数学学案：不等式的性质

数学人教B必修5第三章3.1。

2 不等式的性质
1．掌握不等式的性质．
2．能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式（组)和不等式证明．
不等式的性质
(1）对称性：a＞b⇔______。

(2）传递性：a＞b，b＞c⇒______。

（3)加法法则：a＞b⇔________。

推论1 a＋b＞c⇒a＞______；
推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c＞______。

（4)乘法法则：a＞b，c＞0⇒______；a＞b，c＜0⇒______。

推论1 a＞b＞0，c＞d＞0⇒______；
推论2 a＞b＞0⇒a n＞b n（n∈N＋，n＞1)；
推论3 a＞b＞0⇒n
a＞错误!（n∈N＋，n＞1）．
在不等式的基本性质中，乘法法则的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除以）一个数时,必须能确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定．
【做一做1】已知a＞b,则下列各式中正确的个数是（）．
①ac＜bc；②ac＞bc；③(a－b)c＞0。

A．0 B．1 C．2 D．3
【做一做2】已知a＞b，c＞d，e＞0，则a＋ce______b＋de(填“＞”或“＜”）．
【做一做3】已知a＞b＞0,c＜0，则c
a________错误!(填“＞"或
“＜”）．
一、不等式的性质的应用误区
剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：
（1）a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式;
(2）a＞b＞0,且c＞d＞0⇒ac＞bd，已知的两个不等式不仅要求同向,而且不等式的两边必须为正值；
（3)a＞b＞0⇒a n＞b n（n∈N＋，n＞1)及a＞b＞0⇒错误!＞错误!（n ∈N＋，n＞1），成立的条件是已知不等式的两边为正值,并且n∈N＋，n＞1,否则结论就不成立．假设去掉b＞0这个条件,取a＝3，b＝－4,n ＝2，就会出现32＞(－4）2的错误结论；又若去掉了“n∈N＋，n＞1”这个条件，取a＝3，b＝2，n＝－1，又会出现3－1＞2－1，即错误!＞错误!的错误结论．
对于性质4的推论2和推论3，在n取正奇数时,可放宽条件，命题仍成立，即有：a＞b⇒a n＞b n(n＝2k＋1，k∈N)，a＞b⇒错误!＞错误!（n＝2k＋1,k∈N)．
（1)性质中的a和b可以是实数，也可以是代数式．
(2）性质3是不等式移项法则的基础．
（3）性质3的推论2是同向不等式相加法则的依据．
（4)若a＞b且ab＞0，则错误!＜错误!。

若a＞b，且ab＜0，则错误!＞
错误!，即“同号取倒数，方向改变,异号取倒数，方向不变”．（5）若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d。

（6)若a＞b＞0，c＞d＞0，则错误!＞错误!。

二、教材中的“？”
在解一元一次不等式3x－2≤5x＋1的过程中,应用了不等式的哪些性质?
剖析：
题型一判断真假
【例1】下列命题中，一定正确的是( ）．
A．若a＞b，且错误!＞错误!，则a＞0，b＜0
B．若a＞b，b≠0,则错误!＞1
C．若a＞b，且a＋c＞b＋d,则c＞d
D．若a＞b，且ac＞bd，则c＞d
反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质,解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单，便于验证计算．
题型二应用不等式的性质证明不等式
【例2】已知a，b为正实数，求证：错误!＋错误!≥错误!＋错误!.
分析:针对题目特点，可考虑两种方法:一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变形这一步最为关键,不管用何种方法变形，一定要向有利于判定差的符号的方向进行,另一种是先平方，再根据两式特点变形比较大小．
反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法,其步骤为：作差(或n次方作差）——变形——确定符号—-得出结论．其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，证题的思路体现了数学中的转化思想．这里,关键的步骤是对差式的变形．
题型三不等式性质的实际应用
【例3】建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大,住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b,根据题意
知a＜b且a
b≥10%，然后设同时增加的面积为m，得到a＋m＜b＋m，用比较法判断错误!与错误!的大小即可．
反思：一般地，设a,b为正实数，且a＜b，m＞0，则错误!＞错误!.利用这个不等式,可以解释很多现象，比如b克糖水中有a克糖（b ＞a＞0）,若再添上m克糖（m＞0且未达到饱和状态），则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比0。

