2020学年云南省玉溪市新高考高一数学下学期期末检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2
f x ax bx c =++，若关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，则
A ．()()()401f f f >>
B ．()()()104f f f >>
C ．()()()014f f f >>
D ．()()()140f f f >>
2．已知()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，若·1AC BC =-，则sin 4πα⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
等于()
A ．
3
B ．1
C ．2
D ．
3
3．设A ，B ，C 是平面内共线的三个不同的点，点O 是A ，B ，C 所在直线外任意-点，且满足
OC xOA yOB =+，若点C 在线段AB 的延长线上，则（ ）
A ．0x <，1y >
B ．0y <，1x >
C ．01x y <<<
D ．01y x <<<
4．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120s = ，那么110a a + 的值是 ( ) A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
5．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A ．52
B ．51
C ．50
D ．49
6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B =,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( )
A ．2
B
C ．
2
D ．4
7．已知圆22:680C x y x +-+=，由直线1y x =-上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A ．1
B ．2
C
D
8．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]--
B ．[1,3]-
C ．[3,1]-
D ．(,3][1,)∞-+∞
10．在等差数列{}n a 中，265,1a a =-=，则10a 等于( ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
11
．已知59a =°，sin15cos15b =+°°
，31cos31c =°°，则实数a 、b 、c 的大小关
系是（）
A ．a c b <<a c b <<
B ．a b c <<
C ．a c b ≥≥
D ．a b c ≥≥
12．已知直角三角形ABC
，斜边AC =D 为AB 边上的一点，1AD =，4
BCD π
∠=，则CD 的长为
（ ） A
．B
．C ．2
D ．3
二、填空题：本题共4小题 13．若0,
x
，则满足2sin 2
x
的x
的取值范围为______________； 14．已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是0.1()n a n n =∈N ，当()2005n f a -取得最
小值时，n =_______________.
15．若点()5,1P -为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线的方程为___________. 16．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则2
2
a b =_______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．高一某班以小组为单位在周末进行了一次社会实践活动，且每小组有5名同学，活动结束后，对所有参加活动的同学进行测评，其中A ，B 两个小组所得分数如下表：
其中B 组一同学的分数已被污损，看不清楚了，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高出1分. （1）若从B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；
（2）从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求||8m n -≤的概率. 18．已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*n b n N =∈，且{}n b 是以q 为公
比的等比数列．
（1）求证：2
2n n a a q +=；
（2）若2-122n n n c a a =+，试判断{}n c 是否为等比数列，并说明理由． （3）求和：21234
21
2111111n n n
S a a a a a a -=
+++++
+
． 19．（6分）某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较
好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.
（1）求y 关于x 的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率=
-收入成本
收入
100%⨯）？
相关公式：()()()
1
1
2
2
21
1
ˆ=
n
n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b
x x x
nx
====---=--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-. 20．（6分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.
（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.
21．（6分）在xOy 平面上有一点列111(,)P a b 、222(,)P a b 、
⋅⋅⋅、(,)n n n P a b 、⋅⋅⋅，对每个正整数n ，点n P 位于函数1000()6
x
a y =(06)a <<的图像上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以n P 为顶角顶点
的等腰三角形；
（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式；
（2）若对每个自然数n ，以n b 、1n b +、2n b +为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；
（3）设12n n B b b b =⋅⋅⋅*
()n N ∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n B 的最大项的项数
是多少？试说明理由；
22．（8分） 已知函数f(x)＝22
1
x x
-. (1) 若不等式k≤xf(x)＋1
x
在x ∈[1，3]上恒成立，求实数k 的取值范围； (2) 当x ∈11
[,]m n
(m>0，n>0)时，函数g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域为[2－3m ，2－3n]，求实数t 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
由题意可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得()f x 的解析式，计算(0)f ，f （1），f （4），比较可得所求大小关系． 【详解】
