理论力学第三版 (洪嘉振) 答案第2章

1
r 用一个力 F 。
2-4C 如图所示，长方体的边长为 a、b、c。沿 AC 作
r z
C
（1） 试求该力对点 O 的矩； （2） 试求该力对 x、y 和 z 轴的矩。
O
B
r F
A
题 2-4C
r x
r y
解：
r T (1) 如图 2-4C，点 A 的矢径 rA 的坐标阵为 rA = (a b 0 ) ,定义力 r r rAC F=F rAC r 其中矢量 rAC 的坐标阵与模分别为:
F3 = 8(0 0 1) T ⎛ 5 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ FB = F1 + F2 + F3 = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 8 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 8 ⎟ kN ⎜ 0 ⎟ ⎜10 ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎜18 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
合力的坐标： FBx = 11 kN ， FBy = 8 kN ， FBz = 18 kN 合力的大小：
α = arccos⎜ ⎜
⎛ M Ax ⎝ MA
⎛ M Ay ⎞ o ⎟ ⎟ = 83.23 ，β = arccos⎜ ⎜M ⎠ ⎝ A
⎞ ⎛ M Az o ⎟ ⎜M ⎟ = 132.82 ，γ = arccos⎜ ⎝ A ⎠
⎞ o ⎟ ⎟ = 137.97 ⎠
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
r z
C
rAC = (− a − b c ) , rAC = a + b + c
T 2 2
2
（1）
O
r rAC
r x
B
该力的坐标阵为:
(− a − b c ) N （2） a + b2 + c2 由式（1）与（2）得该力对点 O 矩的坐标阵为:
F=
T 2
F
r rA
r F
A
r y
题解 2-4C
⎛ bc ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ − ac ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎝
r1′ = (2b a ) ， r2′ = (b a )
T T
r y
r yb
r r2
r F1
两力对点 A 的矩 r r r r M Az ( F1 ) = M Az′ ( F1 ) = M Az′ ( F1x′ ) + M Az′ ( F1 y′ )
′F1x′ + x1 ′ F1 y′ = − y1 = − aF1 cos(α − β ) + 2bF1 sin(α − β ) r r r r M Az ( F2 ) = M Az′ ( F2 ) = M Az′ ( F2 x′ ) + M Az′ ( F2 y′ ) ′ = − y′ 2 F2 x′ + x2 F2 y′ = aF2 sin β − bF2 cos β
T T r1′ = (2b a ) ， r2′ = (b a ) r r 矢径 r1 与 r2 在参考基的坐标阵为
⎛ cos β − sin β ⎞⎛ 2b ⎞ ⎛ 2b cos β − a sin β ⎞ ⎟ r1 = Ab r1′ = ⎜ ⎜ sin β cos β ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ a ⎠ ⎝ − 2b sin β + a cos β ⎠ ⎛ cos β − sin β ⎞⎛ b ⎞ ⎛ b cos β − a sin β ⎞ ⎟ r2 = A b r2′ = ⎜ ⎜ sin β cos β ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ a ⎠ ⎝ − b sin β + a cos β ⎠ 两力对点 A 的矩 r r r M Az ( F1 ) = M Az ( F1x ) + M Az ( F1 y )
r r1
r F2
α
r xb
β
题解 2-6C
r x
解 2： r r r r 如图 2-6C 所示，定义连体基 e b 与两力作用点的矢径 r1 与 r2 。 e b 相对于参考基的方向余 弦阵为 ⎛ cos β − sin β ⎞ Ab = ⎜ ⎜ sin β cos β ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ r r 矢径 r1 与 r2 在连体基的坐标阵为
rOB = (3 4 5) T，rOB = 32 + 42 + 52 = 5 2
r rOB r
r F1
B
r F3
r F1
F2
o
r x
题解 2-2C
r y
r
三力的坐标阵分别为： F1 = 5(1 0 0) T
F2 = 10 2 5 2 (3 4 5) T = 2(3 4 5) T
r 合力 FB 的坐标阵为：
α = arccos(
FAX F F ) = 116.57o , β = arccos( AY ) = 90o , γ = arccos( AZ ) = 26.57 o FA FA FA
