2019届四川省棠湖中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2019届四川省棠湖中学高三上学期第三次月考数学（理）试
题
一、单选题
1．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】
由z（1﹣i）=2，得z=，
∴．
则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知集合，集合，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，所以
，选A.
3．角的终边经过点，且，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得，再根据正切函数的定义即可求得结果．
【详解】
∵角的终边经过点，且，
∴，则，故选C．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角的终边经过点（异与原点），则，，.
4．已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
数列单调递增，可得的范围．由“”可得：，可得的范围，即可判断出关系.
【详解】
数列单调递增，可得：，化为：，
∴．
由“”可得：，可得：．
∴“”是“数列单调递增”的充要条件，故选C．
【点睛】
本题考查了数列的单调性、不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，数列是特殊的函数，其特殊之处在于定义域为且，属于中档题；如
果既有“”，又有“”，则称条件是成立的充要条件，或称条件是成立的充要条件，记作“”，与互为充要条件．
5．若当时,函数取得最大值,则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
函数解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.
【详解】
，其中,
当，即时，取得最大值5 ,
，
则，故选B.
【点睛】
此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.
6．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、
立春、春分日影长之和为尺,前九个节气日影长之和为尺,则小满日影长为( )
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】B
【解析】
设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则===85.5，所以
=9.5，由题知==31.5，所以=10.5，所以公差=−1，所以
==2.5，故选B．
7．函数的图象大致为
A．B．C．
D．
【答案】C
【解析】
根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.
【详解】
函数是偶函数，排除选项；
当时，函数，可得，
当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
8．已知向量满足，，若与的夹角为，则的值为
A．2 B．C．1 D．
【解析】
由可知两向量垂直，根据向量加法和减法的几何意义可知.再根据向量的夹角公式，列方程，可求得的值.
【详解】
由可知两向量垂直，根据向量加法和减法的几何意义可知.根
据夹角公式有，化简得，再由
，解得，故选A.
【点睛】
本小题主要考查两个向量加法和减法的几何意义，考查两个向量的数量积运算，考查计算能力，属于中档题.两个向量加法的几何意义是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，两个向量减法的几何意义是以这两个向量为两边的三角形的第三边.向量运算时要注意夹角的大小.
9．已知函数,则=
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
构造函数，证明它是奇函数.而
，即求的值.
【详解】
构造函数，
，故为奇函数.而
.计算，所以所求式子的值为.
【点睛】
本小题考查函数的奇偶性，考查一个函数的解析式有部分为奇函数的函数求值问题，属
10．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是
A．(3.5，＋∞) B．(1，＋∞) C．(4，＋∞) D．(4.5，＋∞)
【答案】B
【解析】
令，转化为，即与直线的交点.根据同底的指数函数与对数函数互为相反数，图像关于对称，结合图像，可判断
得，然后化简，展开后利用基本不等式可求得最小值及取值范围.
【详解】
令，转化为，即与直线的交
点.根据同底的指数函数与对数函数互为相反数，图像关于对称.画出图像如下图所
示，由图可知，，故
.故选B.
【点睛】
本小题主要考查函数零点问题的研究方法，考查指数函数和对数函数互为反函数，并且
考查了互为反函数的函数图像关于
对称的特点.同底的指数函数
，与对数函数
互为反函数，图像关于
对称.数形结合的数学思想方法是解决本题的关键点.
11．
已知直线0l y m ++=与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右支交于,M N
两点，点M 在第一象限，若点Q 满足0OM OQ +=（其中O 为坐标原点），且
030MNQ ∠=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ． 1
2
y x =± B ． y x =± C ． 2y x =± D ．
y = 【答案】B
【解析】设()11,M x y ， ()22,N x y ，则22
1122
2
2
22
22
1{ 1x y a b x y a b -=-=①②. ∴-①②得2222121222x x y y a b --=，即22
2
1222
212y y b x x a
-=-. ∵点Q 满足0OM OQ +
= ∴()11,Q x y --
∴12
12
MN y y k x x -=
=-∵0
30MNQ ∠=
∴1212QN y y k x x +=
=+ ∴22
121212
22
121212
1MN QN
y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-，即221b a = ∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线方程为b
y x a =±
∴双曲线C 的渐近线方程为y x =± 故选B. 12
．已知
，
，若存在
，
，使得
，则称
函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点2，
故.由题意知，即，由题意，函数在内存在零点，由
，得，所以，记，则
，所以当时，，函数单调递增；当
时，，函数单调递减.所以.而，，所
以，所以的取值范围为.故选B.