关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,3)-，
可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根， 可得13b
a -+=-
，13c a
-⨯=，即2b a =-，3c a =-， 2()23f x ax ax a =--，0a <，
可得(0)3f a =-，f （1）4a =-，f （4）5a =， 可得f （4）(0)f f <<（1），故选B ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。

2．A 【解析】 【分析】
首先根据1AC BC ⋅=-⇒（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，并化简得出2
αα3
sin cos +=，再化为Asin(ωx φ+)形式即可得结果. 【详解】 由1AC BC ⋅=-
得：（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，
化简得2αα3sin cos +=sin(α4π+)=2 3
,
则sin(α4
π
+)=故选A.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】
由题可得：1x y +=，将1y x =-代入OC xOA yOB =+整理得：BC xBA =，利用点C 在线段AB 的延长线上可得：0x <，问题得解. 【详解】
由题可得：1x y +=，
所以OC xOA yOB =+可化为：()1OC xOA x OB =+- 整理得：()
OC OB x OA OB -=-，即：BC xBA = 又点C 在线段AB 的延长线上，所以BC 与BA 反向， 所以0x <，11y x =-> 故选A 【点睛】
本题主要考查了平面向量中三点共线的推论，还考查了向量的减法及数乘向量的应用，考查了转化思想，属于中档题． 4．B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质：若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+ 即可得. 【详解】
()10110110512024
S a a a a =+=∴+=
故选B 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下标的变化规律，合理地进行等价转化. 5．A 【解析】 【分析】
由1221n n a a +-=，得到112n n a a +-=
，进而得到数列{}n a 首项为2，公差为1
2
的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，数列{}n a 满足1221n n a a +-=，即11
2
n n a a +-=， 又由12a =，所以数列{}n a 首项为2，公差为1
2
的等差数列， 所以10111
1002100522
a a d =+=+⨯=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B -=，解得3
B π
=，再由余弦定理，求得()2
24b a c =+，即可求
解，得到答案． 【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B =,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B -=， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 7．A 【解析】 【分析】
将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到直线1y x =-的距离，利用切线的性质及勾
股定理求处切线长的最小值，即可得到答案． 【详解】
将圆2
2
:680C x y x +-+=化为标准方程，得2
2
(3)1x y -+=， 所以圆心坐标为(3,0)，半径为1r =， 则圆心到直线1y x =-的距离为3122
d -=
=，
所以切线长的最小值为22211l d r =-=-=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于基础题． 8．B 【解析】 【详解】
如图,设抛物线方程为2
2y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则22AC =,即A 点纵坐标为22,则A 点
横坐标为
4
p ,即4OC p
=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224
(5)()(22)()2p p
+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.
【点睛】
9．C 【解析】
由题意得圆心为(,0)a 2． 圆心到直线的距离为12
a d +=，
由直线与圆有公共点可得
≤12a +≤，解得31a -≤≤．
∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ． 10．C 【解析】 【分析】
由数列{}n a 为等差数列，当2k m n =+时，有2m n k a a a +=，代入求解即可. 【详解】
解：因为数列{}n a 为等差数列， 又26210⨯=+， 则21062a a a +=， 又265,1a a =-=， 则107a =， 故选：C. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质，属基础题. 11．B 【解析】 【分析】
将bc 化简为最简形式，再利用单调性比较大小。

【详解】
59a =°
sin15cos 6501b =+︒°°
31cos3162c =︒°°
因为sin y x = 在[0,90]︒︒ 单调递增 所以a b c << 【点睛】
本题考查利用sin y x =的单调性判断大小，属于基础题。

12．A
【解析】 【分析】
设BC BD x ==，利用勾股定理求出x 的值即得解. 【详解】
如图，由于4
BCD π
∠=
，所以设BC BD x ==，
所以2
2
(1)13,2x x x ++=∴= 所以222222CD =+=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查解直角三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．3044πππ⎡⎫⎛⎫
⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
，， 【解析】 【分析】
本题首先可确定在区间0,
上2
sin 2
x
所对应的x 的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式2
sin x
的解集． 【详解】 当0,
x
时，令2
sin 2
x
，解得4x π=或34π，
如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知， 当0,
x
时，2
sin 2
x
的解集为304
4
x ，，
【点睛】
本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题． 14．110 【解析】 【分析】
要使()2005n f a -取得最小值，可令()20050n f a -=，即0.122log 0.12005n
n +=，对n 的值进行粗
略估算即可得到答案. 【详解】
由题知：0.12()2005(0.1)20052log 0.12005n
n f a f n n -=-=+-①.
要使①式取得最小值，可令①式等于0. 即0.122
log 0.120050n
n +-=，0.122log 0.12005n n +=.