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
r r r 2-2C 图 示 力 系 （ F1， F2， F3 ） ， 其 中 F1=5kN ，
（3）
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2
r z
O
r y
r z
O
r z r y
A
O
A
A
r x
B
r r r F x Fz ° 30 r B C Fx
题解 2-5Cb
r r F Fz 30 ° r C Fx
题解 2-5Cc
B
r Fz
r F
30 °
r y
r x
C Fx
题解 2-5Cd
r
r 由图 2-5Cc， F 对点 A 的矩为
F13 = 25 + 64 F = 89 F r r v v 将力 F2 移动到点 B， F2 与 F13 合成为 FB ，方向如图
4m
题 2-2C
r F3
3m
r y
r z
r F13
r F3
r FB
r F2
2-2C。 由于空间关系复杂，很难确定合力的大小与指向。 (2) 解析法 如图 2-2C 建立参考基。 r v v v r r rOB F1 = 5x ， F2 = 10 2 ， F3 = 8z rOB 其中矢径 rOB 的坐标阵与模分别为
解 2： 由式（2）得该力的三个分量分别为 r r r Fx = 25 3 N, Fy = 0 N, FZ = 25 N r 由图 2-5Cb， F 对点 O 的矩为
⎞ ⎛ ⎛ 25 ⋅ 4 Fz BC ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⎟ ⎜ r ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ M O ( F ) = ⎜ Fx AB − Fz OA ⎟ = ⎜ 3 ⋅ 25 3 − 25 ⋅ 2 ⎟ = ⎜ 79.9 ⎟ N⋅ m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜173.2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 25 3 ⋅ 4 Fx BC ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝
C
题解 2-5Ca
− 3⎞ ⎛ 0 3 4 ⎞⎛ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⎟ r ~ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M A ( F ) = rAC F = ⎜ − 3 0 0 ⎟⎜ 0 ⎟25 = 25⎜ 3 3 ⎟ = ⎜129.9 ⎟ N⋅ m ⎟ ⎜ − 4 0 0 ⎟⎜ ⎜ 4 3 ⎟ ⎜173.2 ⎟ 1 ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 3⎞ ⎛ 0 0 4 ⎞⎛ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⎟ r ~ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M B ( F ) = rBC F = ⎜ 0 0 0 ⎟ 0 25 = 25⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ N⋅ m ⎟ ⎜ − 4 0 0 ⎟⎜ ⎜ 4 3 ⎟ ⎜173.2 ⎟ 1 ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
2-7C 如图所示，大小均为 F 的 12 个力，作用 于边长为 a 的正方体的棱边上。问： （1） 可以组成几对力偶； （2） 写出各对力偶的矢量表达式及其力偶 矩矢量； （3） 求合力偶矩的大小和方向。
⎛ 0 0 b ⎞⎛ − a ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ F F ~ M O = rA F = ⎜ 0 0 − a ⎟⎜ − b ⎟ = 2 2 2 2 a + b2 + c 2 ⎜ − b a 0 ⎟⎜ c ⎟ a + b + c ⎠⎝ ⎠ ⎝
（3）
该力矩的大小：
2 2 2 M O = M Ox + M Oy + M Oz = cF
a 2 + b2 a 2 + b2 + c2
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该力矩与三个基矢量的夹角 α , β , γ 为: b −a π α = arccos ， β = arccos ，γ = 2 2 2 2 2 a +b a +b (2) 由式（3）该力对 x、y 和 z 轴的矩分别为： r r − acF bcF ， M Oy ( F ) = ， M Oz = 0 M Ox ( F ) = 2 2 2 2 a +b +c a + b2 + c2
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
