第三讲 地下水数值模拟原理及建模方法和步骤_xiugai

2H
n1 i
(x)2
H n1 i 1
H n1 i
H
n i
t
i 2,3,, nx 1
二维控制方程差分格式
方法一
控制方程
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2h x 2
T
2h y 2
h t
网格剖分nx个
显式差分格式
Hn i1, j
2H
n i,
H (x0
x, t0 )
2H (x0 , t0 ) (x)2
H (x0
x, t0 )
一维控制方程差分格式
方法一
控制方程
T
2h( x, t ) x2
h( x, t ) t
网格剖分nx个
显式差分格式
H (x0 x, t0 ) 2H (x0 , t0 ) H (x0 x, t0 ) H (x0 , t0 t) H (x0 ,t0 )
(x) 2
t
Hn i 1
2
H
n i
Hn i 1
(x)2
H
n1 i
H
n i
t
i 2,3,, nx 1
隐式差分格式
H (x0 x, t0 t) 2H (x0 , t0 t) H (x0 x, t0 t) H (x0 , t0 t) H (x0 , t0 )
(x) 2
t
H n1 i 1
绪论
数值解与解析解
数值方法是地下水动力学的完善和补充或延续 数值解的特点：
只是求出研究区某些空间点和某些时间点处的水头值 适用于所有的问题 具备水文地质基础和线性代数知识 已有数值模拟专门软件（或自己编程） 需要有高性能计算机 对实际问题的刻画比较精确
因此，其应用非常广泛
绪论
数值方法
抽水试验及反求参数 数值方法可以作为地下水动力学课程内容之一、或补充、或延续
绪论
数值解与解析解
地下水动力学中所得到的解是解析解 解析解的特点
可以利用解析解公式计算出研究区任意空间点 和时间点处的水头值
对实际模型的概化 适用于一些特殊简单问题 公式复杂，需要借助计算机求解
因此，其应用受到很大限制
f (x0 x) f (x0 x) O(x)2 2x
称 f (x0 x) f (x0 x)
2x
为f(x)在x0处的一阶中心差商， O(x)2 为截断误差。
④由A+B可以得：
f '' ( x0 )
f (x0 x) 2 f (x0 ) (x)2
f (x0 x) O(x)2
称
f (x0 x) 2 f (x0 ) f (x0 x) (x)2
为f(x)在x0处的二阶中心差商，O(x)2
为截断误差。
方法一
(2)有限差分方程建立(续)
对于偏导数（偏微商），类似可以得到相应的差商：
H (x0,t0 ) H (x0,t0 t) H (x0,t0 )
t
t
H (x0 ,t0 ) H (x0 x,t0 ) H (x0 ,t0 )
x
x
2H (x0 , t0 ) x 2
点 网 格
方法一：差商代替微商
MODFLOW网格系统
(2)有限差分方程建立
方法一：差商代替微商
导 导数的定义
数 的
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
有
当 x 非常小的时候，有
限 差
f (x0 )
f (x0 x) x
f (x0 )
商 上式右端项即为f(x)在x0处的差商。 近 这样定义的差商很容易理解，但不知道用差商代 似 替微商所产生的误差。下面利用泰勒公式导出差商
的迁移机理及数学模型和求解方法
地下水数值模拟
绪论
地下水数值方法在水文地质学中的位置
地下水动力学主要内容
连续性原理、达西定律、水均衡原理 地下水流基本方程 几类特殊水文地质问题数学模型及解析解
地下水向沟渠河中的流动 园岛模型 泰斯模型 有越流的不稳定井流（Hantush and Jacob） 无越流的潜水含水层不稳定井流（ Neuman ）
及其误差。
已知泰勒公式
f (x0 x)
f (x0 )
f '( x0 )x
f '' ( ) (x)2 2!
f (x0 x)
f (x0 )
f ' (x0 )x
f '' () (x)2
2!
方法一
A
B
① 由A得：
f (x0)
f (x0 x) x
f (x0) O(x)
称
f (x0 x) x
数值方法很多，但是最简单实用的是有限差分法：
✓ 有限差分法
✓ 有限单元法
✓ 积分有限差分法
✓ 半解析半数值法
✓ 边界元法
✓ 有限体积法
只讲有限差分法
一、有限差分法的基本原理
有两种方法建立差分方程
➢ 方法一．以地下水流基本微分方程及 其定解条件为基础， 在渗流区剖分 基础上，用差商代替微商，将地下水 流微分方程的求解转化为差分方程 （代数方程）求解。适用于二维矩形 网格剖分、三维长方体网格剖分。
f '' ( x0 ) (x)2 f ''' ( x0 ) (x)3
2!
3!
f (4) ( ) (x)4
4!
A
f (x0 x)
f (x0 )
f '(x0 )x
f '' ( x0 ) (x)2 2!
f ''' ( x0 ) (x)3 3!
f
(4) (
4!
)
(x)4B
③由A-B可以得：
f ' (x0 )
f (x0 )
为f(x)在x0处的一阶前向差商，O(x)
为截断误差。
② 由B 得：
f (x0)
f (x0) f (x0 x) O(x) x
称
f (x0 ) f (x0 x) x
为f(x)在x0处的一阶后向差商，O(x)
为截断误差。
方法一 f (x0 x) f (x0) f '(x0)x
地下水数值模拟原理及 建模方法和步骤
内容提要
➢ 绪论 ➢ 一、地下水流有限差分法原理 ➢ 二、地下水数值模型建模步骤 ➢ 三、建模所需要的基本资料 ➢ 四、地下水系统溶质迁移有限差分法原理 ➢ 五、地下水系统热对流-扩散有限差分法原
理
绪论
地下水数值方法在水文地质学中的位置
已学课程
水文地质学基础 地下水动力学 水文地球化学（环境水文地质学） 同位素 地下水溶质运移：示踪剂或污染物在含水层中
➢ 方法二．在渗流区剖分的基础上，直 接由达西定律和水均衡原理，建立各 个均衡区的水均衡方程，从而得到差 分方程。适用于矩形网格、三角形网 格。
矩形网格 多边形网格
方法一：差商代替微商
1、网格划分的基本类型
（1）先划格线，格点位
均
于网格中心
衡
网
格
（2）先规定格点位置，
再垂直平分两相邻结点的连
节
线作格线，形成的网格即为 水均衡区