2022年沪科版数学八年级下《中位数与众数》教案

第2课时中位数与众数
1．掌握中位数、众数的意义；(重点)
2．能结合平均数、中位数和众数三者的差别，对数据做出初步判断．(难点)
一、情境导入
小明和小亮是同桌，同时也是学习上的竞争对手，本学期以来的5次数学测试成绩(单位：分)如下：
小明：88、68、88、92、94
小亮：72、85、87、93、93
小明和小亮都认为自己的成绩比对方好，如果你是小明或者小亮，你能说出自己成绩好的理由吗？
二、合作探究
探究点一：中位数和众数
【类型一】求中位数和众数
(2015·河北模拟)某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下：
年龄(岁)1213141516
人数1432 2
则这个小组成员年龄的众数和中位数分别是()
A．15，16 B．13，14
C．13，15 D．14，14
解析：众数即为出现次数最多的数，所以从中找到出现次数最多的数即可；中位数是排序后位于中间位置的数或中间两数的平均数．∵12岁有1人，13岁有4人，14岁有3人，15岁有2人，16岁有2人，
∴出现次数最多的数据是13，∴队员年龄的众数为13；∵一共有12名队员，∴其中位数应是第6和第7名同学的年龄的平均数，∴B.
方法总结：本题考查了众数及中位数的概念，在确定中位数的时候应该先排序，确定众数的时候一定要仔细观察．
【类型二】在统计图中求中位数或众数
下图是某俱乐部篮球队队员年龄结构条形图，根据图中信息，求该队队员年龄的众数和中位数．
解析：对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数(或最中间的两个数的平均数)即可，本题是最中间的两个数的平均数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．
解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组21岁中，故众数是21；因图中是按从小到大的顺序排列的，由图知该队有10人，其中第5和第6名队员的年龄都是21岁，故中位数是21.
方法总结：本题考查的是众数和中位数的定义．在条形统计图中出现频数最大即条形最高的数据为众数．
【类型三】中位数或众数与平均数的综合
一组数据1，2，4，5，8，x的众数与平均数相等，那么x的值是________．解析：根据众数的概念得到这组数据的众数只可能为1、2、4、5、8中的数．讨论：当众数为1、2、4、5、8时分别计算出对应的平均数，然后根据众数与平均数是否相等即可得到x的值．这组数据的众数只可能为1、2、4、5、8中的数，∴当众数为1时，≠1；当众数为2时，平均数＝(1＋2＋4＋5
＋8＋2)÷6＝3
2
3≠2；当众数为4时，平均数＝(1＋2＋4＋5＋8＋4)÷6＝4；当众数为5
时，平均数＝(1＋2＋4＋5＋8＋5)÷6＝41
6≠
5；当众数为8时，平均数＝(1＋2＋4＋5＋8＋8)÷6＝42
3≠8.故x 的值为4.故填4.
方法总结：本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．
探究点二：选择合适的数据代表
某公司员工的月工资情况统计如
下表：
(1)分别计算该公司员工工资的平均数、中位数和众数；
(2)你认为用(1)中计算出的哪个数据来代表该公司员工的月工资水平更为适合？请简要说明理由．
解析：本题用加权平均数公式计算平均数，统计表中统计了46名员工的工资数据，中位数是第23、24个数据的平均数，众数是1500元；对于第(2)问的答案不唯一，只要言之有理即可．
解：(1)x ＝(7000×2＋6000×4＋4000×8＋3500×20＋3000×8＋2700×4)÷(2＋4＋8＋20＋8＋4)＝3800(元)．中位数为3500元，众数为3500元；
(2)极端值7000元、6000元对数据的平均水平影响较大，因此选择中位数代表该公司员工的月工资水平更合适．
方法总结：深刻理解平均数、众数、中位数的概念与区别，根据实际情况选择合适的数据代表．
三、板书设计
员工人数 2
4
8
20
8
4
月工资(元)
7000 6000 4000 3500 3000 2700
平均数、中位数和众数都是一组数据集中趋势的特征数，学生在小学就学习过．我们在这节课更深入地研究了它们各自的特点，并学会正确、合理地使用这些特征数．在实际生活中针对同一份材料、同一组数据，当人们怀着不同的目的，选择不同的数据代表，并从不同的角度进行分析时，看到的结果可能是截然不同的，所以我们应该根据不同的实际需要，确定用平均数、中位数还是众数来反映数据的特征，我们还要引导学生学会用数据说话，学会全面地看数据，因为这些与生活息息相关，教师应作为组织者、合作者和指导者，在教学本课时，让学生自我探索，并解决问题.
第1课时勾股定理
1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的证明
作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a2＋b2＝c2.
解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再
用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．
证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋1
2ab ×4，右边的正
方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋
1
2ab ×4＝c 2＋1
2ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.
方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．
探究点二：勾股定理
【类型一】 直接利用勾股定理求长度
如图，已知在△ABC 中，∠ACB
＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 交AB 于点D ，求CD 的长．
解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB ·CD ＝1
2AC ·BC ，求出
CD 的长．
解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △
ABC ＝
12AB ·CD ＝1
2AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB
＝4×35＝125(cm)，故CD 的长是125cm.
方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
【类型二】 利用勾股定理求面积
如图，以Rt △ABC 的三边长为斜
边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．
解析：因为AE ＝BE ，∠E ＝90°，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝1
2AE 2.又因为AE 2＋BE 2
＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2，所以S △ABE ＝1
4AB 2
＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2
＋1
4BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝1
2×32＝
92.故分别填94，9
2
. 方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．
【类型三】 勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A 所表示的
数为a ，则a 的值是( )
A. 5＋1 B ．－5＋1 C.5－1 D. 5 解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是 5.那么点A 所表示的数为5C.
方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的符号后，点A 所表示的数是距离原点的距离．
【类型四】 利用勾股定理证明等式
如图，已知AD 是△ABC 的中
线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．
解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE ⊥BC 交BC 于点E .在△ABC 中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．
证明：如图，过点A作AE⊥BC交BC 于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE 中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE ＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC 的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．
方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．
【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C ＝3，则AM的长是()
解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x ＝2，即AM B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长．
解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；
当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为，△ABC的周长为42或60.
方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
三、板书设计
让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步提升学生的说理和简单推理的能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.。