山西省晋城市高级中学2021年高三数学理测试题含解析

山西省晋城市高级中学2021年高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U=N，集合，，则
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
D
2. （5分）已知实数x，y满足，若不等式ax﹣y≤3恒成立，则实数a的取值范围为
（）
A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，] C． [，2] D． [2，4]
参考答案：
B
【考点】：简单线性规划．
【专题】：不等式的解法及应用．
【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若ax﹣y≤3恒成立即y≥ax﹣3恒成立，
即平面区域ABC在直线y=ax﹣3的上方即可．
即C（2，0）在y=ax﹣3的上方或在直线上即可，即2a≤3，解得a≤，
故选：B
【点评】：本题主要考查线性规划的应用，根据条件ax﹣y≤3恒成立，得到平面区域ABC在直线y=ax﹣3的上方是解决本题的关键．
3. 已知集合，则
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
4. 函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18 C．3 D．0
参考答案：
A
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】高考数学专题；导数的综合应用．
【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上
的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，
∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），
∵x∈[﹣3，2]，
∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减
∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19
∴f（x）max﹣f（x）min=20，
∴t≥20
∴实数t的最小值是20，
故选A．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．
5. 设数列是等差数列，且，则这个数列的前5项和
= （）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
参考答案：
D
略
6. 已知函数，动直线与、的图象分别交于点、，的取值范围是 ( )
A．[0，1] B．[0，2] C．[0，] D．[1，]
参考答案：
C
,所以，选C.
7. 一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（）. (A) (B) (C) (D)
参考答案：
D
8. 复数在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象
限 D．第四象限
参考答案：
A
略
9. 如果函数在区间上是单调减函数，那么实数的取值范围是（）。

A . B.
C .
D .
参考答案：
D
10. 已知a、b都是非零实数，则等式的成立的充要条件是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为．
参考答案：
【考点】圆的一般方程．
【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2=1，
∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，
∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=，
解得：≤k≤0．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，是基础题．
12. 已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于
，则的单调递增区间是___________
参考答案：
解析：，由题设的周期为，∴，由
得，
13. 已知非零向量，满足，则向量与的夹角为__________．参考答案：
略
14. 曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是．
参考答案：
x﹣y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式．
解答：解：由f（x）=e x，得f′（x）=e x，
∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，
曲线经过（0，1），
∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．
15. 函数f(x)＝的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为_____.
参考答案：
略
16. 从所有棱长均为的正四棱锥的个顶点中任取个点，设随机变量表示这三个点所
构成的三角形的面积，则其数学期望_________．
参考答案：
【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；
数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.
【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥中，因为,所以
,,所以,,
,,从正四棱锥的5个顶点中任取个点，可以构成的三角形的个数为，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故.
图 cna1
17. 已知两个单位向量，的夹角为30°，，.若，则正实数
=____________
参考答案：
t=1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．
（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．
参考答案：
【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．
（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．
【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．
由题意，，得，
∴．
∴，
即∴
将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．
（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．
由求根公式得．（*）
∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．
∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．
化简可得，．
将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．
即，又．
将代入，可得
∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，
∴．
（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，
联立解得，同理求得，
故．综上，得．
19. 定义在R上的函数f（x）同时满足f（－x）＝f（x）,f（x）＝f（4－x），且当2≤x≤6时，f
（x）＝＋n．
（Ⅰ）若f（x）＝31，求m，n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，比较f（）与f（）的大小．
参考答案：
略
20. 某中学高二年级开设五门大学选修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积
分，其余三门分别为大学物理、商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校
高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：
方法从这600名学生中抽取10人进行分析．
（Ⅰ）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；
（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人，记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对
值．求随机变量ξ的分布列和数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数，利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；
（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人，记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值，就是概率，即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6，即，可得：x=180，又
x+180+120+60+y=600，所以y=60，则根据分层抽样法：
抽取的10人中选修线性代数的人数为：10×=3人；选修微积分的人数为：10×=3人；选修
大学物理的人数为：人；选修商务英语的人数为：人；选修文学写作的人数
为：人；
（Ⅰ）现从10人中选3人共有种选法，且每种选法可能性都相同，令事件A：选中的3人至少两人选修线性代数，事件B：选中的3人有两人选修线性代数，事件C：选中的3人都选修线性代
数，且B，C为互斥事件，P（A）=P（B）+P（C）=+=．
（Ⅱ）记X为3人中选修线性代数的代数，X的可能取值为0，1，2，3，记Y为3人中选修微积分的人数；Y的可能取值也为0，1，2，3，则随机变量ξ=|X﹣Y|的可能取值为0，1，2，3；
P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=；
P（ξ=1）=P（X=0，Y=1）+P（X=1，Y=0）+P（X=1，Y=2）+P（X=2，Y=1）
=2×=，
P（ξ=2）=P（X=0，Y=2）+P（X=2，Y=0）=2×=，
P（ξ=3）=P（X=0，Y=3）+P（X=3，Y=0）=2×=；
所以ξ的分布列为：
所以Eξ=．
21. 已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．
（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，
+∞）上的单调性；
（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．
（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a 的取值范围，再取并集即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣，
∴f′（x）=﹣，
∴g（x）=（x+1）（﹣），
∴g′（x）= [（x+3）﹣1]，
当x＞﹣1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．
（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x）），
由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），
则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点，
设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．
知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，
其中a=，
令G（x）=ln（x+1）﹣+4，
则G′（x）=，
易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，
∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，
①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0），
由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，
由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，
则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，
∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0
∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；
②当a=4时，g（t）===g（0），由g（x）的单调性可知t=0，
则F（x）max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此时F（x）有一个零点，与条件不符；
③当a＞4时，g（t）=＜=g（0），由g（x）的单调性知t＜0，
则F（x）max=F（t）=G（t）＜G（0）=0，此时F（x）没有零点．
综上所述，当F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点时，正数a的取值范围是a∈（4，+∞）．【点评】本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．
22. （12分）如图，设矩形ABCD（的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于点P.设AB=，求的最大面积及相应的值.
参考答案：
解析：解法一：因为，所以.
又，
由勾股定理得，
整理得. …………………………………………………………4分因此的面积
. ……………………………………………………………6分
.
. ……………………………………………8分
当且仅当时，即时，S有最大值.
答：当时，的面积有最大值. ………………………12分
另解: 因为，所以.
在中,.
在中,.
在中,
.(以下略)。