2021年四川省绵阳市中考数学试卷【附答案】

绝密★启用前
2021年四川省绵阳市中考数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。

1．（3分）整式﹣3xy2的系数是（）
A．﹣3B．3C．﹣3x D．3x
2．（3分）计算×的结果是（）
A．6B．6C．6D．6
3．（3分）下列图形中，轴对称图形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（）
A．2B．3C．D．
5．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（）
A．1B．C．D．2
6．（3分）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（）
A．60件B．66件C．68件D．72件
7．（3分）下列数中，在与之间的是（）
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、
37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（）
A．众数是36.3B．中位数是36.6
C．方差是0.08D．方差是0.09
9．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（）
A．22°B．23°C．25°D．27°
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6
11．（3分）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac 的最大值是（）
A．1B．C．D．2
12．（3分）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上. 13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝28°，则∠2＝．
14．（4分）据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为．
15．（4分）若x﹣y＝，xy＝﹣，则x2﹣y2＝．
16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省元．
17．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝．
18．（4分）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（16分）（1）计算：2cos45°+|﹣|﹣20210﹣；
（2）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝1.12，y＝0.68．
20．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
分段成绩范围频数频率
A90～100a m
B80～8920b
C70～79c0.3
D70分以下10n
注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．
（1）在统计表中，a＝，b＝，c＝；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；
（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
21．（12分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
22．（12分）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．
（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB 上，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k ＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．
24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1．
（1）求证：△DBC∽△AMD；
（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；
（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．
25．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O 出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。

1．（3分）整式﹣3xy2的系数是（）
A．﹣3B．3C．﹣3x D．3x
答案解：整式﹣3xy2的系数是﹣3．
故选：A．
2．（3分）计算×的结果是（）
A．6B．6C．6D．6
答案解：×
＝
＝
＝6，
故选：D．
3．（3分）下列图形中，轴对称图形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案解：第1个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
第2个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
第3个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
第4个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（）
A．2B．3C．D．
答案解：∵某圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，
∴圆锥的底面半径为2÷2＝1，母线长为2，
∴此圆锥的高是＝．
故选：D．
5．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（）
A．1B．C．D．2
答案解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，
Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝DE，
设CE＝x，则DE＝2x，
根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，
即32+x2＝（2x）2，
解得：x＝±（负值舍去），
∴CE＝，
∵DE⊥CF，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，
∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴BF＝CE＝．
故选：C．
6．（3分）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（）
A．60件B．66件C．68件D．72件
答案解：设该分派站有x个快递员，
依题意得：10x+6＝12x﹣6，
解得：x＝6，
∴10x+6＝10×6+6＝66，
即该分派站现有包裹66件．
故选：B．
7．（3分）下列数中，在与之间的是（）
A．3B．4C．5D．6
答案解：因为＞，＝4，＜，
＝4，＝6，
所以4＜＜＜6．
故选：C．
8．（3分）某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、
37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（）
A．众数是36.3B．中位数是36.6
C．方差是0.08D．方差是0.09
答案解：7个数中36.5、36.7和37.1都出现了二次，次数最多，即众数为36.5、36.7和
37.1，故A选项不正确，不符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.5，36.5，36.7，36.7，37.1，37.1，则中位
数为36.7，故B选项错误，不符合题意；
＝×（36.5+36.3+36.5+36.7+36.7+37.1+37.1）＝36.7，
S2＝[（36.3﹣36.7）2+2×（36.5﹣36.7）2+2×（36.7﹣36.7）2+2×（37.1﹣36.7）2]＝
0.08，，故C选项正确，符合题意，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（）
