Poisson分布与及其总体均数的估计_薛付忠标准版文档
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验 1 样本均数与总体均数的比较 1.1 直接概率法：
例题：某医院对164例萎缩性胃炎患者随访观察3年，记492人年，共发现3例 死于胃癌，当地同期一般人群的胃癌死亡率为70/10万。问萎缩性胃炎患者 的胃癌死亡率是否高于一般人群？
（X•= 0,服1,2,从…）Poisson分布资料的假设检验 服1从P样oiss本on分均布数资料与的假总设检体验均数的比较
服从Poisson分布资料的假设检验
该地人群1.鼻2咽癌正患病态率近的9似5％的法可：信区间为（45.
Xue Fuzhong
■PoiPsosoisn例s分on布题分及布：其的总概一体念均般：数人的估群计 中精神病的患病率为3‰，今调查近亲婚配关系的后代 服从2P5ois0s0on0分人布资，料发的假现设检精验神病患者123人，问近亲婚配的后代精神病的患病率是否
1.2 正态近似法：
（2）选定检验方法，计算统计量
可以证明：当Poisson分布总体均数 20 时，
U X ~N(0,1)
本例： 025 00.0 00 07 35
（3）确定P值，做出结论
U
X 0 0
5.5426
UU0.051.645 P0.05 按 0.05拒绝 H 0 ,接受 H 1 。
（1）建高立检于验一假设般，确人定群检验？水准 服从Poisson分布资料的总体计数的估计（其意义是总体率的估计）
第一种情（形1：）当两建样立本的检观察验单假位相设同，，且确定和 检均验大于水20时准，可以证明：
μ值越小，分布越偏，随着μ的增大，分布越趋于对称，当μ=20时，分布接近正态分布，当μ=50时，可以认为Poisson分布呈正态分布
• 服从Poisson分布资料的总体计数的估计（其意义是总体率的估计）
1 查表法
当样本计数X≤50时，用X值查附表Poisson分布μ的可信区间，可得总体均 数μ的95%或99%可信区间。
例题：随访观察某县100000人，2003年服毒自杀者死亡共15人，试推断该 县2003年度服毒自杀者死亡率的95％的可信区间？ 取查附表7得 95％的可信区间（8.4/10万，24.8/10万） 例题：抽取某桶装纯净水1ml，经细菌培养后，菌落计数为5个，试估计桶 装纯净水菌落数的95％的可信区间？ 取查附表7得 95％的可信区间（1.6， 11.7） （2， 12）
2
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的概念 ：
例 假定孕妇生三胞胎的概率为0.0001，求在10万次生育中，有5次生三胞胎 的概率（本例是为了计算方便而虚拟的情况）
按二项分布计算：
如果某事件的发生是完全随机的，则单位时间、单位空间内，某罕见事件发 生0次、1次、2次…的概率可用下式求出
Poisson分布。因此Poisson分布资料可利用可加性原理使μ≥50 ，然后用
正态近似法处理。 如果X1P（1）, X2P（2）,… XKP（K），那么X=X1+ X2+… +XK ， ＝ 1 ＋ 2 ＋ … ＋ k ,则XP（）。
9
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
服从Poisson分布资料的假设检验
6
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的性质 ：
1．Poisson分布是一种单参数的离散型分布，其参数为μ，它表示单位时
间或空间内某事件平均发生的次数，又称强度参数。
2．Poisson分布的方差σ2与均数μ相等，即 σ2=μ
3．Poisson分布是非对称性的，在μ不大时呈偏态分布，随着μ的增大 ，迅速接近正态分布。一般来说，当μ=20时，可以认为近似正态分布，
对甲乙两地进行2004年度食管癌死亡率调查甲地调查12万人全年食管癌死亡数为96人甲地调查9万人全年食管癌死亡数为91人问两地食管癌死亡率是否有差异
Poisson分布及其总体均数的估计
Xue Fuzhong
School of public health, Shandong University
1
Poisson分布及其总体均数的估计
17
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验
2 两样本均数的比较
2.1 正态近似法
18
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验
2 两样本均数的比较
2.1 正态近似法
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0:00.0007H1:0 0.05
12
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验 1 样本均数与总体均数的比较 1.1 直接概率法：
（2）计算累积概率，做出推断结论
13
