高中数学 3.1回归分析的基本思想及其初步应用第3课时教案 新人教版选修2-3

§3.1 回归分析的基本思想及其初步（3）
【学情分析】：
教学对象是高二理科学生，学生已经学会建立回归模型的基本步骤，并有检验回归方程的拟合精确度的方法，并能解决一些实际问题。

两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，通过探究使学生体会对回归模型的选择，非线性模型可以通过变换转化为线性回归模型，让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，并通过回归分析体会不同模型拟合数据的效果。

【教学目标】：
（1）知识与技能：了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性回归模型；体会不同模型拟合数据的效果。

（2）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，通过学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果，进而归纳出回
归分析的一般步骤，并对具体问题进行回归分析，用于解决实际问题。

（3）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实际出发，不断
探求事物的内在联系，就会找出其中的规律性，形成解决实际问题的方法
和能力。

【教学重点】：
1.加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；
2.了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法。

【教学难点】：
1.了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模；
2.通过比较相关指数对不同的模型进行比较。

i y
ˆi i i y y e ˆˆ-=()2
2
ˆˆy y e -=
从相关指数的计算结果来看，指数函数模型的2R比二次函数模型的2R更接近于
1，所以指数函数模型的回归效果好。

再从残差图看：
从图中可看出指数函数模型的残差点比较均匀地落在水平的带状域中，所以指数函数模型拟合精度较二次函数模型的高。

通过学生自己动手计算感受，归纳判断模型拟合效果的方法：
⑴可以通过变换后的散点图观察两个新变量之间是否存在线性回归方程；
⑵通过残差分析比较两种模型的拟合效果。

一般情况下，比较两个模型的残差比
较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果。

残差平方和越小的模型，拟合的效果越好。

三、练
习
某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下: x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200
y10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
检验每册书的成本费y与印刷册数倒数
x
1
之间是否具有线性相关关系，如有，求出y对x的回归方程。

分析：本题是非线性回归分析问题，不妨设变量
x
u
1
=，题意要求对u与y作相关性检验，如果它们具有线性相关关系，就可以进一步求出y对u的回归直线方程，
这时，再回代
x
u
1
=，就得到了y对x的回归曲线方程。

解：首先作变量置换
x
u
1
=，题目所给数据变成如下表所示的10对数据：
1．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R如下，其中拟合效果
最好的模型是（ A ）
A ．模型1的相关指数2R 为98.0
B ．模型2的相关指数2R 为80.0
C ．模型3的相关指数2R 为50.0
D ．模型4的相关指数2R 为25.0
2． 已知两个变量的回归模型为x
y 22⋅=，则样本点的（1，4.4）的残差是_____________________ 答案:0.4
3． 残差平方和用数学符号表示为___________________，它代表了随机误差的效应；解释变量的效应值称
为回归平方和，可以用相关指数2R 来刻画回归的效果，其计算公式是___________________。

显然，2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好。

答案:
()∑=-n
i i i y y 1
2
ˆ；()()
∑∑==---
=n
i i
n
i i i y y
y y R 1
2
1
2
2ˆ1。

4．
答案:0.8809
5． 已知线性相关的两变量x ，y 的三个样本点A （0，0），B （1，3），C （4，11），若用直线AB 作为其
预测模型，则其相关指数=2
R ________。

答案：x y
AB 3ˆ=，7=y ，0ˆ1=y ，3ˆ2=y ，12ˆ3=y 7ˆ1-=-y y
，4ˆ2-=-y y ，5ˆ3=-y y 0ˆ1=e
，0ˆ2=e ，1ˆ3=e 989.090
1
12≈-
=R 6． 已知线性相关的两变量x ，y 的三个样本点A （0，0），B （1，3），C （4，11），若用直线AB 作为其
预测模型，则点C 的残差是________。

答案：x y
AB 3ˆ=，12ˆ=C y ，1ˆ=C e 。

7． 若一组观测值（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、…、（x n ，y n ）之间满足y i =bx i +a +e i (i =1、2. …n)若e i 恒为0，则R 2为 答案： 1。