A．22°B．23°C．25°D．27°
答案解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN于H，
∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，
∴四边形CMGN是矩形，
∴CH＝CG＝MN，
∵PC＝MN，
存在两种情况：
如图，CP＝CP1＝MN，
①P是MN中点时，
∴MP＝NP＝CP，
∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMC＝∠PCM＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CPM＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠CPB＝117°，
∴∠BPM＝117°﹣100°＝17°，
∵∠PMC＝∠PBM+∠BPM，
∴∠PBM＝40°﹣17°＝23°，
∴∠ABP＝45°﹣23°＝22°．
②CP1＝MN，
∴CP＝CP1，
∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，
∵∠BP1C＝117°，
∴∠BP1M＝117°﹣80°＝37°，
∴∠MBP1＝40°﹣37°＝3°，
而图中∠MBP1＞∠MBP，所以此种情况不符合题意．
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6答案解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T．
∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，
∴DJ＝＝＝4，
∵CD∥AT．
∴∠DCJ＝∠TAJ，
∵∠DJC＝∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ（ASA），
∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，
∵∠AJT＝∠ACB＝90°，
∴JT∥BC，
∵AJ＝JC，
∴AT＝TB＝5，
设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得x＝1.4，
∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m＝OB＝11.4，
故选：A．
11．（3分）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac 的最大值是（）
A．1B．C．D．2
答案解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴a+b•（﹣）+c＝0，
∴﹣+c＝0，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最大值是2，
故选：D．
12．（3分）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（）
A．B．C．D．
答案解：∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（AB）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠P AQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴，
∴＝，
∴PQ＝，
故选：A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上. 13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝28°，则∠2＝152°．
答案解：如图，
∵a∥b，∠1＝28°，
∴∠3＝∠1＝28°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝152°．
故答案为：152°．
14．（4分）据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为9.1×107．
答案解：91000000＝9.1×107．
故答案为：9.1×107．
15．（4分）若x﹣y＝，xy＝﹣，则x2﹣y2＝0．
答案解：∴，
∴（x﹣y）2＝3，
∴x2﹣2xy+y2＝3，
∴，
∴，
∴（x2﹣y2）2＝（x2+y2）2﹣4x2y2，
＝，
∴x2﹣y2＝0，
故答案为0．
16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5
盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省145元．
答案解：设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，
依题意得：，
解得：，
∴5x+5y﹣（0.6×5x+0.7×5y）＝5×50+5×30﹣（0.6×5×50+0.7×5×30）＝145．故答案为：145．
17．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝4．
答案解：连接CG，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于M，
∵F、H分别为CE、GE中点，
∴FH是△CEG的中位线，
∴HF＝CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DGE＝∠E，
∵∠EHF＝∠DGE，
∴∠E＝∠EHF，
∴HF＝EF＝CF，
∴CG＝2HF＝2，
∵AB∥CD，
∴∠CDM＝∠A＝60°，
设DM＝x，则CD＝2x，CM＝，
∵点G为AD的中点，
∴DG＝x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
CG＝＝2，
∴x＝2，
∴AB＝CD＝2x＝4．
故答案为：4．
18．（4分）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是3．
答案解：如图，
∵∠C＝90°，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，
∴DE＝EC＝CF＝FD＝2，
∵tan A＝，tan B＝，+＝，
∴+＝，
即＝，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
在Rt△BDF中，BF＝＝，
∴AC•BC＝（2+）（2+）
＝4（1+++1）
＝4（2+）
＝18，
∴＝
∴AB2＝45，
即AB＝3，
故答案为：3．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（16分）（1）计算：2cos45°+|﹣|﹣20210﹣；
（2）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝1.12，y＝0.68．
答案解：（1）原式＝2×+﹣1﹣
＝
＝﹣1，
（2）原式＝﹣﹣
＝
＝
＝，
当x＝1.12，y＝0.68时：＝＝2．
20．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
分段成绩范围频数频率
A90～100a m
B80～8920b
C70～79c0.3
D70分以下10n
注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．
（1）在统计表中，a＝5，b＝0.4，c＝15；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；
（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
答案解：（1）总人数为：10÷（72÷360）＝50（人），
∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15（人），
∴a＝50﹣（20+15+10）＝5（人），
故答案为：5，0.4，15；
（2）由题意得：成绩在90～100之间的人数为5，
随机选出的这个班级总人数为50，
设该年级成绩在90～100之间的人数为y，
则，
解得：y＝200，
（3）由（1）（2）可知：A段有男生2人，女生3人，
记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，