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的应用 ：
5
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用条件 ：
2 两样本均数的比较 一般来说，当μ=20时，可以认为近似正态分布，Poisson分布资料可按正态分布处理。 （2）计算累积概率，做出推断结论 （1）建立检验假设，确定检验水准 例题：对甲乙两地进行2004年度食管癌死亡率调查，甲地调查12万人，全年食管癌死亡数为96人，甲地调查9万人，全年食管癌死亡 数为91人，问两地食管癌死亡率是否有差异？ 单位时间或空间内事件发生的次数。 该地人群鼻咽癌患病率的95％的可信区间为（45. 6．Poisson分布是二项分布的极限形式 二项分布中，当π很小而n很大，nπ→μ时，二项分布趋于Poisson分布。
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的总体计数的估计（其意义是总体率的估计） 2 正态近似法
当样本计数X＞50时，可按正态近似原理用下式求总体均数μ的95%或99%
可信区间。
X u X
例题：广东省某县疾病预防控制中心抽样调查242575人，发现鼻咽癌患 者123人，试估计该地人群鼻咽癌患病率的95％的可信区间？ =(110.4, 155.6) 该地人群鼻咽癌患病率的95％的可信区间为（45.5/10万, 64.1/10万）
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验 2 两样本均数的比较
2.1 正态近似法
第一种情形：当两样本的观察单位相同，且 X 1
，可以证明：
U X1X2 ~N(0,1) X1X2
和 X 2 均大于20时
例题：某市疾病预防控制中心进行了胃癌死亡回顾性调查，调查了男性 213000人，发现死于胃癌者170人，调查了女性212980人，发现死于胃癌 者85人。问该地男、女性胃癌死亡率有无差别？
• 服从Poisson分布资料的假设检验 1 样本均数与总体均数的比较 1.1 直接概率法：
（2）计算累积概率，做出推断结论
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ ： （2）最少为k次的概率P（X≥k）= P（k）+ P（k +1）+…
Poisson分布Po及i其s总s体o均n分数的布估计的应用
H: 0.003 N（μ, μ），按正态分布处理。
School of public healt0h, Shandong Un0iversity
H1: 0
0.05
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验
1 样本均数与总体均数的比较
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的性质 ：
5．Poisson分布的图形及其正态近似条件 已知μ，就可按公式计算得出 X= 0，1，2，…时的P（X）值，以X为横坐标，以P（X）为纵坐标作图，即
可绘出Poisson分布的图形。
结论：Poisson分布的形状取决于μ的大小。μ值越小，分布越偏，随着μ的增大， 分布越趋于对称，当μ=20时，分布接近正态分布，当μ=50时，可以认为Poisson分 布呈正态分布N（μ, μ），按正态分布处理。 8
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Poisson分布及其总体均数的估计
6．Poisson分布是二项分布的极限形式 二项分布中，当π很小而n很大，nπ→μ时，二项分布趋于Poisson分布。
2 两■样本均P数o的i比s较son分布的应用 ：
• School 服of p从ublicPhoeialsths, Sohnan分don布g U资nive料rsit的y 假设检验
1 样本均数与总体均数的比较
（2）2计算两累样积概本 检验法2或.F1ishe正r概率态法近似法
X 96/424n 4 7） 本例：
（2， 12）
（1）最多为k次的概率P（X≤k）=1P（0）+
P（1）+…+
1 P（k）
X29/133.03 n2 3
第二种情形：当两样本的观察单位不相同，需先用除法将单位化为相同
，即求出两样本观察单位相同时的均数 X 1 和 X 2
，并使
X1
和
X
均大于
2
20，此时有
U X1 X2 ~ N(0,1)
X1 X2
n1 n2
例题：对甲乙两地进行2004年度食管癌死亡率调查，甲地调查12万人，全 年食管癌死亡数为96人，甲地调查9万人，全年食管癌死亡数为91人，问 两地食管癌死亡率是否有差异？
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的性质 ：
6．Poisson分布是二项分布的极限形式 二项分布中，当π很小而n很大 ，nπ→μ时，二项分布趋于Poisson分布。