点睛：本题通过新定义满足“度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题
转化为，即求函数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.
二、填空题
13．展开式中的项的系数为__________．
【答案】40
【解析】
的通项为，令，求得展开式中的项的系数，从而可得结果.
【详解】
的通项为，
令，
展开式中的项的系数为
，
即展开式中的项的系数为40，故答案为40.
【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的
系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
14．曲线在点处的切线与直线垂直,则实数____________.
【答案】
【解析】 【详解】
曲线在点处的切线与直线垂直，
所以切线斜率为1，
，
，
，解得
，故答案为1.
【点睛】
本题主要考查利用导数求切线斜率，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜
率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点
求斜率,即求该点处的导数
；(2) 己知斜率求切点
即解方程
；(3) 巳知切线过某点
(不是切点) 求切点, 设出切点
利用
求解.
15．在平面四边形中，
，
，
，
，则
的最小值为
__________．
【答案】
【解析】分析：作出图形，以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．详解：设，在中，由正弦定理，得
，即，
即，
由余弦定理，得；
在中，由余弦定理，得
，
，其中，
则，即的最小值为．
点睛：（1）解决本题的关键是合理选择为自变量，再在和中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；
（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：
，其中．
16．函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：求出函数的导数，通过题中所给的大的范围，可以确定函数在相应区间上的单调性，求出函数的最值，得到关于的不等式，从而求出的范围.
详解：，依题意，
时，成立，
已知，则，
所以在上单调递减，而在上单调递增，
所以，，
所以有，得，故的取值范围是.
点睛：该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围问题，在解题的过程中，需要根据题意向最值靠拢，结合导数研究函数的单调性，从而求得函数相应的最值，求得结果.
三、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）设公差为，由，可得解得，，
从而可得结果；（2）由（1），，则有，则
，利用裂项相消法求解即可.
【详解】
（1）设公差为d，由题解得，．
所以．
（2） 由（1），，则有．
则．
所以
．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难
点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）
； （3）；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问
题，导致计算结果错误.
18．从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位： kg ）数据绘制成频率分布直方图，如图所示.
（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）； （2）若要从体重在[)60,70， [
)70,80内的两组男生中，用分层抽样的方法选取5人，再从这5人中随机抽取3人，记体重在[
)60,70内的人数为ξ，求其分布列和数学期望
()E ξ.
【答案】（1）64.5；（2）1.8
【解析】试题分析：（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均体重，（2）先确定各区间人数，再确定随机变量，根据组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
试题解析：(1)依频率分布直方图得各组的频率依次为： 0.05,0.35,0.30,0.20,0.10 ，故
估
计
100
名
学
生
的
平
均
体
重
约
为
:
450.05550.35650.30750.20850.1064.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
(2)由(1)及已知可得：体重在[)[
)60,707080及，的男生分别为： 0.30100=30
⨯（人） 0.20100=20⨯（人）从中用分层抽样的方法选5人，则体重在[)60,70内的应选3人，
体重在[)70,80内的应选2人，从而ξ的可能取值为1，2，3且得： ()1
3353
110C P C ξ===
()122335325C C P C ξ=== ()33351
310
C P C ξ===
其分布列为：
故得： ()331
123 1.810510
E ξ=⨯+⨯+⨯= 19．如图,矩形
和菱形
所在的平面相互垂直,
,为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)．
【解析】
(1)由矩形的性质推导出,由面面垂直的性质可得平面,再求出
,根据菱形的性质可得,即，由此能证明平面平面；(2)以为原点，为轴，为轴，为轴,建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出二面角的余弦值.
【详解】
(Ⅰ)∵矩形和菱形所在的平面相互垂直, ∴,
∵矩形菱形, ∴平面,
∵平面, ∴,
∵菱形中,,为的中点．∴,即
∵, ∴平面．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知两两垂直,以A为原点,AG为x轴,AF为y轴,AD为z轴,建立空间
直角坐标系,设,则,故,,,,
则,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
设平面的法向量,
则,取,得,
设二面角的平面角为,则,
易知为钝角,∴二面角的余弦值为
【点睛】
本题主要考查线面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20．直线与椭圆交于，两点，已知，
，若椭圆的离心率，又经过点，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）定值1.
