误差理论与测量平差基础第五章 条件平差
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单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形 4、三角网的基准数据
在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐 标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意 一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大 小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位 置基准 2个（任意一点的坐标 x0, y0 ）、方位基准 1个（任意一条 边 这的四方个位基角准数 0据）等以价及于长已度知基两准个1点个的（坐任标意。一条边的边长 S0 ）。
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5 ， 求各高差平差值
第五章——条件平差
误差方程
v1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
1 1 0
101
v2 v3 v4 v5
2 3 4
Biblioteka Baidu
图1中r =3·（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：
vxAB vxBC vxCA (xAB xBC xCA ) v yAB v yBC v yCA (y AB yBC yCA ) vzAB vzBC vzCA (z AB zBC zCA )
图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。
0
0 1 0 0
V
P 1 AT K
0
0
1
0
0 0
0
0
0
0
1 0
0 1
0 5
2.3
2.7
0 0 0 2.5 0 0 1 0 111 1.1
求观测值的平差值：
0 0
0 0
0 0
0 0
2.5 0
20.5
1 0
1 1
0 1
6 11
0.9 0.2
Lˆ L V 0.0230 1.1163 1.1393 0.0769 0.0999 1.2162 T
0
v6
法方程
9 2 2 k1 2 2 9 2 k2 3 0 2 2 9 k3 4
法方程的解
k1 9 k2 2 k3 2
2 9 2
2 2 9
1
2 3 4
0 5
11 6
11
第五章——条件平差
按（5）求改正数V：1 0 0 0 0 0 1 1 0 0
2、水准网中必要观测数t的确定（保证足数）
有已知点： t 等于待定点的个数 无已知点： t 等于总点数减一
3、水准网中条件方程的分类
附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件
第五章——条件平差
4、水准网中条件方程的列立方法（保证独立） （1）、先列附合条件，再列闭合条件 （2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数
教材：5－1， 5－2， 5－3 习题：5.1.04， 5.1.07
第五章——条件平差
§5-2 条件方程的列立
条件平差的关键是列条件方程，而列条件方程的关键是 正确确定必要观测数和条件方程的类型。
列条件方程的原则:1、足数；2、独立；3、最简
➢水准网的条件方程
1、水准网的分类及水准网的基准
有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。
为总点数。所以条件方程的个数为：r = 3·(s-m) + 3 3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立
按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一 条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最 简的原则。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
图1
图2
等于已知点的个数减一 （3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网
中有多少个小环，就列多少个闭合条件
在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程， 一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。
第五章——条件平差
5、水准网条件方程列立举例
第五章——条件平差
14
第五章——条件平差
习题：5.2.10
举例说明：测角网，水准网 4、条件平差及其目的
第五章——条件平差
§5-1 条件平差原理
1、条件方程
AV W 0
rn n1 r1 r1
（1）
（1）式中A的秩是r，未知数的个数是n，由于r<n，所以（1）式是 不定方程。那么，如何求解不定方程（1）式呢？
2、法方程及其组成
2.1 按拉格朗日条件极值法组成新函数
第五章——条件平差
➢ GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程 1、GPS基线向量网的观测值：
一条基线三个观测值，他们是 xij , yij , zij ,n=3s，s是基线数。
2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t
三个坐标基准 x, y, z 。必要观测数为 t=3(m-1)，m
V T PV 2K T ( AV W ) （2）
第五章——条件平差
补充：矩阵微分公式
第五章——条件平差
2.2 求偏导 2.3 法方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
改正数方程 V P1 AT K
举例
（3） （4） （5）
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
检核：
Lˆ1 Lˆ4 Lˆ6 0.0230 0.0769 0.0999 0 Lˆ2 Lˆ5 Lˆ6 1.1163 0.0999 1.2162 0 Lˆ6 Lˆ3 Lˆ4 1.2162 1.1393 0.0769 0
第五章——条件平差
条件平差的求解步骤 （1）根据具体问题列条件方程（1）式； （2）组成法方程（4）式； （3）解法方程； （4）按（5）式求改正数V； （5）求观测值的平差值 Lˆ L V ； （6）检核。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3= 42
第五章——条件平差
➢ 三角网(测角网)的条件方程 1、三角网的观测值
三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。 2、三角网的作用
确定待定点的平面坐标。 3、三角网的类型
第五章——条件平差
第五章 条件平差
§5-1 条件平差原理 §5-2 条件方程的列立 §5-3 非线性条件方程的线性化 §5-4 精度评定
第五章——条件平差
基本概念
1、必要观测数 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最
少观测数。 2、多余观测数
实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测数。 3、闭合差