又因为102=1024，112=2048，
则当100n =时，102=1024，2log 103≈，①式978≈. 则当110n =时，112=2048，2log 103≈，①式46≈. 当100n <或110n >时，①式的值会变大， 所以110n =时，()2005n f a -取得最小值. 故答案为：110 【点睛】
本题主要考查数列的函数特征，同时考查了指数函数和对数函数的性质，核心素养是考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属于难题. 15．2110x y --=； 【解析】
【分析】
利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦． 【详解】
圆标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)C ，101
532
CP k --==--， ∵P 是MN 中点，∴CP MN ⊥，即1
2MN PC
k k =-
=， ∴MN 的方程为12(5)y x +=-，即2110x y --=． 故答案为2110x y --=． 【点睛】
本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长l =d 为圆心到弦所在直线的距离）． 16．1 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2
b 的值，由此可得出2
2
a b 的值.
【详解】
设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3
138d q -+=-=，
求得2q =-，3d =，那么221312
a b -+==，故答案为1. 【考点】
等差数列和等比数列 【点睛】
等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）35 （2）3
5
【解析】 【分析】
（1）先设在B 组中看不清的那个同学的分数为x ，分别求得两组的平均数，再由平均数间的关系求解. （2）先求出从A 组这5名学生中随机抽取2名同学所有方法数，再用列举的方法得到满足求||8m n -≤的方法数，再由古典概型求解. 【详解】
（1）设在B 组中看不清的那个同学的分数为x 由题意得
918375938677809488
155
x ++++++++-=
解得x=88
所以在B 组5个分数超过85的有3个 所以得分超过85分的概率是
3
5
（2）从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，则所有(),m n 共有
()()()()()()()()()()94,88,94,86,94,80,94,77,88,86,88,80,88,77,86,80,86,77,80,77共10
个
其中满足求||8m n -≤的有: ()()()()()()
94,88,94,86,88,86,88,80,86,80,80,77共6个 故|||8m n -≤的概率为 63
105
= 【点睛】
本题主要考查了平均数和古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．（1）证明见解析（2）{}n c 是等比数列，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】 （1
）由
1
n n b q b +===即可证明； （2）证明22
21212221221221222=22n n n n n n n n n n
c a a a q a q q c a a a a +++---+⋅+⋅==++即可 （3）由（1）可知，
2462111
1n a a a a 、、、、是以21
q
为公比的等比数列， 135
21111
1n a a a a -、、、、也是以21q
为公比的等比数列，讨论1q =和1q ≠分组求和即可 【详解】
（1）因为n b ={}n b 是以q 为公比的等比数列，
所以，
1n n b q b +=== 则22
n n
a q a +=，所以22n n a a q +=. （2）{}n c 是等比数列 因为2-122n n n c a a =+；
所以22
21212221221221222=22n n n n n n n n n n
c a a a q a q q c a a a a +++---+⋅+⋅==++，又11225c a a =+= 所以{}n c 是以5为首项，2
q 为公比的等比数列．
（3）由（1）可知，
24621111n a a a a 、、、、是以21
q
为公比的等比数列， 13521111
1n a a a a -、、、、也是以21q
为公比的等比数列， 所以当1q =时，213122
n n
S n n =⨯+
⨯=， 当1q ≠时()()222222222111111123112111n n n n n q q q q S q q q q
⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎡⎤-⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+=-⎢⎥--⎣⎦
. 【点睛】
本题考查等比数列的证明，分组求和，考查推理计算及分类讨论思想，是中档题
19．（1）ˆ 1.75 1.75y x =+；（2）12万元的毛利率更大
【解析】 【分析】
（1）根据题意代入数值分别算出ˆb
与ˆa 即可得解； （2）分别把12x =与15x =代入线性回归方程算出ˆy
再算出毛利率即可得解. 【详解】
（1）由题意7x =，14y =.
