2022年高考数学数列不等式知识点专项练习含答案

专题24 数列不等式
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足54a ≤，540S ≥，则该数列的公差d 可取的值是（ ） A ．3
B ．1
C ．-1
D ．-3
2．已知点()()
,n n a n *∈N 在函数ln y x =图象上，若满足12n a a a
n S e e e m =++
+≥的n 的最
小值为5，则m 的取值范围是（ ） A ．(]10,15
B ．(],15-∞
C ．(]15,21
D ．(],21-∞
3．已知数列{}n a 满足134n n a a ++=（1n ≥），且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式1
6125
n S n --<
的最小整数n 是（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．7 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，有1
(1)32n n n n
S a n =-+
+-，且()()10n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．111,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．311,24⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C ．111,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭
D ．311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n nS a n λλ+<对任意*N n ∈恒成立，若21
2n n
n a -=
，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．3,14⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．3,14⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．2,9⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
)
1n n S a +=n *∈N ).记1n n n b a a +=，n T 为数列
{}n b 的前n 项和，则使n T > ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．[)4,+∞
B ．[)3,+∞
C ．[)2,+∞
D ．[)1,+∞
8．若1x =是函数()()
4312 1n n n f x a x a x a x n N *
++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，
23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设
12
231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t ≥，对n N *
∀∈恒成立，则实数t 的最大值为
（ ） A ．2020
B ．2019
C ．1010
D ．1009
9．已知数列{}n a 满足：()()()2
2
1
1
12n n
n n
a a n N a a +*
+++=∈，则下列选项正确的是（ ）
A ．01n a <<时，1n n a a +>
B ．1n a >时，1n n a a +<
C ．114
a =时，11
1
318n n a n a +++
>+ D ．14a =时，11
1
22n n a n a +++
>+ 10．已知正项数列{}n a 中，11a =，2
1
1
12n n n a a a ++-=，若存在实数t ，使得()221,n n t a a -∈对任意
的*N n ∈恒成立，则t =（ ） A
B
C
D
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()
*
212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321n
n n n c a λ=-⨯-，若
对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.
12．我们把221(0,1,2)n
n F n =+=叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设2log (1)n n a F =-，n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则使不等式
23
11223122263127
n n n S S S S S S +++++<成立的最大正整数n 的值是_______ 13．设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS S +=+，1q >，对任意的1n ≥，n N ∈均有
+14n n S a ≤，则q 的取值为__________.
14．若数列{}n a 满足123111132321
n n a a a na n +++⋅⋅⋅+=+，若2n a λ≤恒成立，则λ的最大值是
______
三、解答题（本大题共4小题，共30分）
15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，111,1,n n a S S n n N *+=-=+∈． （1）求数列通项公式n a ；
（2）设1
3n n n b a -=⋅，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若R λ∈求使14
n n b T λ+≥恒成立的λ的
取值范围
16．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，且满足11a =，21211224n n n n a b a b a b n +-+++=--.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设()()111
n n n n n n b c b a b a ++-=--，12
n n S c c c =++
+，求证：1n S <.
17．已知数列{}n a 满足()
211232222n n n a a a a n n N *
+++⋯+⋅∈﹣＝.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若51n n S a λ-≥恒成立，求实数λ的取值范围.
专题24 数列不等式
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足54a ≤，540S ≥，则该数列的公差d 可取的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-3
【答案】D
【解析】由5154
5402
S a d ⨯=+
≥，即128a d +≥ 又514a a d =+，所以154a a d =-
则15524228a d a d d a d +=-+=-≥，即582a d ≥+ 又54a ≤，则824d +≤，解得2d ≤- 选项中只有选项D 满足. 故选：D
2．已知点()(),n n a n *
∈N
在函数ln y x =图象上，若满足12n a a a n
S
e e e m =+++≥的n 的最
小值为5，则m 的取值范围是（ ） A ．(]10,15 B ．(],15-∞ C ．(]15,21
D ．(],21-∞
【答案】A
【解析】由于点()(),n n a n *
∈N 在函数ln y x =图象上，则ln n
a
n =，则n a e n =，
所以，()
121122
n a a a n n n S e e e n +=++
+=++
+=
， 由于满足12n a a a
n S e e e m =++
+≥的n 的最小值为5，则45S m S <≤，所以，1015m <≤.