在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐 标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意 一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大 小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位 置基准 2个（任意一点的坐标 x0, y0 ）、方位基准 1个（任意一条 边 这的四方个位基角准数 0据）等以价及于长已度知基两准个1点个的（坐任标意。一条边的边长 S0 ）。
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5 ， 求各高差平差值
第五章——条件平差
误差方程
v1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
1 1 0
101
v2 v3 v4 v5
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图1中r =3·（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：
vxAB vxBC vxCA (xAB xBC xCA ) v yAB v yBC v yCA (y AB yBC yCA ) vzAB vzBC vzCA (z AB zBC zCA )
图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。
0
0 1 0 0
V
P 1 AT K
0
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1
0
0 0
0
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1 0
0 1
0 5
2.3
2.7
0 0 0 2.5 0 0 1 0 111 1.1
求观测值的平差值：
0 0
0 0
0 0
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2.5 0
20.5
1 0
1 1
0 1
6 11
0.9 0.2
Lˆ L V 0.0230 1.1163 1.1393 0.0769 0.0999 1.2162 T
0
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法方程
9 2 2 k1 2 2 9 2 k2 3 0 2 2 9 k3 4
法方程的解
k1 9 k2 2 k3 2
2 9 2
2 2 9
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2 3 4
0 5
11 6
11
第五章——条件平差
按（5）求改正数V：1 0 0 0 0 0 1 1 0 0
2、水准网中必要观测数t的确定（保证足数）
有已知点： t 等于待定点的个数 无已知点： t 等于总点数减一
3、水准网中条件方程的分类
附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件
第五章——条件平差
4、水准网中条件方程的列立方法（保证独立） （1）、先列附合条件，再列闭合条件 （2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数
教材：5－1， 5－2， 5－3 习题：5.1.04， 5.1.07
第五章——条件平差
§5-2 条件方程的列立
条件平差的关键是列条件方程，而列条件方程的关键是 正确确定必要观测数和条件方程的类型。
列条件方程的原则:1、足数；2、独立；3、最简
➢水准网的条件方程
1、水准网的分类及水准网的基准
有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。
为总点数。所以条件方程的个数为：r = 3·(s-m) + 3 3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立
按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一 条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最 简的原则。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
图1
图2
等于已知点的个数减一 （3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网
中有多少个小环，就列多少个闭合条件
在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程， 一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。
第五章——条件平差
5、水准网条件方程列立举例
第五章——条件平差
14
第五章——条件平差
习题：5.2.10
举例说明：测角网，水准网 4、条件平差及其目的
第五章——条件平差
§5-1 条件平差原理
1、条件方程
AV W 0
rn n1 r1 r1
（1）
（1）式中A的秩是r，未知数的个数是n，由于r<n，所以（1）式是 不定方程。那么，如何求解不定方程（1）式呢？
2、法方程及其组成
2.1 按拉格朗日条件极值法组成新函数
第五章——条件平差
➢ GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程 1、GPS基线向量网的观测值：
一条基线三个观测值，他们是 xij , yij , zij ,n=3s，s是基线数。
2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t
三个坐标基准 x, y, z 。必要观测数为 t=3(m-1)，m
V T PV 2K T ( AV W ) （2）
第五章——条件平差
补充：矩阵微分公式
第五章——条件平差
2.2 求偏导 2.3 法方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
改正数方程 V P1 AT K
举例
（3） （4） （5）
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
检核：
Lˆ1 Lˆ4 Lˆ6 0.0230 0.0769 0.0999 0 Lˆ2 Lˆ5 Lˆ6 1.1163 0.0999 1.2162 0 Lˆ6 Lˆ3 Lˆ4 1.2162 1.1393 0.0769 0
第五章——条件平差
条件平差的求解步骤 （1）根据具体问题列条件方程（1）式； （2）组成法方程（4）式； （3）解法方程； （4）按（5）式求改正数V； （5）求观测值的平差值 Lˆ L V ； （6）检核。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3= 42
第五章——条件平差
➢ 三角网(测角网)的条件方程 1、三角网的观测值
三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。 2、三角网的作用
确定待定点的平面坐标。 3、三角网的类型
第五章——条件平差
第五章 条件平差
§5-1 条件平差原理 §5-2 条件方程的列立 §5-3 非线性条件方程的线性化 §5-4 精度评定
第五章——条件平差
基本概念
1、必要观测数 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最
少观测数。 2、多余观测数
实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测数。 3、闭合差