安徽省江南十校2020届高三数学冲刺联考二模试题文

2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|4}xA y y e ==-+，{|lg[(2)(3)]}B x y x x ==+-，则下列关系正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．AB =∅C ．R R C A C B ⊆D ．R C B A ⊆2.若复数(23)z i i =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3.已知向量a 与b b -也是单位向量，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．1354.已知0.44a =，0.612b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a << 5.下列命题中，真命题的个数是（ ）①已知直线1l ：(1)20mx m y +++=，2l ：(1)(4)30m x m y ++++=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的充要条件；②“若22am bm <，则a b <”的逆否命题为真命题；③命题“若220a b +=，则0a b ==”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 至少有一个不等于0”；④命题p ：[1,)x ∀∈+∞，ln 0x >，则p ⌝：0[1,)x ∃∈+∞，0ln 0x <. A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，22017OA a OB a OC =+且AB d BC =，则2018S （ ）A ．0B ．1009C ．2017D ．20187.已知实数x ，y 满足24010ln 0x y y y x --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则1x y z x ++=的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知实数[0,4]m ∈，则函数21()ln 2f x m x x x=-+在定义域内单调递减的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．589.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．60 10.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1213e e +的最大值为（ ） A ．223B ．233C ．23D ．2211.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．18-B ．18 C ．116- D ．11612.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．2322⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭ B ．32⎫+⎪⎪⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置） 13.下表提供了某学生做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.7y x =+，则表中t 的值等于 ．14.已知双曲线C ：221916x y -=的左右焦点为1F 、2F ，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点M ，则12MF F ∆的面积为 ．15.已知O 为坐标原点，动点P 满足3OP =，M 、N ，则OM ON OP ++的最小值为 ．16.已知函数()f x 的定义域是R ，21,(0)()9ln(2),(0)x mx x f x x x π⎧-++≤=⎨++>⎩（m 为小于0的常数），设12x x <且12'()'()f x f x =，若21x x -的最小值大于6，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2*3()n n a S n n n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2111n n n c a S =+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：5362n T ≤<. 18.距离2018年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校500名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：男女总计正常 30 40 70 焦虑 270 160 430 总计300200500（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20()P K k ≥0.258 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.63519.如图，三棱锥D ABC -中，2AB =，2AC BC ==，ADB ∆是等边三角形且以AB 为轴转动.（1）求证：AB CD ⊥；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时，求它的表面积.20.如图所示，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线上第一象限的点，直线l 与抛物线相切于点M .（1）过M 作HM 垂直于抛物线的准线于点H ，连接MF ，求证：直线l 平分HMF ∠； （2）若1p =，过点M 且与l 垂直的直线交抛物线于另一点Q ，分别交x 轴、y 轴于A 、B两点，求AB ABAM AQ+的取值范围. 21.已知函数ln ()a xf x x+=，()g x mx =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时，()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1a =时，求证：当1x >时，11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为1sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为244x my m =⎧⎨=⎩（m 为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点3,2)P -，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式53x x m ++-≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式324x x m --≤-.2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学参考答案一、选择题1-5: CDACC 6-10: BBCAD 11、12：BB 二、填空题13. 6 14. 32315. 3 16. (16)-∞ 三、解答题17.解：（1）23n n a S n n +=+，当1n =时，11142a S a +=⇒=， 当2n =时，2122104a a a a ++=⇒=， 又∵{}n a 是等差数列，∴212d a a =-=，∴2(1)22n a n n =+-⨯=； （2）2211111(21)(21)n n n c a S n n n n =+=+-+-+11111221211n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. ∴n T =111111123352121n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1111112231n n ⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111112211n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭31122(21)1n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. 当*n N ∈且n 逐渐增大时，n T 增大. ∴5362n T ≤<. 18.解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关22500(3016027040)43070300200K ⨯-⨯=⨯⨯⨯30009.967 6.635301=≈>，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关； （2）男生、女生分别抽取3人，4人.记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B ，4B .基本事件为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .满足条件的有：11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .∴186217m P n ===. 19.（1）证明：取AB 的中点H ，连接DH ，CH ，AC BC AB CHADB AB DH CH DH H⎫==⊥⎪∆⇒⊥⎬⎪=⎭是等边三角形AB CDH AB CD CD CDH ⊥⎫⇒⇒⊥⎬⊂⎭平面平面；（2）解：111333ABC hV S h h ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴若V 最大，则h 最大. ∴平面ADB ⊥平面ABC .此时ABC ADB ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆=+++表1=+20.（1）证明：设2(2,2)(0)M pt pt t >则,22p H pt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线HF 的斜率122pt k t p ==--，由22(0)y px p =>得y =， ∴直线l的斜率212k t==， ∴121(2)12k k t t⋅=-⋅=-，∴l HF ⊥. 又由抛物线定义MF MH =，∴l 平分HMF ∠； （2）解：当1p =时，2(2,2)M t t ，AB 的方程：222(2)y t t x t -=--，∴2(12,0)A t +，3(0,24)B t t +.∴3224212B M AB y t t t AM y t+===+，由2222(2)2y t t x t y x⎧-=--⎪⎨=⎪⎩23420ty y t t ⇒+--=， ∴1122Q Q t y y t t t+=-⇒=--，∴342242421212B Q ABy t t t t AQ y t t t++===-++， ∴4222422121AB AB t t t AM AQ t ++=+++22222141(1,)t t t =++=+∈+∞. 21.（1）解：ln ()a xf x x+=的定义域为(0,)+∞， 且221(ln )1ln '()a x x af x x x -+--==. 由'()01ln 0f x x a >⇒-->1ln 10ax a x e -⇒<-⇒<<，∴()f x 在1(0,)ae-单调递增，在1(,)a e -+∞单调递减；（2）解：0a =，ln ()xf x x=， ∴ln ()()x f x g x x ≤⇔2ln xmx m x≤⇔≥， 令2ln ()x u x x =，∴312ln '()xu x x-=，由'()00u x x >⇒<<∴()u x在单调递增，在)+∞单调递减，∴max ln 1()2u x u e e ===，∴12m e ≥； （3）证明：11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++⋅>++. 令(1)(ln 1)()x x p x x ++=，则2ln '()x xp x x -=，令()ln x x x ϕ=-则11'()1x x x xϕ-=-=，∵1x >，∴'()0x ϕ>，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)10x ϕϕ>=>，'()0p x >，∴()p x 在(1,)+∞单调递增，∴()(1)2p x p >=，∴()211p x e e >++， 令12()1x x e h x xe -=+，则122(1)'()(1)x x x e e h x xe --=+，∵1x >，∴10xe -<，∴'()0h x <，()h x 在(1,)+∞单调递减， ∴当1x >时，2()(1)1h x h e <=+， ∴()2()11p x h x e e >>++，即11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）l10y +-=，C 的普通方程：24x y =；（2）2)P -在l 上，l的参数方程为1222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入C得：21422t ⎛⎫⎫=⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即2440t -+=， ∴1244t t =，∴1244PA PB t t ==.23.解：（1）设()53f x x x =++-，则有22,5()8,5322,3x x f x x x x --<-⎧⎪=-<<⎨⎪+>⎩，根据函数的单调性有8m ≤.即m 的取值范围(,8]-∞；（2）当8m =时，324x x --≤，∴324x x -≤+， 当3x ≥时，原不等式324x x -≤+，7x ≥-，∴3x ≥； 当3x <时，原不等式324x x -≤+，13x ≥-，∴133x -≤<， ∴原不等式解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。