因此，实数m 的取值范围是(]10,15. 故选：A.
3．已知数列{}n a 满足134n n a a ++=（1n ≥），且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式1
6125
n S n --<
的最小整数n 是（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．7
【答案】D
【解析】对134n n a a ++=（1n ≥）变形得：()()1311n n a a +-=--即：
111
13
n n a a +-=--， 故数列1n n b a =-是首项为8公比为1
3
-的等比数列.
∴1
1183n n n b a -⎛⎫
=-=⨯- ⎪
⎝⎭
，从而1
1813n n a -⎛⎫
=⨯-+ ⎪
⎝⎭
，
181********n n
n S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭
. 由11663125n
n S n ⎛⎫
--=-⨯-< ⎪⎝⎭
，解得最小的正整数7n =，
故选：D .
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，有1
(1)32n n n n
S a n =-+
+-，且()()10n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．111,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．311,24⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C ．111,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭
D ．311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】因为1(1)32n
n n n S a n =-+
+-，所以2n ≥时，1
111
1(1)132n n n n S a n ----=-++--， 两式相减得1
11
(1)(1)12n n n n n n
a a a --=----
+， 当n 为偶数时，1112n n n n a a a -=+-+，1112n n
a -=-， 所以n 为奇数时，1112n n a +=
-，这是一个递减数列，1213124a =-=-，所以34
n
a ≤-， 当n 为奇数时，11
12n n n n a a a -=---+，1111111212(1)132222
n n n n n n a a -+-=--+=---+=-， 所以n 为偶数时，1
32n n a =-
，这是一个递增数列，22111324a =-=，114
n
a ≥， ()()10n n a p a p +--<恒成立，所以1n n a p a +<<（n 为奇数时）或1n n a p a +<<（n 为偶数
时），
所以21max 2min ()()n n a p a -<<，所以311
44
p -<<．
故选：D ．
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n nS a n λλ+<对任意*N n ∈恒成立，若21
2n n
n a -=
，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．3,14⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．3,14⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．2,9⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【答案】C
【解析】依题意()2112122n
n n n a n -⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
所以23
1111135(21)2222n
n S n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+
+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，①
()()2
3
4
1
1111111352321222222n n n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，②
①-②，得()2341
11
111112212222222n
n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++
+--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()2
11111221
122112
212
n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
+⨯--⨯ ⎪
⎝⎭-，
所以()()2
111321323222n n n
n S n n -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=---=-+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
故()()()2
12121212323231232n
n n n n a n n n nS n n n n n n λ⎛⎫
- ⎪--⎝⎭>===-++⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
， 所以只需2max
2123n n n λ-⎛⎫> ⎪+⎝⎭，则()
*
21N n t n -=∈，则12t n +=(t 为正奇数)， 所以222122
42354
5n t n n t t t t
-==
+++++(t 为正奇数). 根据对勾函数的特征，易得当3t =时，2
45t t ++的值最大，最大值为3
14， 所以2max 2132314n n n -⎛⎫= ⎪
+⎝⎭，即314λ>，故所求实数λ的取值范围是3,14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
故选：C
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S
，且
)
1n n S a +=n *∈N ).记1n n n b a a +=，n T 为数列
{}n b 的前n
项和，则使n T > ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】解析：由
)1n n S a +=
)
111n n S a +++=
∴
)
()1110n n n n S S a a ++-+-=
1n n a +=.
1n =
时，
)
111a a +=11a =，∴0n a ≠
，∴
1n n a a +=， ∴数列{}n a 是以1
.
∴2
1122112n n n n n n n n b a a a b a a a +++++====⎝⎭
.
又1122b a a ==， ∴数列{}n b
12为公比的等比数列.
∴112111212
n
n n
T ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦
-.
又n T >1631264n
⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即6
1112642n
⎛⎫
⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
∴6n >.又n *∈N ，∴n 的最小值为7. 故选：C .