()()()()()()()()5
1
37814571014771314i
i
i x x y y =--=--+--+--∑
()()971714+--()117+-()221470-=，
(
)
()()()()()5
2
22222
1
3757779711740i i x x
=-=-+--+-+-=+∑，
()()
()
5
1
5
2
1
ˆ 1.75i
i
i i
i x x y y b
x x ==--==-∑∑，
ˆ147 1.75 1.75a
=-⨯= 故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.75 1.75y
x =+. （2）当12x =时，ˆ22.75y
=，对应的毛利率为22.7512
100%47.3%22.75
-⨯≈，
当15x =时，ˆ28y
=，对应的毛利率为2815
100%46.4%28
-⨯≈， 故投入成本12万元的毛利率更大. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题. 20．（1）1
4
（2）这样规定公平，详见解析 【解析】 【分析】
（1）利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）利用古典概型及其概率的计算公式，求得(),()P B P C 的概率，即可得到结论. 【详解】
由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x 、y. 用(,)x y 表示抽取结果，可得
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，
则所有可能的结果有16种，
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}A =， 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率41()164
P A ==. （2）设“甲获胜”为事件B ，“乙获胜”为事件C ，
则{}(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)B =，{(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4)}C =. 可得63()()168
P B P C ==
=， 即甲获胜的概率是38，乙获胜的概率也是3
8
，所以这样规定公平.
【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率的计算及应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题题. 21．（1）0.5
1000()6
n n a
b +=；（2）3536a -<<；（3）16B 最大，详见解析；
【解析】 【分析】
(1)易得n P 的横坐标为1
n 2
+
代入函数即可得纵坐标. (2)易得数列{}n b 为递减的数列,若要组成三角形则12n n n b b b ++<+,再代入表达式求解不等式即可. (3)由12n n B b b b =⋅⋅⋅可知求11,1n n b b +≥<即可. 【详解】
(1)由点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以n P 为顶角顶点的等腰三角形有
+1+122n n n b b a n =
=+.故0.51000()6
n n a
b +=. (2)因为1000()6x a y =(06)a <<,故1000()6x
a y =为减函数,故12n n n
b b b ++>>,又以n b 、1n b +、2n b +为边
长能构成一个三角形,故12n n n b b b ++<+即
0.5 1.5 2.521000()1000()1000()()1666606
n n n a a a a a
+++<+-+>⇒.
解得353a >-或353a <--,又06a <<,故3536a -<<. (3)由a 取(2)中确定的范围内的最小整数,且3536a -<<,故4a =. 故0.5
0.54
2
1000()1000()6
3n n n b ++==,由题当11,1n n b b +≥<时数列{}n B 取最大项.
故0.5
21000()13
n +≥且 1.52
1000()13
n +<,计算得当16n =时取最大值16B .
【点睛】
本题主要考查了数列与函数的综合题型,需要根据题意找到函数横纵坐标的关系,同时也要列出对应的不等式再化简求解.属于中等题型. 22． (1) k≤1;(2) (0，1)． 【解析】
试题分析：（1）把f(x)＝22
x 1
x
-代入，化简得k≤x 在[1，3]上恒成立，所以k≤1．（2）g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t ＋1，又x ∈11,m n ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦ (m>0，n>0)，所以g(x)在11,m n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增，所以即，
即m，n是关于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的两个不等的正根．由根的分布，可得，解得0<t<1．
试题解析：(1) ∵ xf(x)＋＝＋＝x，
∴不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，即为k≤x在[1，3]上恒成立．
∴ k≤1.
(2) ∵ g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，
若t＝0，则g(x)＝1，不合题意，∴ t>0.
又当t>0时，g(x)＝－＋t＋1在上显然是单调增函数，
∴即
∴ m，n是关于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的两个不等的正根．
令h(x)＝tx2－3x＋1－t，则
解得0<t<1.
∴实数t的取值范围是(0，1)．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且()cos23cos 20B A C +++=
，b =则:sin c C
等于（ ） A ．3:1
B
C
D ．2:1
2．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是2π；②在,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数的一个函数为（ ） A ．sin()26
x y π
=+
B ．cos(2)3
y x π
=+
C ．sin(2)6
y x π
=-
D ．cos()26
x y π
=-
3．在ABC 中，AB 2=，π
C 6
=
，则AC +的最大值为( ) A
．B
．C
．D
4．ABC 中，30A =︒，105B =︒，2a =，则c =（） A ．1
B
C
．D ．4
5．已知向量OA a OB b OC c ===，，，且4AC CB =-，则( ).
