人教B版高中数学必修五解三角形中的最值问题.docx

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解三角形中的最值问题
1、在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，求cos C 的最小值。

【解析】由余弦定理知2
14242)
(21
2cos 2222222
2
2
=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，
2、在ABC ∆中，60,3B AC ==，求2AB BC +的最大值。

3、在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ，且,sin 3cos 2sin a b A A B ≥+=。

（1）求角C 的大小；（2）求
a b
c
+的最大值。

解析：（1）由sin 3cos 2sin A A B +=得2sin 2sin 3A B π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则sin sin 3A B π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，因为,a b ≥则
A B ≥，所以3
A B π
π+
=-，故2,33
A B C ππ+=
=。

（2）由正弦定理及（1）得s i n s i n 2=s i n s i n =3s i n c o s 2s i n s i n 36
3a b A B A A A A A c C ππ++⎡
⎤⎛
⎫⎛
⎫=+++=
+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
所以当3
A π
=
时，
a b
c
+取得最大值2. 4、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
【答案】
5、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 解：
6、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足(2)a c BA BC cCB CA -⋅=⋅。

（1）求角B 的大小；（2）若||6BA BC -=
，求ABC ∆面积的最大值。

答案：（1）(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos ,A C B B C -=
2sin cos sin()A B C B =+，即2sin cos sin A B A =，所以2cos 2B =
，即4
B π
=。

（2）因为||6BA BC -=
，即||6CA =，即6b =，由余弦定理得
2
2
2
222(22)b a c ac ac ac ac =+-≥-=-，即3(22)ac ≤+
12323
sin 242
S ac B ac +=
=≤ 7、已知()
()2cos 23sin ,1,,cos a x x b y x =+=，且a ⫽b 。

（1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）记()f x 的最大值为M ，,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若2A f M ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且2a =，求bc 的最大值。

答案：（1）由a ⫽b 得2
2cos 23sin cos 0,x x x y +-=即
2
2cos 23sin cos cos 23sin 212sin 216y x x x x x x π⎛
⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭
所以()2sin 216f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，所以函数()f x 的最小正周期为π。

（2）由（1）易得3M =，于是有3,2A f M ⎛⎫==
⎪⎝⎭即2sin 136A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以sin 16A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，故3A π=。

由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-得2
2
42b c bc bc bc bc =+-≥-=解得4bc ≤
8、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，不等式2
cos 4sin 60x C x C ++≥对于一切实数x 恒成立。

（1）求角C 的最大值；（2）当角C 取得最大值时，若2a b +=，求c 的最大值。

答案：（1）因为max
2
cos 01cos ,16sin 24cos 0
23
C C C
C C π
>⎧⇒≥∴=
⎨∆=-≤⎩
（2）2
2
2
2cos ,c a b ab C =+-由（1）得2
2
2
()34312a b c a b ab +⎛⎫
=+-≥-= ⎪⎝⎭
，所以c 的最小值为1.。