7．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞
C ．[)2,+∞
D ．[)1,+∞
【答案】C
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为516a =，434a a -=，所以4132
1
116
4a q a q a q ⎧=⎨-=⎩，解得2q ，11a =，12n n a ，
因为n n b na =，所以1
2n n b n -=⋅，0n b >，
则01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12321222322n
n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，
1
2
1
1222
2
2
2
2
2
12112
n n
n n n
n n n n
S S S n n n ， 对任意*n ∈N 不等式1n n S mb -≤恒成立，即对任意*n ∈N 不等式1
n n
S m b -≥
恒成立， 因为()*1
1(1)22
222n n n n S n b n n N n ---⋅==-<⋅∈，所以2m ≥，m 的取值范围为[)2,+∞. 故选：C.
8．若1x =是函数()()4312 1n n n f x a x a x a x n N *
++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，
23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设
12
231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t ≥，对n N *
∀∈恒成立，则实数t 的最大值为
（ ） A ．2020 B ．2019 C ．1010 D ．1009
【答案】C
【解析】由题意得：()32
1243n n n f x a x a x a ++'=--，
1x =是()f x 的极值点，()121430n n n f a a a ++'∴=--=， ()2113n n n n a a a a +++∴-=-，又21312a a -=-=，
∴数列{}1n n a a +-是以2为首项，3为公比的等比数列，1123n n n a a -+∴-=⋅，
又2
123
n n n a a ---=⋅，31223n n n a a ----=⋅，…，13223a a -=⨯，0
2123a a -=⨯，
()10
1
2
1113233323113n n n n a a ----∴-=⨯++⋅⋅⋅+=⨯=--，1
3n n a -∴=；
313log log 3n n n b a n +∴===，()11111
11
n n b b n n n n +∴==-++， 12231202020202020111
1120202020122311
n n n b b b b b b n n n +⎛⎫∴
++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭， 20202020202011n n S n n ⎡⎤⎡⎤∴==-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
，
1112n ≤+，2020
10101n ∴≤+，2020202010101
n ∴-≥+，()min 1010n S ∴=，
n S t ≥对n N *∀∈恒成立，()min 1010n t S ∴≤=，则实数t 的最大值为1010.
故选：C.
9．已知数列{}n a 满足：()()()2
2
1
1
12n n
n n
a a n N a a +*
+++=∈，则下列选项正确的是（ ）
A ．01n a <<时，1n n a a +>
B ．1n a >时，1n n a a +<
C ．11
4
a =时，11
1
318n n a n a +++>+ D ．14a =时，11
1
22n n a n a +++
>+ 【答案】D
又由函数22(1)211
()2x x x f x x x x x +++===++，当(0,1)x ∈时为单调递减函数，
可得()()1n n f a f a +>，所以1n n a a +<，所以A 错误. 对于B 中，由于11,1n n a a +>>，且()()1n n f a f a +>，
由22(1)211
()2x x x f x x x x x +++===++在(1,)+∞上单调递增，
可得1n n a a +>，所以B 错误
对于C 、D 中，由于()()2
2
1
1
12n n
n n
a a a a ++++=，可得11113
2n n n n n
a a a a a +++
=+++， 当114
a =，1n =时，可得2121141
2183118214
a a a a +
=++=+<⨯+=，所以C 不正确； 又由当10a >，可得0n a >，从而1111
2n n n n
a a a a +++>++， 利用叠加法，可得1111
11
2n n a a n a a +++>++， 故当14a =时，11
1
22n n a n a +++>+，所以D 正确. 故选：D.
