江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习直线与圆锥曲线

36 直线与圆锥曲线问题
1．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2
＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，
且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E .
(1)求曲线E 的方程；
(2)若直线y ＝kx ＋k 2＋1与(1)中所求点N 的轨迹E 交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且23≤OF →·OH →≤34，求k 2的取值范围．
解 (1)如图所示，连结NA .
由AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，
可知NP 所在直线为线段AM 的垂直平分线，
所以NA ＝NM ，
所以NC ＋NA ＝NC ＋NM ＝22>2＝CA ，
所以动点N 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，
且长轴长为2a ＝22，焦距2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，b ＝1.
故曲线E 的方程为x 22
＋y 2
＝1. (2)设F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋k 2＋1消去y ， 得(2k 2＋1)x 2＋4k k 2＋1x ＋2k 2
＝0，
Δ＝8k 2>0，
由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k k 2＋12k 2＋1，x 1x 2＝2k 22k 2＋1
， 所以OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝x 1x 2＋(kx 1＋k 2＋1)(kx 2＋k 2＋1)
＝(k 2＋1)x 1x 2＋k k 2＋1(x 1＋x 2)＋k 2＋1
＝(k 2＋1)·2k 22k 2＋1－4k 2(k 2＋1)2k 2＋1
＋k 2＋1
＝k 2＋12k 2＋1
. 由23≤OF →·OH →≤34，得23≤k 2＋12k 2＋1≤34
， 解得12
≤k 2≤1. 2．(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322
.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；
(3)当点P 在直线l 上移动时，求AF ·BF 的最小值．
解 (1)依题意知|c ＋2|
2＝322，c >0，解得c ＝1.
所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .
(2)由y ＝14x 2得y ′＝1
2x ，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则切线PA ，PB 的斜率分别为1
2x 1，1
2x 2，
所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 1
2(x －x 1)，
即y ＝x 12x －x 2
1
2＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.
同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，
又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，
所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，
所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，
所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.
(3)由抛物线定义知AF ＝y 1＋1，BF ＝y 2＋1，
所以AF ·BF ＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 0x －2y －2y 0＝0，
x 2＝4y ，
消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 2
0＝0，
∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 2
0，
∴AF ·BF ＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 2
0－2y 0＋1
＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 2
0＋2y 0＋5
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92， ∴当y 0＝－12时，AF ·BF 取得最小值，且最小值为92
. 3．(2013·浙江)
如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝1，a ＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．
由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，
则直线l 1的方程为y ＝kx －1.
又圆C 2：x 2＋y 2＝4，
故点O 到直线l 1的距离d ＝
1k 2＋1，
所以AB ＝24－d 2＝2 4k 2＋3k 2＋1
. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2
＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k
2. 设△ABD 的面积为S ，
则S ＝12·AB ·PD ＝84k 2＋34＋k
2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3
≤3224k 2＋3·134k 2＋3 ＝161313
， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±
102x －1. 4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x －y ＋6＝0相切．
(1)求双曲线E 的方程；
(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直
线交双曲线E 于P ，Q 两点(P 在Q 点左侧)，使FP →·FQ →为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意知|6|12＋(－1)
2＝a ， ∴a ＝ 3.
又∵2c ＝4，∴c ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝1.
∴双曲线E 的方程为x 23
－y 2＝1. (2)当直线为y ＝0时，
则P (－3，0)，Q (3，0)，F (－2,0)，
∴FP →·FQ →＝(－3＋2,0)·(3＋2,0)＝1.
当直线不为y ＝0时，
可设l ：x ＝ty ＋m (t ≠±3)代入E ：x 23
－y 2
＝1， 整理得(t 2－3)y 2＋2mty ＋m 2－3＝0(t ≠±3)．(*)
由Δ>0得m 2＋t 2>3.
设方程(*)的两个根为y 1，y 2，
满足y 1＋y 2＝－2mt t 2－3，y 1y 2＝m 2－3t 2－3，
∴FP →·FQ →＝(ty 1＋m ＋2，y 1)·(ty 2＋m ＋2，y 2)
＝(t 2＋1)y 1y 2＋t (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2
＝t 2－2m 2－12m －15t 2－3
. 当且仅当2m 2＋12m ＋15＝3时，FP →·FQ →为定值，
解得m 1＝－3－3，m 2＝－3＋3(舍去)．
综上，过定点M (－3－3，0)任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP →·FQ →＝1为定
值．
5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．
解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2
)，与y 2
＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4
. 由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9，
所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .
(2)由p ＝4，知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，
从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，
从而A (1，－22)，B (4,42)．
设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，
又y 23＝8x 3，
所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.
6．(2014·辽宁)圆x 2＋y 2
＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1过点P 且离心率为 3.
(1)求C 1的方程；
(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．
解 (1)设切点P 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，
则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，
即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0
·4y 0＝8x 0y 0. 由x 20＋y 2
0＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值， 因此点P 的坐标为(2，2)．
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2
＝1，
b 2
＝2，
故C 1的方程为x 2－y 22＝1.
(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，
由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2
b 21
＝1，其中b 1>0.
由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2
b 21
＝1，
解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.
显然，l 不是直线y ＝0.
设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋3，
x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，
又设y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－23m
m 2＋2
， ①y 1y 2＝－3
m 2＋2， ②
由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋23＝43
m 2＋2，
③
x 1x 2＝m 2
y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋3＝6－6m
2m 2＋2. ④
因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，
由题意知AP →·BP →＝0，
所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤
将①②③④代入⑤整理得2m 2
－26m ＋46－11＝0，
解得m ＝362－1或m ＝－62
＋1. 因此直线l 的方程为x －(362－1)y －3＝0或x ＋(62
－1)y －3＝0.。