618，从而带给观众更美的享受．
题型四易错辨析
【例4】已知－错误!＜β＜α＜错误!，求2α－β的取值范围．
错解：∵－错误!＜α＜错误!,∴－π＜2α＜π。

又∵－π
2
＜β＜错误!,∴－错误!＜－β＜错误!。

∴－错误!＜2α－β＜错误!.
错因分析：2α－β的取值范围可看做α＋（α－β）的取值范围，因为忽视了不等式自身的隐含条件β＜α⇔α－β＞0而导致扩大了取值范围．
1a≥b可以推出（)．
A．错误!≥错误!B．ac2≥bc2
C．错误!＞错误!D．（ac）2≥（bc）2
2若错误!＜错误!＜0，则下列结论不正确的是( )．
A．a2＜b2B．ab＜b2
C．错误!＋错误!＞2 D．｜a|－|b|＝|a－b｜
3已知a＜0，－1＜b＜0，则下列不等式成立的是( )．
A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a
4已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为
________．
5实数a，b，c，d满足三个条件：①d＞c，②a＋b＝c＋d，③a ＋d＜b＋c，则将a，b，c，d按照从大到小的次序排列为________．答案：
基础知识·梳理
（1)b＜a(2)a＞c(3）a＋c＞b＋c c－b b＋d
(4）ac＞bc ac＜bc ac＞bd
【做一做1】A
【做一做2】＞
【做一做3】＞
典型例题·领悟
【例1】A 对选项A,∵错误!＞错误!，∴错误!＞0.
又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0，∴a＞0，b＜0；
对选项B，当a＞0，b＜0时，有错误!＜1,故B错；
对选项C,当a＝10，b＝2，c＝1,d＝3时，虽然10＋1＞2＋3，但1＜3，故C错；
对选项D，当a＝－1，b＝－2，c＝－1,d＝3时，
有（－1）×(－1)＞（－2)×3,但－1＜3，故D错．
【例2】证明：证法一：（错误!＋错误!)－(错误!＋错误!）＝(错误!－错误!)
＋（错误!－错误!)＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!.
因为a，b为正实数,所以错误!＋错误!＞0，错误!＞0，（错误!－错误!)2≥0.
于是有错误!≥0。

当且仅当a＝b时,等号成立．
所以错误!＋错误!≥错误!＋错误!，当且仅当a＝b时，等号成立．
证法二：因为（错误!＋错误!）2＝错误!＋错误!＋2错误!，(错误!＋错误!)2＝a ＋b＋2错误!，所以(错误!＋错误!)2－（错误!＋错误!）2＝错误!＋错误!＋2错误!－(a ＋b＋2错误!)＝错误!＝错误!，因为a，b为正实数，所以错误!≥0，所以(错误!＋错误!）2≥（错误!＋错误!）2。

又因为错误!＋错误!＞0,错误!＋错误!＞0,所以错误!＋错误!≥错误!＋错误!，当且仅当a＝b时，等号成立．
【例3】解：变好了．理由:设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m,根据问题的要求可知a＜b且错误!≥10%。

由于错误!－错误!＝错误!＞0，
于是a＋m
b＋m＞错误!。

又错误!≥10%，
因此错误!＞错误!≥10%.
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．
【例4】正解：∵－π
2
＜α＜错误!，－错误!＜β＜错误!，
∴－错误!＜－β＜错误!。

∴－π＜α－β＜π。

又∵β＜α，∴α－β＞0，
∴0＜α－β＜π，
∴－错误!＜2α－β＜错误!π.
随堂练习·巩固
1．B ∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.
2．D 可取特殊值，令a＝－1，b＝－2代入验证知选项D不正确．
3．D 本题可以根据不等式的性质来解，由于－1＜b＜0，所以0＜b2＜1。

所以a＜ab2＜0，且ab＞0，易得答案D。

本题也可以
根据a，b的取值范围取特殊值，比如令a＝－1，b＝－1
2
，也容易得
到正确答案．
4．正∵a＋b＋c＝0，
∴b＝－(a＋c),
∴b2＝a2＋c2＋2ac.
∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝（a－c)2。

∵a＞c,∴（a－c）2＞0.
∴b2－4ac＞0，即b2－4ac的符号为正．
5．b＞d＞c＞a由③可得，d－b＜c－a；由②可得,c－a＝b－d,于是有d－b＜b－d，a－c＜c－a,∴d＜b，a＜c.再由①d＞c可得：b ＞d＞c＞a。