10．已知正项数列{}n a 中，11a =，2
1
1
12n n n a a a ++-=，若存在实数t ，使得()221,n n t a a -∈对任意
的*N n ∈恒成立，则t =（ ） A
B
C
D
【答案】A
【解析】由题意得：11
12n n n a a a ++=
-，1221
2n n n a a a +++∴=-，
两式相减得()()11212121n n n n n n a a a a a a +++++⎛⎫
-=--- ⎪⎝⎭，
0n a >，∴12
1
10n n a a ++--
<，∴1n n a a +-与12n n a a ++-异号，则12n n a a ++-与23n n a a ++-异
号，1n n a a +-与23n n a a ++-同号，
由11a =
得：21a ，则120a a ->，∴230a a -<，
则2120n n a a -->，2210n n a a +-<，∴212n n a a ->，221n n a a +<，*N n ∈． 又
21121
1n n n a a a ++=-，则222121
2112n n n a a a ++=-<，
∴21n a +>
11a =>，
∴21n a -> 又
2122221
12n n n a a a -=->，
∴2n a <
t = 同理，由111
2n n n a a a ++=
-可得：233
12n n n a a a +++=-， 两式相减得：()()2
1313121n n n n n n a a a a a a +++++⎛⎫-=--- ⎪⎝
⎭， 2n n a a +∴-与13n n a a ++-异号，则13n n a a ++-与24n n a a ++-异号，则2n n a a +-与24n n a a ++-同
号，
又
))
31111a a =<==，∴130a a ->，240a a -<，
∴2121
0n n a a -+->，2220n n a a +-<，
故数列{}21n a -递减，数列{}2n a
递增，且2n a <11
n a a ∴≤=，
又1112n n n a a a ++=--
，则(
1112n n n n a a a a +++-⎛⎛=- ⎝⎭⎝⎭
，
则1n n n a +-
=≤，
记q =
，则1q <
，1
1n n a q -⎛≤- ⎝⎭
，
∴22211n n a q --⎛≤- ⎝⎭，212133n n a q -⎛-≤- ⎝⎭
，
∴22211n n t a q --⎛<≤
⎝⎭对任意*N n ∈恒成立得：t ≤，
2121n n t a q -⎛>≥
- ⎝⎭对任意*N n ∈恒成立得：t ≥
∴t = 故选：A.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321n
n n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______. 【答案】3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】解：由题意得11a =，22a =，342214,4228a a =+⨯==+⨯=，…… 故猜想：12n n a ，
下面用数学归纳法证明：
（1）当1,2,3,4n =时，显然成立；
（2）假设当(3)n k k =≥时有12k k a ，那么当1n k =+时，
12(1)11122222k k k k k k a a a --+-+-=+=+⨯=
所以当1n k =+时，也成立，
由（1），（2）得12n n a ，
所以32(1)3(2)n n n n n n c a λλ=-⨯-=--，
因为对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，
所以113(2)3(2)n n n n λλ++-->--对任意的*n ∈N 恒成立， 即13(1)()2
n n λ-->-对任意的*n ∈N 恒成立，
当n 为偶数时，有1max
33()22n λ-⎛⎫>-=- ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，有1min
3()12n λ-⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以312
λ-<< 所以实数λ的取值范围为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
12．我们把221(0,1,2)n
n F n =+=叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设2log (1)n n a F =-，n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则使不等式23
11223122263127
n n n S S S S S S +++++<成立的最大正整数n 的值是_______ 【答案】5
【解析】解：由题意得，222log (1)log 22n
n n n a F =-==， 所以12(12)2212
n n n S +-==--，则11121212211(22)(22)2222n n n n n n n n S S +++++++==-----， 所以 23
112231222n n n S S S S S S +++++ 12111111266142222n n ++=
-+-+⋅⋅⋅+--- 211222
n +=--， 由26312112227
n +--<， 可得21
1222127
n +>-⨯，解得6n <， 所以最大正整数n 的值为5，
故答案为：5
13．设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS S +=+，1q >，对任意的1n ≥，n N ∈均有+14n n S a ≤，则q 的取值为__________.
【答案】2
【解析】由题设知：当1n =时，221111(1)S a a qS S q a =+=+=+，即21a qa =，
当2n ≥时，111()n n n n n n a S S q S S qa ++-=-=-=，
综上知：{}n a 是公比为q 的正项等比数列，即11n n a a q -=，而()1
1111(0)1n n a q S a q ++-=>-，
∴由题设知：对任意的1n ≥，n N ∈有1
1141n n q q q
+--≤-成立，又1q >， ∴1114()n n n q q q +--≤-，整理得：12(2)1n q q --≤恒成立，而n →+∞时1n q -→+∞， ∴2q .
故答案为：2.