7．Poisson分布具有可加性 以较小的度量单位，观察某一现象的发生数时 ，若呈Poisson分布，则把若干小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈
■ 二项分布与Poisson分布比较 ：
U1.5779 （3）确定P值，做出结论
（1）建立检验假设，确定检验水准
（X= 0,1,2,…） Xue Fuzhong
UU0.051.96 P0.05 按 0.0不5 拒绝 H 0 。
第一一般种 来情说形，2.：当2当μ=两20样时本2，检的可观以验察认单法为位近或相似同正F，态i且分sh布e，和rP概ois均s率o大n分法于布20资时料，可可按以正证态明分：布处理。
Poisson分布资料可按正态分布处理。 4．Poisson分布的累计概率 常用的有左侧累计和右侧累计两种。单位 时间或空间内事件发生的次数。
（1）最多为k次的概率P（X≤k）= P（0）+ P（1）+…+ P（k） （2）最少为k次的概率P（X≥k）= P（k）+ P（k +1）+…
=1- P（X≤k-1） （X= 0,1,2,…） 7
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Poisson分布及其总体均数的估计 ■ 二项分布与Poisson分布比较 ：
21
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ 正态分布、二项分布与Poisson分布的关系 ：
22
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ 与POISSON分布违背的例子：
23
Thank you !!
24
p(X) e X
X!
X=0,1,2…
式中μ=nπ为Poisson分布的总体均数，X为单位时间或单位空间内某事件的 发生数，e为自然对数的底，约等于2.71828。
按Poisson分布计算：
3
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的概念 ：
4
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的概念 ：
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验 1 样本均数与总体均数的比较 1.1 直接概率法：
例题：某医院对164例萎缩性胃炎患者随访观察3年，记492人年，共发现3例 死于胃癌，当地同期一般人群的胃癌死亡率为70/10万。问萎缩性胃炎患者 的胃癌死亡率是否高于一般人群？
（X•= 0,服1,2,从…）Poisson分布资料的假设检验 服1从P样oiss本on分均布数资料与的假总设检体验均数的比较
服从Poisson分布资料的假设检验
该地人群1.鼻2咽癌正患病态率近的9似5％的法可：信区间为（45.
Xue Fuzhong
■PoiPsosoisn例s分on布题分及布：其的总概一体念均般：数人的估群计 中精神病的患病率为3‰，今调查近亲婚配关系的后代 服从2P5ois0s0on0分人布资，料发的假现设检精验神病患者123人，问近亲婚配的后代精神病的患病率是否
1.2 正态近似法：
（2）选定检验方法，计算统计量
可以证明：当Poisson分布总体均数 20 时，
U X ~N(0,1)
本例： 025 00.0 00 07 35
（3）确定P值，做出结论
U
X 0 0
5.5426
UU0.051.645 P0.05 按 0.05拒绝 H 0 ,接受 H 1 。
（1）建高立检于验一假设般，确人定群检验？水准 服从Poisson分布资料的总体计数的估计（其意义是总体率的估计）
第一种情（形1：）当两建样立本的检观察验单假位相设同，，且确定和 检均验大于水20时准，可以证明：
μ值越小，分布越偏，随着μ的增大，分布越趋于对称，当μ=20时，分布接近正态分布，当μ=50时，可以认为Poisson分布呈正态分布
• 服从Poisson分布资料的总体计数的估计（其意义是总体率的估计）
1 查表法
当样本计数X≤50时，用X值查附表Poisson分布μ的可信区间，可得总体均 数μ的95%或99%可信区间。
例题：随访观察某县100000人，2003年服毒自杀者死亡共15人，试推断该 县2003年度服毒自杀者死亡率的95％的可信区间？ 取查附表7得 95％的可信区间（8.4/10万，24.8/10万） 例题：抽取某桶装纯净水1ml，经细菌培养后，菌落计数为5个，试估计桶 装纯净水菌落数的95％的可信区间？ 取查附表7得 95％的可信区间（1.6， 11.7） （2， 12）
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的概念 ：
例 假定孕妇生三胞胎的概率为0.0001，求在10万次生育中，有5次生三胞胎 的概率（本例是为了计算方便而虚拟的情况）
按二项分布计算：
如果某事件的发生是完全随机的，则单位时间、单位空间内，某罕见事件发 生0次、1次、2次…的概率可用下式求出