A ．13
22c a b =+ B ．
31
22c a b =
- C ．13
22
c a b =-
D ．14
33
c a b =-+
6．已知向量a =(2，tan θ)，b =(1，-1)，a ∥b ，则tan()4
π
θ-=( )
A ．2
B ．-3
C ．-1
D ．-3
7．已知04
2a π
π
β<<
<<
，且sin cos 5
αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭则sin()αβ+=
（ ） A
．10
-
B
．5
-
C
．
5
D 8．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则2z x y =-的最小值是（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．7616π+
B ．6012π+
C ．4416π+
D ．4412π+
10．若实数x ，y 满足21
1x y y x -≥⎧⎨≥+⎩
，则z ＝x+y 的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．在ABC ∆中，1AB =，设向量AC 与CB 的夹角为α，若3
cos α=-
，则AC 的取值范围是（ ）
A ．(0,2]
B ．(0,2)
C ．30,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
D ．(1,2]
12．把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移
个单位得到的函数解析式为（ ） A ．y=sin （2x ﹣
） B ．y=sin （2x+
）
C ．y=cos2x
D ．y=﹣sin2x
二、填空题：本题共4小题
13．已知向量sin ,cos 36a ππ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，(),1b k =，若a b ，则k =__________．
14．等比数列{}n a 中首项12a =，公比()
*
+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则
n m +=______.
15．已知0x >，0y >，且
21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____． 16．已知,a b 为直线，α为平面，下列四个命题：①若//,//a b a α，则//b α；②若//,a b αα⊂，则
//a b ；③若,a b αα⊥⊂，则a b ⊥；④若,//a a b α⊥，则b α⊥.其中正确命题的序号是______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ． （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.
18．已知：2()2cos 32f x x x a =++（a R ∈，a 为常数）． （1）若x ∈R ，求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在[6
π
-
，]4π
上最大值与最小值之和为3，求a 的值．
19．（6分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若
222cos sin sin sin cos B A A B C --=,
（1）求角C 的大小；
（2）若6
A π
=
，ABC ∆M 为BC 的中点，求AM
20．（6分）数列{}n a 中，11a =，112n n n n a a a a ++-=. （1）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}1+n n a a 的前n 项和为n T ，求证：1
2
n T <
. 21．（6分）在△ABC 中，D 为BC 边上一点， 5BD DC =，设AB a =，AC b =. （1）试a 、b 用表示BD ；
（2）若||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为60°，求AC BD ⋅及|3|a b -的值.
22．（8分）已知直线:(0)l y kx k =≠与圆22:230C x y x +--=相交于A ，B 两点．
（1）若||AB =k ；
（2）在x 轴上是否存在点M ，使得当k 变化时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0，若存在，求出点M 的坐标：若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
试题分析：由已知()cos23cos 20B A C +++=得22cos -1-3cos 20B B +=，解得cos =1B （舍）或
1cos =2B ，又因为0B π<<，所以sin B =，由正弦定理得:sin =b:sin =2:1c C B .
考点：1、倍角公式；2、正弦定理. 2．C 【解析】
由①得函数的最小正周期是π，排除A,D ．对于B:
=cos(2)3y x π+=cos (2)+62x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin(2)6x π=--，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时B 选项对应函数是减函数，C 选项对应函数是增函数，满足②，故选C ．
3．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理得出ABC 的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案．
【详解】 ABC 中，AB 2=，πC 6
=，则AB 2R 4sinC ==
，()5π AC 4sinB 4sin A 2cosA A θ6⎛⎫=+=-+=+=+ ⎪⎝⎭
，其中sin θsin θ1414
== 由于5π0A 6<<，π0θ2<<所以4π0A θ3
<+<
，所以最大值为． 故选A ．
【点睛】 本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题．
4．C
【解析】
【分析】
利用三角形内角和为180可求得C ；利用正弦定理可求得结果.
【详解】
180A B C ++= 1801053045C ∴=--= 由正弦定理sin sin a c A C =
得：2sin 21
sin 2a C c A ===
本题正确选项：C
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
运用平面向量的加法的几何意义，结合等式4AC CB =-，把其中的向量都转化为以O 为起点的向量的形式，即可求出c 的表示.
【详解】
144()333
44AO OC CO OB OC OA OB OC OA AC CB OB ⇒+=-+⇒=-+⇒=-+=-, 1433
c a b ∴=-+,故本题选D. 【点睛】
本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题.
6．B
【解析】
【分析】
通过向量平行得到tan θ的值，再利用和差公式计算tan(
)4πθ-
【详解】
向量a =(2，tan θ)，b =(1，-1)，a ∥tan 2b θ⇒=- tan tan 4tan()341tan tan 4
πθπθπθ--==-+⋅ 故答案选B
【点睛】
本题考查了向量的平行，三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.