14．若数列{}n a 满足
123111132321
n n a a a na n +++⋅⋅⋅+=+，若2n a λ≤恒成立，则λ的最大值是______
【答案】2 【解析】由题得123111132321n n a a a na n +++⋅⋅⋅+=+（1） 1231111133(2)23(1)21
n n n a a a n a n --+++⋅⋅⋅+=≥--（2） （1）-（2）得213333,212141
n n n na n n n -=-=+-- 所以22134141=,=(2)41333n n n n a n n a n n n
-∴=-≥-， 适合1n =，所以41=33n a n n
-, 所以数列{}n a 为递增数列， 所以41()133
n min a =-=， 由题得2,2n a λλ≤∴≤.
所以λ的最大值是2.
故答案为：2
三、解答题（本大题共4小题，共30分）
15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，111,1,n n a S S n n N *+=-=+∈．
（1）求数列通项公式n a ；
（2）设13n n n b a -=⋅，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若R λ∈求使14
n n b T λ+≥恒成立的λ的取值范围
【答案】（1）n a n =；（2）32
λ≥． 【解析】（1）111,1,n n a S S n n N *+=-=+∈
1,2n n n a S S n n -=-=≥，11,a =符合上式， 故数列的通项公式为n a n =.
（2）由（1）知，13n n b n -=⋅，则0111323...3n n T n -=⋅+⋅++⋅，①
1231323...3n n T n =⋅+⋅++⋅②，
①-②得
01113233...33313n
n n
n n T n n ---=+++-⋅=-⋅- 所以113424n n n T ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭ 14n n b T λ+≥等价于14n n T b λ-≥恒成立 11133332443242
n n n n n T b n n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭==-<⋅ 所以32
λ≥. 16．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，且满足11a =，21211224n n n n a b a b a b n +-++
+=--. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设()()111n n n n n n b c b a b a ++-=--，12n n S c c c =+++，求证：1n S <.
【答案】（1）n a n =，2n n b =；（2）证明见解析.
【解析】（1）假设等差数列{}n a 的公差为d 和等比数列{}n b 的公比为q ， 因为21211224n n n n a b a b a b n +-+++=--， 取1n =得112a b =，又11a =，所以12b =， 取2n =得12218a b a b +=，所以22(1)8q d ++=即3q d +=，
取3n =得1322318a b a b a b ++=，所以13223122a b a b a b ++=即222(1)2(12)22q q d d ++++=， 联立解得：2,1q d ==，
所以11n a n n =+-=，1222n n n b -=⨯=；
经检验n a n =，2n n b =，
使得21211224n n n n a b a b a b n +-+++=--对任意的正整数都成立，
所以n a n =，2n n b =.
（2）()()
112111221221n n n n n n c n n n n ++-==-------， 111211111111111225512212221n n n n n n n n n n S c c c -+=-+-+-+-+--+=+--+
--+11121
n n +=---, 11222(1)2(1)201(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n n ++⨯-+-⨯-==≥+++, 所以1221n n
n n +≥+，即数列121n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
单调递增， 所以12
22=2112
n n +≥>+对于任意正整数恒成立， 所以121n n +>+对于任意正整数恒成立， 所以11021n n +>--，所以111121n n +-<--， 所以1n S <得证.
17．已知数列{}n a 满足()211232222n n n a a a a n n N *+++⋯+⋅∈﹣＝.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若51n n S a λ-≥恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）1n a n =+；（2）21,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【解析】（1）因为()211232222n n n a a a a n n N *+++⋯+⋅∈﹣＝，
所以()()2211231222122n n n a a a a n n ---+++⋯+-⋅≥＝
两式相减可得：()()111221212n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅()2n ≥
所以1n a n =+()2n ≥，
当1n =时，12a ＝满足1n a n =+()2n ≥， 所以1n a n =+，
（2）()()21322
n n n n n S +++=
=， 由51n n S a λ≥﹣可得：()()15132n n n λ+-+≥， 所以()
()()()
331025121211n n n n n n n λ++++=+≤++， 令()()()31102
2n n n g n +++=，只需()min g n λ≤.
()()()()()()3102
12100250222111n n n n n g n n n n +++++=++=++=+
1501112125212222n n +=++≥=⨯+=+， 当且仅当
15021n n +=+即9n =时等号成立，此时()min 212g n =， 所以212
λ≤， 所以实数λ的取值范围为21,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦.。