2022-2023学年福建省莆田市涵江区九年级(上)期中数学试卷+答案解析

2022-2023学年福建省莆田市涵江区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则的余角的度数是()
A. B. C. D.
2.不等式组的解集在数轴上表示为()
A. B.
C. D.
3.反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是()
A. B. C. D.无法确定
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.平行四边形
B.圆
C.正五边形
D.等腰三角形
5.的算术平方根是()
A.8
B.
C.
D.
6.二次根式有意义，则x的取值范围()
A. B. C. D.
7.如图，已知A点坐标为，直线与y轴交于点B，连接AB，，则b的值为()
A.3
B.
C.4
D.
8.十二边形的外角和是()
A. B. C. D.
9.已知二次函数的图象如图所示，且关于x的一元二次方程
有实数根，有下列结论：①；②；③
其中，正确结论的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
10.如图，四边形ABCD是矩形，AB：：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在
点E处，连接DE，则DE：()
A.1：3
B.3：8
C.8：27
D.7：25
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.分解因式：______.
12.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约51000000000千克，这个数据用科学记数法表示为______千克．
13.如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，在对角线AC上有一点P，则
的最小值是______.
14.如图，在中，，，点D是斜边AB的中点，点
G为的重心，，则______.
15.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点，，
，…都是“梦之点”．已知关于t的方程的两根分别为2，2，若二次函数
是常数，的图象上存在两个不同的“梦之点”，则“梦之点”是______.
16.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点
上，连结
的长为______；
连结CD与AB相交于点P，则的值是______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题8分
化简：
18.本小题8分
先化简，再求值：，其中
19.本小题8分
如图，E是平行四边形ABCD边DC上一点，请你只用一把没有刻度的直尺，在AB边上确定一点F，使得画出示意图，并加以证明．
20.本小题8分
四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率；
随机地从盒子里抽取一张，将数字记为x，不放回再抽取第二张，将数字记为y，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点在函数图象上的概率．
21.本小题8分
列方程或方程组解应用题：
为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克．已知每页薄型纸比厚型纸
轻克，求例子中的A4厚型纸每页的质量．墨的质量忽略不计
22.本小题10分
如图，四边形ABCD是平行四边形，点D在x轴的负半轴上，，，且，反比例函数
的图象经过点
求k的值；
把沿经过A、C两点的直线折叠到第一象限，点D的对应点为，请判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
23.本小题10分
如图所示，小明在大楼30米高即米的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为，山脚B处的俯角为，已知该山坡的坡度即为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且
山坡坡角即的度数等于______度；
求山坡A、B两点间的距离结果精确到米参考数据：，
24.本小题12分
如图，已知中，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持，再过点N作AC的
垂线交AB于点F，连接MF，将关于直线NF对称后得到，已知，，
设点M运动时间为，与重叠部分的面积为
在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
当y取最大值时，求的值．
25.本小题14分
在直角坐标系xOy中，已知抛物线
求抛物线与x轴的交点坐标；
记抛物线与x轴的右交点为B，点在抛物线上，P、Q两质点分别从A、B两点同时出发，P质点沿AO方向，行驶速度为a个单位/秒、Q质点沿BO方向，行驶速度为2个单位/秒．
①1秒后，P质点到达M点，Q质点到达N点．若要使与相似，P质点的行驶速度可以是多少？
②当P质点到达直线OA与抛物线的另一个交点C时，两质点停止行驶．若P质点的行驶速度与Q质点的相同，
记线段MN的平方为点M、N的超级距离、t为行驶时间．当t等于多少秒时，质点P、Q之间的超级距离最小．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，
的余角的度数
故选：
根据余角的定义作答．
此题考查了余角的定义，解决本题的关键是如果两个角的和是，那么这两个角互余．
2.【答案】A
【解析】解：，由①得，；由②得，，
故此不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：反比例函数图象上有三个点，，，，，
故选：
利用反比例函数的性质进而分析得出，，的大小关系．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数的性质是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、补是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5.【答案】C
【解析】解：，
的算术平方根是：
故选：
首先得出，进而利用算术平方根的定义得出答案．
此题主要考查了算术平方根的定义，正确算术平方根与平方根的区别是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意得，，
即，
故选：
根据分式有意义，二次根式有意义的条件进行解答即可．
本题考查二次根式、分式有意义的条件，掌握“分式的分母不能为0，二次根式的被开方数为非负数”是正确解答的前提．
7.【答案】D
【解析】解：令直线与x轴交于点C，如图所示．
令中，则，
；
令中，则，
，
，
点，
，
故选
令直线与x轴交于点C，根据直线的解析式可求出点B、C的坐标，进而得出，再通过角的计算得出，根据点A的坐标利用特殊角的三角函数值即可得出b的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及特殊角的三角函数值，解题的关键是求出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据特殊角的三角函数值以及角的计算找出角的度数，再通过解直角三角形求出边的长度是关键．
8.【答案】D
【解析】解：多边形的外角和为
十二边形的外角和是
故选：
根据多边形的外角和为进行解答即可．
本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①抛物线与x轴两个交点，，①正确；
②开口向下，，对称轴在y轴的右侧，，抛物线与y轴交于正半轴，，，②错误；
③，，，③错误，
故选：
根据抛物线与x轴的交点情况，确定的符号，根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据时，方程有两个相等的实数根，确定m的范围．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
10.【答案】D
【解析】解：从D，E处向AC作高DF，EH，垂足分别为F、
设，，则
由的面积，得；