【解析】
（1）将点代入椭圆方程，结合双曲线的离心率列方程，求得的值，即求得椭圆方程.（2）当直线斜率不存在时，求得三角形的面积为定值.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，代入，化简.然后通过计算三角形的面积，由此判断三角形的面积为定值.
【详解】
（1）∵∴
∴椭圆的方程为
（2）①当直线斜率不存在时，即，
由已知，得
又在椭圆上，所以
,三角形的面积为定值．
②当直线斜率存在时：设的方程为
必须即得到，
∵，∴
代入整理得：
所以三角形的面积为定值．
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程参数的求法，考查直线与椭圆的位置关系，以及两个向量垂直的数量表示.有一定运算能力的要求，属于难题.
21．已知函数（）．
（1）为的导函数，讨论的零点个数；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)先对原函数求导，从而判断单调性，再分类讨论即可得到的零点个数；
(2)设，求的最值，再转化为在上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可.
详解：（1），，
，，且当时，，，所以；
当时，，，所以．
于是在递减，在递增，故，
所以①时，因为，所以无零点；
②时，，有唯一零点；
③时，，
取，，则，，
于是在和内各有一个零点，从而有两个零点．
（2）令，，
，，
．
①当时，由（1）知，，所以在上递增，知，则在上递增，所以，符合题意；
②当时，据（1）知在上递增且存在零点，当时，
所以在上递减，又，所以在上递减，则，
不符合题意．
综上，．
点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，在解题的过程中，需要对求导公式熟练掌握，要理解函数的零点的概念，通过函数图像的走向，借助于最值的符号得到零点的个数，需要对参数进行讨论，再者就是有关不等式恒成立问题，大多采用分离参数，构造新函数，利用最值得到结果，无论求什么，都需要时刻记着先保证函数的生存权，即定义域优先.
22．在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，
）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当
在区间上变化时，求的最大值．
【答案】（1），（2）
【解析】
【试题分析】（1）对于曲线直接代入公式即可得到极坐标方程，对于先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示，然后利用辅助角公式化简求得最大值.
【试题解析】
（1）曲线的极坐标方程为，即．
曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为
．
（2）由（1）知，
…
由知，当，
即时，有最大值．…
23．设函数()223,f x x x m m R =+++∈. （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）(),0x ∀∈-∞，都有()2
f x x x
≥+
恒成立，求m 的取值范围. 【答案】(1) 12,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
；(2)
3m ≥-.
【解析】试题分析：（1）对x 分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即
可；（2）对于(),0x ∀∈-∞，都有()2
f x x x
+…
恒成立，转化为求函数的最值问题即可. 试题解析：
解： ()Ⅰ当m =-2时， ()()
4103223-2={1
0 23452x x f x x x x x x +≥⎛⎫
=++- ⎪⎝⎭
⎛
⎫--≤- ⎪
⎝
⎭＜＜, 当413{
x x +≤≥解得102x ≤≤；
当3
0132x -≤＜＜，恒成立 当453
{ 3
2
x x --≤≤-
解得3
22x -≤≤- 此不等式的解集为1-22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，.
()Ⅱ当(),0x ∈-∞时()3302223={
3432m
x f x x x m x m x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
=+++⎛
⎫--+≤- ⎪
⎝
⎭＜＜， 当3
02x -＜＜时，不等式化为23+m x x
≥+
. 由()
22x x x x ⎡⎤
⎛⎫+
=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦当且仅当2
x x
-
=-
即x =.
3m ∴+≥- 3m ∴≥--
当32x ≤-
时，不等式化为243x m x x --+≥+. 253m x x ∴≥+
+，令253y x x =++， 3,2x ⎛
⎤∈-∞- ⎥⎝
⎦. 22350,,2y x x ⎛
⎤=-
>∈-∞- ⎥⎝'⎦， 253y x x ∴=+
+在3,2⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦上是增函数. ∴当32x =-时， 253y x x =++取到最大值为35
6-.
∴ 35
6
m ∴≥-.
综上3m ≥--。