Poisson分布。因此Poisson分布资料可利用可加性原理使μ≥50 ，然后用
正态近似法处理。 如果X1P（1）, X2P（2）,… XKP（K），那么X=X1+ X2+… +XK ， ＝ 1 ＋ 2 ＋ … ＋ k ,则XP（）。
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
服从Poisson分布资料的假设检验
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的性质 ：
1．Poisson分布是一种单参数的离散型分布，其参数为μ，它表示单位时
间或空间内某事件平均发生的次数，又称强度参数。
2．Poisson分布的方差σ2与均数μ相等，即 σ2=μ
3．Poisson分布是非对称性的，在μ不大时呈偏态分布，随着μ的增大 ，迅速接近正态分布。一般来说，当μ=20时，可以认为近似正态分布，
对甲乙两地进行2004年度食管癌死亡率调查甲地调查12万人全年食管癌死亡数为96人甲地调查9万人全年食管癌死亡数为91人问两地食管癌死亡率是否有差异
Poisson分布及其总体均数的估计
Xue Fuzhong
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Poisson分布及其总体均数的估计
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验
2 两样本均数的比较
2.1 正态近似法
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验
2 两样本均数的比较
2.1 正态近似法
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0:00.0007H1:0 0.05
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Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验 1 样本均数与总体均数的比较 1.1 直接概率法：
（2）计算累积概率，做出推断结论
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Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的应用 ：
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用条件 ：
2 两样本均数的比较 一般来说，当μ=20时，可以认为近似正态分布，Poisson分布资料可按正态分布处理。 （2）计算累积概率，做出推断结论 （1）建立检验假设，确定检验水准 例题：对甲乙两地进行2004年度食管癌死亡率调查，甲地调查12万人，全年食管癌死亡数为96人，甲地调查9万人，全年食管癌死亡 数为91人，问两地食管癌死亡率是否有差异？ 单位时间或空间内事件发生的次数。 该地人群鼻咽癌患病率的95％的可信区间为（45. 6．Poisson分布是二项分布的极限形式 二项分布中，当π很小而n很大，nπ→μ时，二项分布趋于Poisson分布。
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的总体计数的估计（其意义是总体率的估计） 2 正态近似法
当样本计数X＞50时，可按正态近似原理用下式求总体均数μ的95%或99%
可信区间。
X u X
例题：广东省某县疾病预防控制中心抽样调查242575人，发现鼻咽癌患 者123人，试估计该地人群鼻咽癌患病率的95％的可信区间？ =(110.4, 155.6) 该地人群鼻咽癌患病率的95％的可信区间为（45.5/10万, 64.1/10万）
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验 2 两样本均数的比较
2.1 正态近似法
第一种情形：当两样本的观察单位相同，且 X 1
，可以证明：
U X1X2 ~N(0,1) X1X2
和 X 2 均大于20时
例题：某市疾病预防控制中心进行了胃癌死亡回顾性调查，调查了男性 213000人，发现死于胃癌者170人，调查了女性212980人，发现死于胃癌 者85人。问该地男、女性胃癌死亡率有无差别？
• 服从Poisson分布资料的假设检验 1 样本均数与总体均数的比较 1.1 直接概率法：
（2）计算累积概率，做出推断结论
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ ： （2）最少为k次的概率P（X≥k）= P（k）+ P（k +1）+…
Poisson分布Po及i其s总s体o均n分数的布估计的应用
H: 0.003 N（μ, μ），按正态分布处理。
School of public healt0h, Shandong Un0iversity
H1: 0
