奈奎斯特采样率和稀疏采样学习报告

奈奎斯特采样率和稀疏采样学习报告奈奎斯特采样率和稀疏采样学习报告 1.采样定理
数字信号处理系统的基本组成
(1)前置滤波器
将输入信号xa(t)中高于某一频率(称折叠频率，等于抽样频率的一半)的分量加以滤除。

(2)A/D变换器
在A/D变换器中每隔T秒(抽样周期)取出一次x(t)的幅度，采样后的信a 号称为离散信号。

在进行A/D信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax 的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5,10倍;采样定理又称奈奎斯特定理。

1.1 在时域
频带为F的连续信号 f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1?Δt)，
f(t1?2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt?1/2F，便可根据各采样值完全恢复原始信号。

1.2 在频域
当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fmax时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fo的采样值来确定,即采样点的重复频率fs ?2fmax。

2.奈奎斯特采样频率
2.1 概述
奈奎斯特采样定理:要使连续信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍(即奈奎斯特频率)。

奈奎斯特频率(Nyquist frequency)是离散信号系统采样频率的一半，因哈里?奈奎斯特(Harry Nyquist)或奈奎斯特,香农采样定理得名。

采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可以真实的还原被测信号。

反之，会因为频谱混叠而不能真实还原被测信号。

采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。

从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。

但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。

在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。

因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。

需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。

如果信号中包含的最高频率恰好为奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的采样会因为相位模糊而有无穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不足以重建为原来的连续时间信号。

2.2奈奎斯特频率的应用
除了奈奎斯特频率之外，还有一个指标非常重要，这个指标就是测量装置的带宽。

严格讲，带宽包含上限和下限两个数值，但是，由于许多宽频带的测量设备，比如说变频功率分析仪，其带宽的频率上限远远大于频率下限，或者频率下限为零，因此，一般以频率上限作为该仪器的带宽。

一般而言，带宽指-3db带宽。

-
3db带宽并不表明高于带宽上限频率的信号不能通过测量仪器。

举例而言，某功率
分析仪的带宽上限为100kHz，那么，100kHz的正弦波通过测量仪器的AD转换器之前的电路时，幅值衰减为原信号幅值的70.7%，功率衰减为原信号的50%。

此外，对于非正弦波形，其含有的谐波频率高于信号频率(基波频率)。

因此，不能简单的认为，100kHz带宽的仪器可以用于测量100kHz的正弦波，更不能认为100kHz带宽的仪器可以用于测量100kHz的方波或畸变波形。

要让采样过程符合奈奎斯特采样定理，测量仪器的带宽应该小于奈奎斯特频率。

若测量仪器的电路固有带宽高于奈奎斯特频率，应该在AD转换器之间加上截至频率小于奈奎斯特频率的防混叠滤波器。

对于后者，防混叠滤波器的截至频率就是仪器的带宽。

3.稀疏采样
3.1 稀疏采样概述
压缩感知(Compressed sensing)，也被称为压缩采样(Compressive sampling)，稀疏采样(Sparse sampling)，压缩传感。

它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。

压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。

他在信息论、图像处理、地球科学、光学/微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。

众所周知，在奈奎斯特(Nyquist)采样定理为基础的传统数字信号处理框架下，若要从采样得到的离散信号中无失真地恢复模拟信号，采样速率必须至少是信号带宽的两倍(然而，随着当前信息需求量的日益增加，信号带宽越来越宽，在信息获取中对采样速率和处理速度等提出越来越高的要求(最近由D Donoho、E Candbs及华裔科学家T Tao等人提出的压缩感知(Compressive Sens—ing，cs)理论l1 J
指出了一条将模拟信号“经济地”转化为数字形式的压缩信号的有效途径:利用变换空间描述信号，通过直接采集得到少数“精挑细选”的线性观测数据(这些数据是包含了信号全部信息的压缩数据)，将信号的采样转变成信息的采样，通过解一个优化问题就可以从压缩观测的数据中恢复原始信号。

在该理论下，信号的采样速率不再取决于信号的带宽，而是取决于信息在信号中的结构与内容。

压缩感知理论在信号获取的同时，就对数据进行适当地压缩，而传统的信号获取和处理过程主要包括采样、压缩、传输和解压缩四个部分，其采样过程必须遵循奈奎斯特采样定率，这种方式采样数据量大，先采样后压缩，浪费了大量的传感元、时间和存储空间，相较之下，压缩传感理论针对可稀疏表示的信号，能够将数据采集和数据压缩合二为一，这使其在信号处理领域有着突出的优点和广阔的应用前景。

3.2 稀疏采样理论概述(压缩感知)
压缩感知理论最初的提出是为了克服传统信号处理中对于奈奎斯特采样要求的限制，但是它与传统采样定理有所不同(首先，传统采样定理关注的对象是无限长的连续信号，而压缩感知理论描述的是有限维观测向量空间的向量;其次，传统采样理论是通过均匀采样(在很少情况下也采用非均匀采样)获取数据，压缩感知则通过计算信号与一个观测函数之间的内积获得观测数据;再次，传统采样恢复是通过对采样数据的Sinc函数线性内插获得(在不均匀采样下不再是线性内插，而是非线性的插值恢复)，压缩感知采用的则是从线性观测数据中通过求解一个高度非线性的优化问题恢复信号的方法(
压缩感知的核心思想是压缩和采样合并进行，并且测量值远小于传统采样方法的数据量，突破了香农采样定理的瓶颈，使高分辨率的信号采集成为可能。

3.3 稀疏采样处理的数学模型
设x为长度N的一维信号，稀疏度为k(即含有k个非零值)，A为M×N的二维矩阵(M<N)，y=Φx为长度M的一维测量值。

压缩感知问题就是已知测量值y和测量矩阵Φ的基础上，求解欠定方程组y=Φx得到原信号x。

需要求解如下最优化问题:
这个过程称之为重构，其中的0范数指的就是0元素的个数。

Candes等指出，要精确重构k稀疏信号x，测量次数M(即y的维数)必须满足y=O(k ?logN) ，并且矩阵Φ必须满足约束等距性条件(Restricted Isometry Principle)。

然而最小0范数是一个NP问题，通常需要对该问题加以转换，如将0范数转化为1范数问题。

一般的自然信号x本身并不是稀疏的，需要在某种稀疏基上进行稀疏表示，
x=Ψs，Ψ为稀疏基矩阵，s为的稀疏系数。

压缩感知方程为y=Φx=ΦΨs=Θs。

将原来的测量矩阵Φ变换为Θ=ΦΨ(称之为
^
传感矩阵)，解出s的逼近值，则原信号。

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3.4 稀疏采样的应用前景
压缩感知理论带来了信号采样理论的变革，具有广阔的应用前景，包括压缩成像、模拟信息转换、生物传感等。

压缩感知应用于光学成像的首个实际系统是Rice大学的“单像素相机”。

国防科技大学从压缩感知的角度对热光源关联成像进行了研究。

Duke大学的DISP小组开发了一种新的多光谱成像器:Coded Aperture Snapshot Spectral
Imager (CASSI)。

4.参考文献
1.焦李成，杨淑媛，刘芳，侯彪 .压缩感知回顾与展望.电子学报第7
期.2011年7月.
2.韩学兵.稀疏恢复算法研究及其在DOA估计中的应用.硕士论文.2011年5月.
3.赵贻玖.稀疏模拟信号压缩采样与重构算法研究.博士论文.2012年3月.
4.史林，赵树杰.数字信号处理.科学出版社.2007年9月第一版.。