7．D
【解析】
【分析】
首先根据sin cos 5αα-=
，求得sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，结合角的范围，利用平方关系，求得cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】
因为sin cos αα-=
sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
因为42a ππ<<，所以310cos 410πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭. 因为04π
β<<，4sin 45πβ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭， 所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-
++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 103310431055=⨯+⨯=， 故选D.
【点睛】 该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.
8．A
【解析】
【分析】
画出不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩
的可行域,再根据线性规划的方法,结合2y x z =-的图像与z 的关系判定最小值
即可.
【详解】
画出可行域,又2z x y =-求最小值时, 故2y x z =-的图形与可行域有交点,且2y x z =-往上方平移到最高点处.易得此时在()0,1处取得最值2011z =⨯-=-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线性规划与绝对值函数的综合运用,需要根据题意画图,根据函数的图形性质分析.属于中档题.
9．D
【解析】
【分析】
先还原几何体，再根据形状求表面积.
由三视图知，该几何体的直观图如图所示，
∴其表面积为2134453422242
ππ⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯4412π=+，故选D . 【点睛】
本题考查三视图以及几何体表面积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属中档题.
10．D
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【详解】
由实数x ，y 满足211x y y x -≥⎧⎨≥+⎩
作出可行域，如图：
联立211
x y y x -=⎧⎨=+⎩，解得()2,3A ， 化目标函数z x y =+为y x z =-+，
由图可知，当直线y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值为5.
故选：D.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.
11．A
根据向量AC 与CB 的夹角的余弦值，得到6C π=，然后利用正弦定理，表示出AC ，根据B 的范围，得到AC 的范围.
【详解】
因为向量AC 与CB 的夹角为α，且3cos 2α=-
， 所以6C ππα=-=，
在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b c B C
=， 得sin sin AC
AB
B C =，所以2sin AC B =，
因为50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以(]sin 0,1B ∈， 所以(]0,2AC ∈.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量的夹角，正弦定理解三角形，求正弦函数的值域，属于简单题.
12．D
【解析】
试题分析：三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．
解：把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移个单位，
所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x ﹣
）﹣]=sin （2x ﹣π）=﹣sin2x ． 故选D ．
考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
二、填空题：本题共4小题
13．1
【解析】
由//a b ,得sin
? cos 036k ππ-=.即33022
k -=. 解得1k =.
14．9
根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.
【详解】
因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，
所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，
所以()11+12313++27013n m n n n m
a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==- 整理得11720313n m n -+--=
因为*,,n m N n m ∈<
所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，
则13n -应是720的约数，
所以可得133,9,27n -=，
所以1,2,3n =，
当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉
当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉
当3n =时，得2381m -=，此时6m =，
所以9m n +=，
故答案为：9.
【点睛】
本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
15．（-4，2）
【解析】
试题分析：因为2
142(2)()4+48y x x y x y x y x y +=++=+≥+=当且仅当2x y =时取等号，所以22842m m m +<⇒-<<
考点：基本不等式求最值
16．③④
①和②均可以找到不符合题意的位置关系，则①和②错误；根据线面垂直性质定理和空间中的平行垂直关系可知③和④正确.