选出2名学生的结果有：
男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，
男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，
共10种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中包含1名男生1名女生的结果有6种，
∴P＝＝，即选到1名男生和1名女生的概率为．
21．（12分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
答案解：（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，
根据题意，得，
可解得50≤x≤55，
∵x为整数，
∴x＝50，51，52，53，54，55；
答：工艺厂购买A类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55；
（2）设获得利润为y元，
由题意，得y＝50[4x+2（150﹣x）]+8﹣[2x+6（150﹣x）]，
即y＝﹣220x+87000，
∵﹣220＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝50时，y取最大值，最大值为：﹣220×50+87000＝76000（元），
答：该工艺厂购买A、B两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是76000元．
22．（12分）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．
（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB 上，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．
答案解：（1）结论：点N在直线AB上，理由如下：
∵∠CMH＝∠B，∠CMH+∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BMC＝90°，即CM⊥AB，
∴线段CM绕点M逆时针旋转90°落在直线BA上，
即点N在直线AB上，
（2）作CD⊥AB于点D，
∵MC＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠MCN＝45°，
∵NC∥AB，
∴∠BMC＝45°，
∵BC＝6，∠B＝30°，
∴CD＝3，MC＝，
∴S＝MC2＝18，即以MC．MN为邻边的正方形面积为S＝18．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k ＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线
于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．
答案解：（1）由题意得点A的坐标为（，2），点B的坐标为（1，k），又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，
∴点C的坐标为（1，2），
又CE＝1，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，EB2＝BC2+CE2，
∴1+（k﹣2）2＝，
∴k＝2或，
当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，
∴k＝，
∴C（1，2），E（2，2），k＝；
（2）由（1）可得，AC＝，BC＝，CE＝1，
设AB的中点为D，
AB＝＝，BD＝＝，
∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，
∴△BDM∽△BCA，
∴＝，
∴BM＝×＝，
∴S△MBE＝＝×1＝．
24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1．
（1）求证：△DBC∽△AMD；
（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；
（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．
答案解：如图1，
（1）∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴∠CAM＝90°，
∴∠MAD+∠DAC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∴∠MAD＝∠BAC，
对于：
∠BAC＝∠BDC，
∴∠MAD＝∠BDC，
又∠MAD＝∠BDC＝90°，
∴△DBC∽△AMD；
（2）如图2，
取CD的中点N，连接ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∴ON∥AD，ON＝，
∴∠CNA＝∠ADC＝90°，
∴ON⊥CM，
由（1）知：△DBC∽△AMD，
∴＝，
∴DM＝＝x2，
∴CM＝DM+CD＝x2+1，
∴S△COM＝CM•ON＝（x2+1）•＝；
（3）如图3，
作DF⊥AC于F，延长DB交MA的延长线于G 在Rt△ADC中，AD＝x，CD＝1，
∴AC＝，
∴OD＝OC＝AC＝
DF＝，
CF＝＝，
∴OF＝OC﹣CF＝，
∵DF∥AG，
∴△DOF∽△GOA，
∴＝，
∴AG＝＝＝
＝，
∴AG2＝，
在Rt△ACM中，由射影定理得，
AM2＝DM•MC＝x2（x2+1），
∵∠AOE＝∠COD，
∠AOG＝∠COD，
∴∠AOE＝∠AOG，
∵OA＝OA，
∠OAM＝∠OAG，
∴△AOM≌△AOG（ASA），
∴AG＝AM，
∴＝x2（x2+1），
∴x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AD＝，OD＝，
DF＝＝，
OF＝，
作EH⊥OA于H，设OE＝a，
∴EH＝OE•sin∠AOE＝a•sin∠DOF
＝a•＝a，
∴OH＝a，
AH＝＝＝a•＝a，由AH+OH＝OA得，
a+＝，
∴a＝，
即：OE＝．
25．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O 出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
答案解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，
解得：a＝﹣，
抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，
当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），
则，
解得或（舍去），
∴P的坐标为（1，﹣2）；
（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，
由（1）方法知，P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），
由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，
然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，
解得：t＝，或t＝﹣1（舍），
将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，
解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．
所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，
时间t的取值范围是：≤t≤1+；
（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），
当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），
过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，
则R'M＝＝，
又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，
消去m得：R'M＝
＝
＝
＝，
当n＝时，R'M长度的最小值为，
此时，n＝﹣m2﹣2m+2＝，
解得：m＝﹣1±，
∴点R的坐标是（﹣1±，）．
第31页（共31页）。