高三总复习数学课件 椭 圆

4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，( 3， 5)， 则椭圆的方程为__________．
解 析 ： 设 椭 圆 方 程 为 mx2 ＋ ny2 ＝ 1(m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m≠n) ． 由
－322m＋522n＝1， 3m＋5n＝1，
解得 m＝16，n＝110.
C．曲线 C 可能是圆
D．若 C 为双曲线，则 t<1
解析：当 t＝2 时，曲线 C 表示圆，故 A 错误，C 正确；当曲线 C 为焦点在
y 轴上的椭圆时，则 t－1>3－t>0，解得 2<t<3，故 B 正确；当曲线 C 为双曲
线时，则(3－t)(t－1)<0，解得 t<1 或 t>3，故 D 错误． 答案：BC
所以椭圆的方程为1y02 ＋x62＝1.
答案：1y02 ＋x62＝1
[一“点”就过] 确定椭圆方程的“定位”与“定量”
定位 定量
在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断 方程的形式
确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解
基础点(二) 椭圆的简单几何性质
1．椭圆x22＋y2＝1 的离心率是
c2＝a2－b2， ＝9，b2＝8.故椭圆 C 的方程为x92＋y82＝1. 答案：D
解得 a2
2．已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，
则此椭圆的标准方程为 A.3x62＋3y22 ＝1 C.x92＋y52＝1
B.x92＋y82＝1 D.1x62＋1y22 ＝1
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)Biblioteka 基础点(一) 椭圆的标准方程
[题点全训]
1．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于13，则椭圆 C 的方
程是 A.x42＋y32＝1 C.x42＋y22＝1
B.x42＋ y23＝1 D.x92＋y82＝1
()
c＝1， 解析：依题意，设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，所以ac＝13，
质
b)，B2(0，b)
B2(b,0)
焦距
|F1F2|＝_2_c_
离心率
c e＝ a ，且 e∈_(_0_,1_)_ c2＝a2－b2
(1)设 P 为椭圆上不同于长轴两端点的点，F1，F2 为椭圆的两个焦点，则 ①b≤|OP|<a； ②a－c<|PF1|<a＋c. (2)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2ab2，过焦点最长的弦为长轴． (3)过原点最长的弦为长轴，最短的弦为短轴． (4)与椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为a2x＋2 λ＋b2y＋2 λ＝1(λ＞ －b2)．
(5)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2 构成的△PF1F2 叫做 焦点三角形．若 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S，则在 椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)中：
①当 r1＝r2，即点 P 为短轴端点时，θ 最大； ②S＝12|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点 P 为短轴端点时，S 取得最大 值，最大值为 bc； ③△PF1F2 的周长为 2(a＋c)； ④S△PF1F2＝b2·tan θ2. (6)椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关，当 a 不变时，e 越大，b 越小，椭 圆越扁；e 越小，b 越大，椭圆越圆． (7)轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置．依据这些条件确定的椭圆方程 可能有 2 个．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
图形
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
范围 x∈ [－a，a] ，y∈_[－__b_，__b_]_ x∈ [－b，b] ，y∈_[_－__a_，__a_]_
对称性
对称轴： 坐标轴 ；对称中心：_原__点__
性 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－ A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，
椭圆
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
1．椭圆的概念 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 的 和 等 于 常 数 ( 大 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 _椭__圆___．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 ． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若 a>c ，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若 a<c ，则集合P为空集．
答案：4x82＋1y22 ＝1 4．椭圆 x2＋my2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m＝________.
答案：14
5．(人教 A 版选择性必修第一册 P109·T3 改编)椭圆 C：2x52＋1y62 ＝1 的左、右焦 点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为 ______，△AF1F2 的周长为________． 答案：20 16
()
解析：由题意可得22ac＝13，2a＝6，解得 a＝3，c＝1，则 b＝ 32－12＝ 8， 所以椭圆 C 的方程为x92＋y82＝1.
答案：B
3．(多选)若方程3x－2 t＋t－y21＝1 所表示的曲线为 C，则下面四个说法中正确的是
A．若 1<t<3，则 C 为椭圆
()
B．若 C 为椭圆，且焦点在 y 轴上，则 2<t<3
1．若椭圆
x2 16
＋
y2 25
＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距
离是
()
A．2
B．4
C．6
D．8
答案：B 2．(北师大版选择性必修第一册 P53·T2 改编)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是 ( )
A.
13 3
B.
5 3
C.23
D.59
答案：B
3．(人教B版选择性必修第一册P134·T4改编)已知椭圆的一个焦点为F(6,0)，且 B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程 是________．