根据勾股定理得
所以
所以
DE：：
故选
根据题意可得四边形ACED是等腰梯形，即求上底与下底的比值，作高求解．
本题的关键是利用折叠的特点及三角形面积的计算，求得EH，CH的长，从而求得DE的长，然后求比值．
11.【答案】
【解析】解：，
，
先提取公因式2x，然后再运用完全平方式分解因式即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟记完全平方公式结构是解题的关键，要注意分解因式要彻底．12.【答案】
【解析】解：将51000000000万用科学记数法表示为：
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】
【解析】解：连接BE，
四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，
点B、D关于直线AC对称，，
即是的最小值，
故答案为：
连接BE，甴正方形的性质可知点B、D关于直线AC对称，故BE即是的最小值，根据勾股定理即可得出BE的长．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：点G为的重心，，
，
，点D是斜边AB的中点，
，
，
，
故答案为：
根据三角形的重心性质求得
CD的长度，再由直角三角形斜边上的中线性质求得AB，由勾股定理求得
本题考查了三角形的重心定理，直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，根据重心定理求得CD是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：二次函数是常数，的图象上存在两个不同的“梦之点”，令，
则，
整理得，，
关于t的方程的两根分别为2，2，
，；
“梦之点”是
故答案为：
函数是常数，的图象上存在“梦之点”，则有，整理得
，再根据关于t的方程的两根分别为2，2，得出，，即可求得“梦之点”．
本题是二次函数的综合题，考查了中心对称的性质，“梦之点”的概念，横坐标与纵坐标相等是解题的关键．
16.【答案】；2
【解析】解：如图，根据勾股定理得
故答案是：；
如图，连接BE，
四边形BCED是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
∽，
：：：
3，
：：
2，
，
在中，，
，
故答案为：
根据勾股定理来求AB的长度；
首先连接BE，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：：3，即可得PF：：：2，在中，即可求得的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
17.【答案】解：原式
【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
18.【答案】解：原式
当时，原式
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【答案】解：如图，点F即为所求；
证明：在平行四边形ABCD中，
，
，
，，
≌，
【解析】连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AB于点F，点F即为所求；
证明≌，可得结论．
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：抽到数字3的概率是；
列表如下：
1234
1---
2---
3---
4---
所有等可能的情况数有12种，其中点在函数图象上的有2种，
则点在函数图象上的概率是
【解析】求出四张卡片中抽出一张为3的概率即可；
列表得出所有等可能的情况数，得出点的坐标，判断在函数图象上的情况数，再根据概率公式即
可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，反比例图象上点的坐标特征，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：设例子中的A4厚型纸每页的质量为x克，
由题意，得，
解得：
经检验，为原方程的解，且符合题意．
答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克．
【解析】首先设例子中的A4厚型纸每页的质量为x克，则每页薄型纸克，由题意可得：400克的A4厚型纸单面打印的页数克
A4薄型纸双面打印的页数，根据等量关系列出方程，再解即可．
此题主要分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
22.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形
，，
，，
，，
，
，
，
反比例函数的图象经过点B，
；
在反比例函数的图象上，
理由：，，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
由折叠得：，，
，
，
当时，，
点是在反比例函数的图象上．
【解析】由平行四边形的性质得出，，利用勾股定理求得，进而
求得，得到，进而即可求得；
求得的坐标为，代入反比例函数的解析式即可判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，一次函数图象与几何变换，勾股定理的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点B、的坐标是解题的关键．
23.【答案】解：；
由题意得，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
答：山坡
A、B两点间的距离是米．
【解析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．过A作于D，根据已知条件即可得到结论；
由题意得，，，推出是等腰直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：过A作于D，
山坡的坡度即为1：，
，
故答案为30；
见答案.
24.【答案】解：能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：
连接ME交NF于O，如图1所示：
，，，
，，
，∽，
，
，
由对称的性质得：，，，四边形MNEF是正方形，
，
，
解得：；
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；
分两种情况：
①当时，，
即；
②当时，如图2所示：作于H，
由得：，，，
，
，
即；
当点E在AB边上时，y取最大值，
连接EM，如图3所示：
则，，，
，
，
解得：，
，，
，，
，
作于D，则，是等腰直角三角形，
，，
在中，
【解析】由已知得出，，得出，由平行线证出∽，
得出对应边成比例求出，由对称的性质得出，，，由正方形的性质得出，得出方程，解方程即可；
分两种情况：①当时，由三角形面积得出；
②当时，作于H，由得：，，，得出
，由三角形面积得出；
当点
E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则，，，得出方程，解方程求出，，得出，，因此，
作于D，由勾股定理求出，求出，由等腰直角三
角形的性质和勾股定理得出，在中，由三角函数定义即可求出的值．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
25.【答案】解：，
抛物线与x轴的交点为，，
①，，
若要使与相似，只有一种可能，就是时，
此时，，
，
②由知，
，
，OA的解析式为：，，
联立方程组：，解得：或，
，
，
，
①当时，P在OA上，如图1，
作于H，则，，，，，，，
，
当时，最小值为16，
②当时，P在OC上，如图2，
作轴于点G，则，，，，，
，
当，最小值为12，
综上所述，当时，质点
P、Q之间的超级距离最小，最小值为
【解析】将解析式写成交点式，即可直接得出交点坐标；
若要使与相似，即时，利用线段比例关系算出AP长度，就可求出速度．由于点P可以在OA上，也可以在OC上，故分两个时间段分别表示出，配方求出最小值．注意，在两个范围均求出一个最小值，取最小的一个作为最终答案．
本题考查了二次函数的交点式、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数、勾股定理，配方法求二次函数最值等重要知识点，难度中等，注意分类讨论思想的应用．。