江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第8章函数应用8.1.2用二分法求方程的近似解课件苏教版
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规律方法 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点,因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
跟踪训练1 通过下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
C
A. B. C. D.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法求函数零点的步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 二分法概念
二分法：对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 名师点睛 二分法的求解原理是函数零点存在定理.
[解析] 由表可知 ， ， .由函数零点存在定理，知函数 在区间 ， ， 上分别至少存在1个零点，所以函数 在区间 上至少有3个零点.虽然 ，但函数 在 上也有可能存在零点.故选B.
【题型三】用二分法求方程的近似解
例3 [2023宿迁月考] 用二分法求方程 在 内的近似解时，记 ，若 ， ， ， ，据此判断，方程的根应落在区间( )
知识点2. 二分法求方程近似解的步骤
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】二分法概念的理解
例1 已知函数 的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
D
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
[解析] 图象与 轴有4个交点，所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，因为 ， ，所以 在 上有唯一零点 ，即 ，故 ，所以方程的根落在区间 上，且为 ，对于 ，易知选项中的区间与 没有交集，故 不在 选项中的区间上，故 错误；对于B，显然满足题意，故B正确.故选B.
区间
中点的值
中点函数值（近似值）
ห้องสมุดไป่ตู้
1.25
由于 与 精确到0.1的近似值为 ,所以函数的一个近似负零点可取 .
题后反思 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间 （一般采用估计值的方法完成）. （2）取区间端点的平均数 ，计算 ，确定有解区间是 还是 ，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
题后反思 利用二分法求方程的近似解的步骤 （1）构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间 ， . （2）利用二分法求出满足要求的方程的解所在的区间 . （3）区间 内满足要求的唯一近似值就是方程的解.
跟踪训练3（1） [2023南通测试] 若函数 在区间 内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
[解析] 在A中，函数无零点；在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点；而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与 轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C中的函数能用二分法求其零点.
【题型二】用二分法求函数的零点
例2（1） 已知函数 ，用二分法求 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为( )
B
A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25
[解析] 设 ，所以 ， ，因为 ，且 在 上单调递增，所以 在 内有零点，因为 ，所以 在 内有零点，所以方程 的根可以是0.635.故选B.
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 为连续函数且定义域为 ， ， ， ， ，所以根据函数零点存在性定理，可得其零点的初始区间为 .故选C.
（2）求函数 的负零点的近似值（精确到 ）.
解 由于 , ,故函数 的零点在区间 内.用二分法逐次计算,列表如下:
1
1.5
1.25
1.375
0.875
那么方程 的一个近似根（精确度为 ）可以为( )
B
A.1.3 B.1.32 C. D.1.25
[解析] 由 ， ，且 ，所以方程 的一个近似根在 内，结合选项，由 ，故 错误，B正确.故选B.
（2）[2023杭州期末] 用二分法判断方程 在区间 内的根（精确度 ）可以是( ) （参考数据： ， ）
跟踪训练2 [2023天津测试] 已知函数 的图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是( )
1
2
3
4
5
6
123.56
21.45
11.45
B
A.函数 在区间 上有3个零点B.函数 在区间 上至少有3个零点C.函数 在区间 上至多有3个零点D.函数 在区间 上无零点
跟踪训练1 通过下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
C
A. B. C. D.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法求函数零点的步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 二分法概念
二分法：对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 名师点睛 二分法的求解原理是函数零点存在定理.
[解析] 由表可知 ， ， .由函数零点存在定理，知函数 在区间 ， ， 上分别至少存在1个零点，所以函数 在区间 上至少有3个零点.虽然 ，但函数 在 上也有可能存在零点.故选B.
【题型三】用二分法求方程的近似解
例3 [2023宿迁月考] 用二分法求方程 在 内的近似解时，记 ，若 ， ， ， ，据此判断，方程的根应落在区间( )
知识点2. 二分法求方程近似解的步骤
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】二分法概念的理解
例1 已知函数 的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
D
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
[解析] 图象与 轴有4个交点，所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，因为 ， ，所以 在 上有唯一零点 ，即 ，故 ，所以方程的根落在区间 上，且为 ，对于 ，易知选项中的区间与 没有交集，故 不在 选项中的区间上，故 错误；对于B，显然满足题意，故B正确.故选B.
区间
中点的值
中点函数值（近似值）
ห้องสมุดไป่ตู้
1.25
由于 与 精确到0.1的近似值为 ,所以函数的一个近似负零点可取 .
题后反思 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间 （一般采用估计值的方法完成）. （2）取区间端点的平均数 ，计算 ，确定有解区间是 还是 ，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
题后反思 利用二分法求方程的近似解的步骤 （1）构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间 ， . （2）利用二分法求出满足要求的方程的解所在的区间 . （3）区间 内满足要求的唯一近似值就是方程的解.
跟踪训练3（1） [2023南通测试] 若函数 在区间 内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
[解析] 在A中，函数无零点；在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点；而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与 轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C中的函数能用二分法求其零点.
【题型二】用二分法求函数的零点
例2（1） 已知函数 ，用二分法求 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为( )
B
A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25
[解析] 设 ，所以 ， ，因为 ，且 在 上单调递增，所以 在 内有零点，因为 ，所以 在 内有零点，所以方程 的根可以是0.635.故选B.
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 为连续函数且定义域为 ， ， ， ， ，所以根据函数零点存在性定理，可得其零点的初始区间为 .故选C.
（2）求函数 的负零点的近似值（精确到 ）.
解 由于 , ,故函数 的零点在区间 内.用二分法逐次计算,列表如下:
1
1.5
1.25
1.375
0.875
那么方程 的一个近似根（精确度为 ）可以为( )
B
A.1.3 B.1.32 C. D.1.25
[解析] 由 ， ，且 ，所以方程 的一个近似根在 内，结合选项，由 ，故 错误，B正确.故选B.
（2）[2023杭州期末] 用二分法判断方程 在区间 内的根（精确度 ）可以是( ) （参考数据： ， ）
跟踪训练2 [2023天津测试] 已知函数 的图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是( )
1
2
3
4
5
6
123.56
21.45
11.45
B
A.函数 在区间 上有3个零点B.函数 在区间 上至少有3个零点C.函数 在区间 上至多有3个零点D.函数 在区间 上无零点