三元轮换对称多项式的基本定理及其应用

三元轮换对称多项式的基本定理及其应用
林才雄;吴康
【摘要】对三元轮换对称多项式的基本定理进行严谨的数学证明,采取了数学归纳法和构造法,得出的主要结果及结论:1、突破了三元轮换对称多项式的基本定理的计算机算法的证明,通过数学归纳法和构造法给出了严谨的数学证明;2、初步给出了三元轮换对称多项式的基本定理在一类计算三元轮换对称多项式值的应用.【期刊名称】《汕头大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(030)001
【总页数】5页(P30-33,63)
【关键词】三元轮换对称多项式;构造法;数学归纳法
【作者】林才雄;吴康
【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州510631;华南师范大学数学科学学院,广东广州510631
【正文语种】中文
【中图分类】O122.1
我们知道关于n个变元x1，x2，…，xn，若记则称σ1，σ2，…，σn是关于n个变元x1，x2，…，xn的初等对称多项式.在高等数学里，关于对称多项式有一个非常重要的定理，就是对称多项式的基本定理，该定理说明了任何一个对称多项式都可以唯一的表示成初等对称多项式的多项式.
那么对于轮换对称多项式，是否也跟对称多项式一样，存在这样的性质呢？在参考
文献[2-4]中提出了猜想，即在轮换对称多项式中，对称多项式基本定理还是适用的，只不过需要引入一些轮换对称式进行扩充.
本文对三元轮换对称多项式进行了研究，给出了关于三元轮换对称多项式的基本定理的纯数学证明及其在计算三元轮换对称多项式值的初步应用.
定义1（三元轮换对称多项式）若关于变元x，y，z的多项式f（x，y，z）是数环R上的一个三元多项式，且满足关系f（x，y，z）＝f（y，z，x）=f（z，x，y），则称多项式f（x，y，z）是关于变元x，y，z的三元轮换对称多项式.
例如，f（x，y，z）=x2y+y2z+z2x是整数环上的一个三元轮换对称多项式.
为了方便，下面我们用符号来表示轮换对称和，例如，
定理1[1]（对称多项式基本定理）数环R上的每一个n元对称多项式f（x1，
x2，…，xn）都可以表示成初等对称多项式σ1，σ2，…，σn的系数在R中的多
项式，并且这种表示法是唯一的.
定理2（三元轮换对称多项式基本定理）关于变元x，y，z在数环R上的任一三
元轮换对称多项式f（x，y，z），都可以表示成三元初等对称多项式σ1，σ2，
σ3外加一个轮换对称式的系数在R中的多项式，即可以用
表示出来.我们称（*）式为三元初等轮换对称式.
证明：我们对f（x，y，z）的次数n进行数学归纳法.
（1）当n＝1时，，则令g（σ1，σ2，σ3，σ31）=aσ1即可；
当n＝2时，，则令即可；
当n＝3时，
则令
即可；
（2）假设命题对f（x，y，z）的次数n≤k-1，k≥4，k∈N时成立，则当次数为
n=k时，
设多项式f（x，y，z）按字典排序法的最前项是，则α1+α2+α3=k，且
α1≥α2≥α3.
不妨假定f（x，y，z）只含有且α1≥α2≥α3，因为
其中都是对称多项式，所以由对称多项式的基本定理可得，存在一个数环R上的
多项式g（x，y，z），使得
所以，有，因此，不失一般性的，可以假定，f（x，y，z）中不含，而只含有，且α1≥α2≥α3.
下面，我们分两种情况来讨论：
①若α1-α2≥α2-α3，则令
此时有，ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）的最前项为
②若α1-α2＜α2-α3，则令
此时有，ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）的最前项为
故总有f1（x，y，z）=f（x，y，z）-ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）的最前项被消去，同样地，我们对多项式f1（x，y，z）继续上述步骤，则经过有限步之后，存在某个多项式fm（x，y，z）=fm-1（x，y，z）-ρm（σ1，σ2，σ3，σ31），
m∈N+是k-1次的，于是，由归纳假设可得，存在多项式h（x，y，z，u），使得
所以，f（x，y，z）表示成关于σ1，σ2，σ3，σ31的多项式.即命题对n=k时也
成立.
故根据①、②，由数学归纳法，可知：
关于变元x，y，z在数环R上的任一三元轮换对称多项式f（x，y，z），都可以
表示成三元初等对称多项式σ1，σ2，σ3外加一个轮换对称式的系数在R中的多
项式，即可以用表示出来.
例1、将f（x，y，z）=x13x2+x23x3+x33x1用表示出来.
解：由题设知，α1＝3，α2＝1，α3＝0，∵α1-α2＞α2-α3故令ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）＝σ1σ3，则
对于，令ρ2（σ1，σ2，σ3，σ31）＝σ1σ3，易得；
对于，令ρ3（σ1，σ2，σ3，σ31）＝σ22，易得；
于是f（x1，x2，x3）=f1（x1，x2，x3）+ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）＝
σ1σ31+σ1σ3-σ22.
例2、设x3-2x2+x-3=0的三个根分别为x1，x2，x3，求值：
（1）f（x1，x2，x3）=x12x2+x22x3+x32x1；
（2）f（x1，x2，x3）=x13x2+x23x3+x33x1；
（3）.
解：由题设可得，，
（1）显然，，
构造，则有
于是由韦达定理，可解得，即.
（2）由（1）可知，由例1知，
（3）因为
由（1）可知，有，
因此可得
【相关文献】
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