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2-5C 图示一结构，在端部 C 处作用一力 F ， F=50N。 求该力分别对点 O、A、B 的矩。
2m A
r
r z
O
r y
r x 3m
B
4m
r F
30 °
C
题 2-5C
解 1： r r r 如图 2-5Ca 所示，定义矢量 rOC ， rAC 与 rBC 。在图示 2-5Ca 坐标系下的坐标阵分别为： T rOA = (2 4 − 3) m ⎫ ⎪ ⎪ T rAC = (0 4 − 3) m ⎬ （1） ⎪ T rBC = (0 4 0 ) m ⎪ ⎭ r 力 F 的坐标阵为
= − F1 cos α (− 2b sin β + a cos β ) + F1 sin α (2b cos β − a sin β ) = − aF1 cos(α − β ) + 2bF1 sin(α − β )
= − y1 F1x + x1 F1 y
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2
r r r M Az ( F2 ) = M Az ( F2 x ) + M Az ( F2 y ) = − y2 F2 x + x2 F2 y = − F2 (b cos β − a sin β ) = aF2 sin β − bF2 cos β
⎛ F BC ⎞ ⎛ 25 ⋅ 4 ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⎟ ⎜ r ⎜ z ⎟ ⎜ ⎟ M A ( F ) = ⎜ Fx AB ⎟ = ⎜ 3 ⋅ 25 3 ⎟ = ⎜129.9 ⎟ N⋅ m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Fx BC ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 25 3 ⋅ 4 ⎠ ⎝173.2 ⎠ r 由图 2-5Cd， F 对点 B 的矩为 ⎛ F BC ⎞ ⎛ 25 ⋅ 4 ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⎟ ⎜ r ⎜ z ⎟ ⎜ ⎟ M B ( F ) = ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ N⋅ m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Fx BC ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 25 3 ⋅ 4 ⎠ ⎝173.2 ⎠
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
2-6C 如图所示，长方形木板的 A 处为一圆柱铰基
r r 座。板上作用二个平面力 F1 与 F2 。分别求两力对点 A
r y
2b
r F1
的矩。
α
r F2
a
2a
β
A
题 2-6C
r x
解 1： r 定义连体基 e b 与两力作用点的 如图 2-6C 所示， r r r r 矢径 r1 与 r2 。矢径 r1 与 r2 在连体基的坐标阵为
F = 50 − cos 30o
r z
O
r y
r rOC
A
(
0 sin 30o
)
T
= 25 − 3 0 1 N
(
)
T
r x
B
r rAC r rBC
r F
30 °
（2） 由式（1）与（2）该力分别对点 O、A、B 的矩分别 为：
− 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⎛ 0 3 4 ⎞⎛ ⎟ r ~ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ MO (F ) = rOCF = ⎜ − 3 0 − 2⎟⎜ 0 ⎟25 = 25⎜ 3 3 − 2⎟ = ⎜ 79.9 ⎟ N⋅ m ⎟ ⎜ 4 3 ⎟ ⎜173.2⎟ ⎜ − 4 2 0 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎝ ⎠
2 2 2 FB = FBx + FBy + FBz = 22.56 kN
合力与三个基矢量的夹角为 α , β , γ :
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2
α = arccos(
FBy F FBx ) = 60.82o ， β = arccos( ) = 69.23o ， γ = arccos( Bz ) = 37.07 o 。 FB FB FB
F2 = 10 2 kN ，F3=8kN。
r z
（1） 试用矢量法计算该力系的合力大小与指 向； （2） 试用解析法计算该力系的合力的坐标阵， 且与结果(1)进行比较。
B
r F2
r F1
5m
o
r x
解： (1) 矢量法 由题图 2-2C 可知三个力的作用线交于点 B，力系 为汇交于点 B 的汇交力系。可应用平行四边形法则合 成一合力。 r r r v v 将力 F1 与 F3 移动到点 B， F1 与 F3 合成为 F13 ，方向 如图 2-2Ca。