高考数学知识点总复习教案直线方程和两直线的位置关系

第九篇

解析几何

第1讲 直线方程和两直线的位置关系

A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点 ( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，3 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，－3

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，－3 解析 原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令⎩⎨⎧

2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－1

2，y

＝－3，故所有直线都过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12，－3.

答案 D

2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是

( )．

A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫

π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6，π2 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3，π2

D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π6，π2

解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝3

3，则直线P A 的倾斜

角为π

6，满足条件的直线l的倾斜角的范围是⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

π

6，

π

2.

答案 B

3．(2013·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()．A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0

C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0

解析由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.

答案 A

4．(2013·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的

()．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，

所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；

当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.

当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，

此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.

所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．

答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．

解析设所求直线的方程为x

a＋

y

b＝1，

∵A(－2,2)在直线上，∴－2

a＋

2

b＝1. ①

又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，

∴1

2|a|·|b|＝1. ②

由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧

a －

b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧

a ＝－1，

b ＝－2，方程组(2)无解．

故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y

－2＝1，

即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0

6．(2012·东北三校二模)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.

解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝3

5. 答案 3

5 三、解答题(共25分)

7．(12分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．

(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；

(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.

又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.

(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a

b ＝1－a .

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4

b ＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝2

3，b ＝2.

8．(13分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；

(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．

解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，

∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.解得λ＝2或λ＝12.

∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.

(2)由⎩⎨⎧

2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，

解得交点P (2,1)，

如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.

B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝

( )．

A ．4

B ．6

C.345

D.365

解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧

3＋n 2＝2×7＋m 2－3，

n －3m －7＝－1

2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝3

5，n ＝31

5.故m ＋n ＝34

5.

答案 C

2．(2013·长沙模拟)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为

( )．