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Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的应用 ：
• 服从Poisson分布资料的假设检验
1 样本均数与总体均数的比较
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的性质 ：
5．Poisson分布的图形及其正态近似条件 已知μ，就可按公式计算得出 X= 0，1，2，…时的P（X）值，以X为横坐标，以P（X）为纵坐标作图，即
可绘出Poisson分布的图形。
结论：Poisson分布的形状取决于μ的大小。μ值越小，分布越偏，随着μ的增大， 分布越趋于对称，当μ=20时，分布接近正态分布，当μ=50时，可以认为Poisson分 布呈正态分布N（μ, μ），按正态分布处理。 8
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Poisson分布及其总体均数的估计
6．Poisson分布是二项分布的极限形式 二项分布中，当π很小而n很大，nπ→μ时，二项分布趋于Poisson分布。
2 两■样本均P数o的i比s较son分布的应用 ：
• School 服of p从ublicPhoeialsths, Sohnan分don布g U资nive料rsit的y 假设检验
1 样本均数与总体均数的比较
（2）2计算两累样积概本 检验法2或.F1ishe正r概率态法近似法
X 96/424n 4 7） 本例：
（2， 12）
（1）最多为k次的概率P（X≤k）=1P（0）+
P（1）+…+
1 P（k）
X29/133.03 n2 3
第二种情形：当两样本的观察单位不相同，需先用除法将单位化为相同
，即求出两样本观察单位相同时的均数 X 1 和 X 2
，并使
X1
和
X
均大于
2
20，此时有
U X1 X2 ~ N(0,1)
X1 X2
n1 n2
例题：对甲乙两地进行2004年度食管癌死亡率调查，甲地调查12万人，全 年食管癌死亡数为96人，甲地调查9万人，全年食管癌死亡数为91人，问 两地食管癌死亡率是否有差异？
Poisson分布及其总体均数的估计
■ Poisson分布的性质 ：
6．Poisson分布是二项分布的极限形式 二项分布中，当π很小而n很大 ，nπ→μ时，二项分布趋于Poisson分布。
7．Poisson分布具有可加性 以较小的度量单位，观察某一现象的发生数时 ，若呈Poisson分布，则把若干小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈
■ 二项分布与Poisson分布比较 ：
U1.5779 （3）确定P值，做出结论
（1）建立检验假设，确定检验水准
（X= 0,1,2,…） Xue Fuzhong
UU0.051.96 P0.05 按 0.0不5 拒绝 H 0 。
第一一般种 来情说形，2.：当2当μ=两20样时本2，检的可观以验察认单法为位近或相似同正F，态i且分sh布e，和rP概ois均s率o大n分法于布20资时料，可可按以正证态明分：布处理。
Poisson分布资料可按正态分布处理。 4．Poisson分布的累计概率 常用的有左侧累计和右侧累计两种。单位 时间或空间内事件发生的次数。
（1）最多为k次的概率P（X≤k）= P（0）+ P（1）+…+ P（k） （2）最少为k次的概率P（X≥k）= P（k）+ P（k +1）+…
=1- P（X≤k-1） （X= 0,1,2,…） 7
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Poisson分布及其总体均数的估计 ■ 二项分布与Poisson分布比较 ：
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Poisson分布及其总体均数的估计 ■ 正态分布、二项分布与Poisson分布的关系 ：
22
Poisson分布及其总体均数的估计 ■ 与POISSON分布违背的例子：
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Thank you !!
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p(X) e X
X!
X=0,1,2…
式中μ=nπ为Poisson分布的总体均数，X为单位时间或单位空间内某事件的 发生数，e为自然对数的底，约等于2.71828。
按Poisson分布计算：
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Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的概念 ：
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Poisson分布及其总体均数的估计 ■ Poisson分布的概念 ：