2019-2020学年高中数学 课时跟踪训练15 平面向量的实际背景及基本概念 4

课时跟踪训练(十五)
（时间45分钟）
题型对点练(时间20分钟）
题组一向量的有关概念
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是（）A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
[解析] 由向量不能比较大小,可知选C。

［答案］C
2．在下列判断中，正确的是( ）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向的;
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③B．②③④
C．①②⑤D．①③⑤
［解析] 由零向量与单位向量的概念知①③⑤正确．
[答案］D
3．下列命题:
①若a是单位向量，b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反；
②若向量错误!是单位向量，则向量错误!也是单位向量；
③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．
其中正确的个数为（）
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 由单位向量的定义知,凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为｜错误!|＝｜错误!|，所以当错误!是单位向量时，错误!也是单位向量，故②正确,由于向量错误!是单位向量，故|错误!｜＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则由于
|错误!｜＝1，所以向量错误!是单位向量，故③正确．
[答案] C
题组二向量的表示
4.
如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于1的向量的个数为（) A．3 B．4
C．5 D．6
[解析］长度大于1的向量有错误!，错误!,错误!,错误!，错误!,错误!共6个．
[答案］D
5．如图，已知小正方形的边长为1，向量错误!，错误!的长度分别是__________．
［解析] 根据题图易得|错误!|＝错误!＝错误!，｜错误!｜＝错误!＝13。

[答案］错误!，错误!
6．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1）作出向量错误!，错误!，错误!.
（2)求向量错误!的模．
［解］(1）作出向量错误!，错误!，错误!,
如图所示：
（2）由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC＝90°，
BC＝10错误!米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形,其中∠ABD＝90°，AB＝5米,BD＝10米，所以AD＝错误!＝55(米)．所以|错误!|＝5错误!米．
题组三相等向量与共线向量
7．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E,F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则（)
A.错误!＝错误!
B.错误!＝错误!
C.错误!＝错误!D。

错误!＝错误!
［解析］由平面几何知识知，错误!与错误!方向不同，故错误!≠错误!;错误!与错误!方向不同，故错误!≠错误!；错误!与错误!的模相等而方向相反,
故PE →
≠错误!;错误!与错误!的模相等且方向相同，∴错误!＝错误!.
[答案] D
8．若｜错误!｜＝｜错误!|且错误!＝错误!，则四边形ABCD 的形状为( ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．等腰梯形
[解析］ 由错误!＝错误!可知，四边形ABCD 为平行四边形．又因为｜错误!|＝｜错误!|,所以四边形ABCD 为菱形．
［答案］ C
9．如图，四边形ABCD 为正方形,△BCE 为等腰直角三角形,则
(1）图中与错误!共线的向量有__________个；
（2)图中与错误!相等的向量有__________个；
(3)图中与错误!模相等的向量有__________个；（4)图中与错误!相等的向量是__________．
[解析］(1）∵AE∥CD，∴与AB，→
共线的向量有错误!,错误!,错误!,
错误!,错误!，错误!，错误!，共7个;（2)由正方形ABCD和等腰直角三角形BCE知:错误!＝错误!＝错误!，有2个;（3）线段AD,DC，CB，BE，AB 的长都相等，每一条线段可以产生两个模相等的向量，除去向量错误!，共有2×5－1＝9（个）；(4）易证得DC綊BE，∴四边形CDBE 是平行四边形,∴EC綊BD，∴错误!＝错误!.
［答案] (1)7 (2)2 （3）9 (4）错误!
综合提升练(时间25分钟）
一、选择题
1．下列说法正确的是（）
A．若｜a｜>｜b|,则a〉b
B．若|a｜＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b,则a，b不是共线向量
[解析］向量不能比较大小,所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a,b同向且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；a，b是共线
向量只需方向相同或相反，D不正确．
［答案] C
2．若a为任一非零向量，b的模为1，下列各式：①|a|〉｜b｜；
②a∥b；③｜a｜>0；④｜b|＝±1.其中正确的是（)
A．①④ B．③
C．①②③D．②③
［解析] ①中，|a｜的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；③正确；④中，向量的模是一个非负实数,故④错误．故选B.
［答案］B
3．下列结论中，不正确的是( ）
A．若错误!＝错误!，则错误!∥错误!
B．向量错误!，错误!共线与错误!∥错误!的意义是相同的
C．若向量a，b满足｜a｜＝|b|，则a＝b
D．若错误!＝错误!，则错误!＝错误!
［解析］平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等,方向却不一定相同，故C错误．
[答案] C
二、填空题
4．下列各种情况中，判断向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把所有单位向量移到同一起点；
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；
③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．
①__________;②__________；③__________.
[解析］ 由向量的概念可知．①中向量的终点为单位圆；②中向量的终点构成距离为2的两个点；③中向量的终点构成一条直线．
[答案］ 单位圆 距离为2的两个点 一条直线
5．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．
①错误!＝错误!； ②错误!＝错误!；
③|AD ，→｜＝｜错误!|； ④错误!＝±错误!.
［解析]
如图，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴错误!与错误!的大小相等,但方向不同,故|错误!|＝|错误!｜.
[答案] ③
三、解答题
6．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中，
(1）分别写出与错误!、错误!相等的向量;
（2）写出与错误!共线的向量；
（3）写出与错误!模相等的向量．
[解］（1）错误!＝错误!,错误!＝错误!；
（2)与错误!共线的向量有错误!，错误!,错误!；
(3)与错误!模相等的向量有错误!,错误!,错误!，错误!，错误!，错误!,错误!.
7．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|错误!｜＝错误!。

(1）画出所有的向量错误!；
（2）求｜错误!|的最大值与最小值．
［解] （1)画出所有的向量错误!，如下图所示．
（2）由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时，｜错误!｜取得最小值错误!＝错误!;
②当点C位于点C5或C6时，｜错误!｜取得最大值错误!＝错误!,∴|错误!｜的最大值为错误!，最小值为错误!。