan, et al. SY/T 5435—2003, Well path planning and survey calculation for directional drilling［S］.China National Economic
and Trade Committee, 2003.
［4］刘修善.井眼轨道几何学［M］.北京：石油工业出版社，2006：188-196，205-214.LIU Xiushan. The geometry of wellbore trajectory［M］.Beijing: Petroleum Industry Press, 2006: 188-196, 205-214.
［5］刘修善，艾池，王新清.井眼轨道的插值法［J］.石油钻采工艺，1997，19（2）：11-14，25.LIU Xiushan, AI Chi, WANG Xinqing. Interpolation method of wellbore trajectory［J］.Oil Drilling&Production Technology, 1997, 19（2）:11-14，25.
［6］刘修善，张海山.考虑地层方位漂移特性的定向井轨道设计方法［J］.石油学报，2008，29（6）：132-134.LIU Xiushan, ZHANG Haishan. A method of planning directional well-paths considering the strata’s bit-walk characteristics［J］.Acta Petrolei Sinica,2008,9（6）:132-134.
［7］刘修善，郭钧.空间圆弧轨道的描述与计算［J］.天然气工业，2000，20（5）：44-47.LIU Xiushan, GUO Jun. Description and calculation of the well path with spatial arc model［J］.Natural Gas Industry, 2000, 20（5）: 44-47. ［8］刘修善，岑章志.井眼轨迹间相互关系的描述与计算［J］.钻采工艺，1999，22（3）：7-12.LIU Xiushan, CEN Zhangzhi. Description and calculation of relative positions of wellbore trajectories［J］.Drilling& Production Technology, 1999, 22（3）: 7-12.。