线段的最大值与最小值的解题策略

14-5线段最大值与最小值的解题思路
回顾：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。

5、垂直线段最短 一、两点之间线段最短、垂线段最短
线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

例1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个点的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，
()
0,43C ，延长AC 到点D,使CD=
1
2
AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y
轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）
这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径： 简化图形→转化题意→由果索因→画图说理 课堂练习：1如图，在△ABC 中，AC=BC=2，
∠ACB=90。

，D 是BC 边的中点，
E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是________
2在锐角ABC △中，4245AB BAC =∠=，°，
BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别
是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是__
看数据的特殊性，30° P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍． P 点在GH 上运动速度等于它在直线GA 上运动速度．
求GH+GA 的最小值．
D
C B
A A
B
C D
A B C
D
例2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，∠DCB 的平分线CE 交DB 于点E ，若点P,Q 分别是CD 和CE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（ ） A.2 B. 22 C.4 D. 24 已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；
（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；
（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
图1 图2 图3
二、三角形两边之和大于第三边
求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

例1.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =
1
2
. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；
（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD
中点，求线段CF 长度的最大值．
B C
A D E F
B D E A F
C B A C 1图2图备图
课堂练习
（西城8）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C
分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是 A ． 222+ B ．52 C 。

62 D ． 6 三、线段差的问题
已知两点A 、B 与直线l （AB 与l 不平行且在l 同侧），动点P 在l 上，求max
PB
PA -。

连接AB 并延长交直线l 于点P ，则点P 为所求最大值时所取的点，max
PB
PA AB -=。

先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分） 【材料一】：如图⑴，直线l 上有1A 、2A 两个点，若在直线l 上要确定一点P ，且使点P 到点1A 、2A 的距离之和最小，很明显点P 的位置可取在1A 和2A 之间的任何地方，此时距离之和为1A 到2A 的距离.
如图⑵，直线l 上依次有1A 、2A 、3A 三个点，若在直线l 上要确定一点P ，且使点P 到点1A 、2A 、3A 的距离之和最小，不难判断，点P 的位置应取在点2A 处，此时距离之和为
1A 到3A 的距离. (想一想，这是为什么？)
不难知道，如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 四个点，同样要确定一点P ，使它到
各点的距离之和最小，则点P 应取在点2A 和3A 之间的任何地方；如果直线l 上依次有1A 、
2A 、3A 、4A 、5A 五个点，则相应点P 的位置应取在点3A 的位置.
【材料二】：数轴上任意两点a 、b 之间的距离可以表示为a b -.
【问题一】：若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、25A 共25个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 ；
若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、50A 共50个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 . 【问题二】：现要求112397x x x x x x +++-+-+-+
+-的最小值，
根据问题一的解答思路，可知当x 值为 时，上式有最小值为
.
图⑴ 图⑵
A 3
A 2
l
A 1A 2l
A 1
四、几种变式
变式１．如图1，Ｅ为正方形ABCD 的边BC 上的中点，且BC=2，请在对角线BD 上找一个点
P 使PC+PE 的值最小为 。

图2 图4 变式2．如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝ 5，BC ＝6，点
P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．
变式3、如图3，梯形ABCD 中，AD//BC ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥CD 于E ，P 是BE 上
一动点。

若BC = 6，CE=2DE ，则 | PC –PA | 的最大值是
变式4如图2，如图，CD 是⊙O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点
为直线CD 上的一个动点，当CD=4时，则（1）AP+BP 的最小值为 ．（2）AP-BP 的最大值为 ．
变式5． 如图3-7，正方形ABCD 的边长为４，CE ＝3，CF=2，请在边AB,AD 上找两个点G 、H 使四边形EFGH 周长最小，并求出此时的周长。

变式6、抛物线35
18
532+-
=x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设
为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。

变式7、如图（1），直线23+-=x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交 于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，
直线BC 交⊙A 于点D 。

（1）求点D 的坐标；
（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标。

若不存在，请说明理由。

图1
B C A D E 图3-7
E F
D
C B A A
O x
y
D
C
B
A B C D E P 图3
变式8、如图3-8，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．
（1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．
于点P ， 且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形， 求该抛物线的解析式；
(3)在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得
四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最
小值；如果不存在，请说明理由．
变式9（2010天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．
（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．
变式10．如图，已知直线1
12
y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2
12
y x bx c =
++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

变式11、如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；
(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
图3-8 y
x
E F D B C A
O O A B x y C D O A B x y C D E D （备用图）
作业
1、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD 中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，求这个最小值。

图（11）
C
D
A
B
M
N
图（12）
D
B A
C
P
E
2如图（12）在菱形ABCD 中，∠DAB=1200，点E 平分BC ，点P 在BD 上，且PE+PC=1，那么边长AB 的最大值是________________。

3、如图13，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．
图13 x y B
()
A O
M
Q
P 图14 x
y ()
B
C A O M
P Q
提高作业（利用旋转对称变换）
2010宁德第25题：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；
⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.
2. 阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△
BP ′A （如图2），然后连结PP ′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．
图1 图2
图3
E
A D
B C N
M
F E
A D
B C N
M。