【详解】
若//,//a b a α，此时//b α或b α⊂，①错误；
若//,a b αα⊂，此时//a b 或,a b 异面，②错误；
由线面垂直的性质定理可知，若,a b αα⊥⊂，则a b ⊥，③正确；
两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线必垂直于该平面，可知④正确
本题正确结果：③④
【点睛】
本题考查空间中的平行与垂直关系相关命题的判断，考查学生对于平行与垂直的判定和性质的掌握情况.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）B=
4
π（Ⅱ）21+ 【解析】
【详解】
(1)∵a=bcosC+csinB ∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①
在三角形ABC 中，A=－(B+C) ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②
由①和②得sinBsinC=cosBsinC
而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB
又B(0，)，∴B=
(2) S △ABC 12=acsinB 24
=ac ， 由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2accos 4π
≥2ac ﹣2ac 22
⨯， 整理得：ac 22
≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 则△ABC 面积的最大值为
1212222
22⨯=-（22+）2=1． 18．（1）π；（2）1
（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；
（2）根据x 在[6π-，]4
π上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求a 的值． 【详解】
解：2()2cos 2f x x x a =+
2cos 21x x a =+++
2sin(2)16x a π
=+++， （1）()f x ∴的最小正周期222T πππω=
==； （2）
[,]64x ππ∈-，22[,]663x πππ
∴+∈-， 当ππ26
6x 时，即6x π=-，()f x 取得最小值为2sin()16a a π-++=， 当262x ππ+=时，即6x π=，()f x 取得最大值为2sin()132a a π++=+， 最大值与最小值之和为3，33a a ∴++=，0a ∴=，
故a 的值为1．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．
19． (1) 23C π=
(2) AM =【解析】
【分析】
（1）由22sin cos 1αα+=，可将2cos B ，2cos C 转化为21sin B -,21sin C -，代入原式，根据正弦定理可得222c b a ab -=+，结合余弦定理，及0C π<<，可得角C 的大小。

（2）因为6A π
=，所以6B π
=。

所以ABC ∆为等腰三角形，，可得2a b ==，在MAC ∆，
2AC =，1CM =，23
C π=
，结合余弦定理，即可求解。

【详解】 （1）由222cos sin sin sin cos B A A B C --=
得222sin sin sin sin sin A A B C B +=-
由正弦定理，得222c b a ab -=+，即222a b c ab +-=-
所以2221cos 222
a b c ab C ab ab +--===- 又0C π<<，则23C π=
（2）因为6A π
=，所以6B π
=.
所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23
C π=.
因为1sin 2ABC S ab C ∆=
==所以2a =. 在MAC ∆中，2AC =，1CM =，23
C π=， 所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅ 1=4+1+221=72⨯⨯⨯
解得AM =
.
【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理，余弦定理，求面积公式，综合性较强，考查学生分析推理，计算化简的能力，属基础题。

20．（1）121n a n =
-；（2）见解析 【解析】
【分析】
(1)结合112n n n n a a a a ++-=,构造数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭,证明得到该数列为等差数列,结合等差通项数列计算方法,即可.(2)运用裂项相消法,即可.
【详解】
（1）由11a =，112n n n n a a a a ++-= （即()121n n n a a a ++=），可得()
*0n a n N ≠∈， 所以1112n n
a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，以2为公差的等差数列， 所以()1121n
n a =+-， 即121
n a n =-.
（2）111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以1111111111112133557
2121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 因为
1021
n >+， 所以12n T <. 【点睛】
本道题考查了等差数列通项计算方法和裂项相消法,难度一般.
21．（1）5566BD b a =- （2）52
AC BD ⋅=，|3|7b a -= 【解析】 【分析】 （1）用BC 表示BD ，再用AB ，AC 表示BC 即可；
（2）由向量数量积运算及模的运算即可得解.
【详解】
解：（1）因为5BD DC =，所以56BD BC =
， 又AB a =，AC b =， 所以555()666
BD AC AB b a =-=-； （2）||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为60°，
所以11212
a b ⋅=⨯⨯=， 则25555()()(41)6662
AC BD b b a b a b ⋅=⋅-=-⋅=-=， 222|3|969647a a a b b b -=-⋅+=-+=，
故|3|7b a -=
. 【点睛】
本题考查了向量的减法运算，重点考查了向量数量积运算及模的运算，属基础题. 22．（1）±1；（2）存在()3,0M -.
【解析】
【分析】
（1）由题得C 到AB 的距离为
2=（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，存在点(,0)M m 满足题意，即0AM BM k k +=，把韦达定理代入方程化简即得解.
【详解】
（1）因为圆22:(1)4C x y -+=，所以圆心坐标为(1,0)C ，半径为2，
因为||AB =C 到AB 的距离为2
，
= 解得1k =±． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则22,230,
y kx x y x =⎧⎨+--=⎩得22(1)230k x x +--=，因为24121()0k ∆=++>， 所以12221x x k +=
+，12231x x k =-+， 设存在点(,0)M m 满足题意，即0AM BM k k +=， 所以121212120AM BM y y kx kx k k x m x m x m x m
+=+=+=----， 因为0k ≠，所以12211212()(2())0x x m x x m x x m x x -+-=-+=， 所以22
62011m k k --=++，解得3m =-． 所以存在点(3,0)M -符合题意．
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。