高考数学总复习 分类计数原理、分步计数原理

2008高考数学总复习分类计数原理、分步计数原理
●知识梳理
分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点.
特别提示
正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成.
●点击双基
1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_____________种行车路线.
A.24
B.16
C.12
D.10
解析：起点为C1
4种可能性，终点为C1
3
种可能性，因此，行车路线共有C1
4
×C1
3
=12种.
答案：C
2.（2002年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A.8种
B.12种
C.16种
D.20种
解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C1
3·C1
4
=12种.
答案：B
3.某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是
A.9×8×7×6×5×4×3
B.8×96
C.9×106
D.81×105
解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106.∴可增加的电话部数是9×106－9×105=81×105.
答案：D
4.72的正约数（包括1和72）共有__________个.
解析：72=23×32.
∴2m·3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N）都是72的正约数.
m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个.
答案：12
5.（2005年春季北京，13）从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）
解析：一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.
若二次函数为偶函数，则b=0.
同上共有3×2=6个.
答案：18 6
●典例剖析
【例1】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.
评述：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步.
思考讨论
本题为什么要先分类？由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立.
【例2】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?
解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.
评述：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解.
深化拓展
上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?
答案：C4
5
·24=80个.
【例3】（2003年新课程卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答）
1
234
5
6
解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种.
所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.
456C
C
C C
D D
D
D D B
B
根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×5=120. 答案：120
评述：解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法. ●闯关训练 夯实基础
1.（2004年全国，文5）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则
n
m
等于 A.0
B.
4
1 C.
2
1 D.
4
3 解析：n =C 34=4，在“1、2、3、4”这四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、3、4”，m =1.∴
n
m
= 41. 答案：B
2.（2004年黄冈检测题）某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为
A.504
B.210
C.336
D.120
解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7、8、9种方法.
∴插法种数为7×8×9=504或A 99÷A 66=504.
答案：A
3.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有__________种. 解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5=25种. 答案：25
4.从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是
A.208
B.204
C.200
D.196
解析：在12个点中任取3个点的组合数为C 3
12，在同一直线上的3点的组数为20，则可构成三角形的组数为C 312－20=200.
答案：C
5.4棵柳树和4棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_____________种.
解析：2A 44·A 4
4=1152种.
答案：1152
6.（2001年上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种.（结果用数值表示）
解析：设素菜n 种，则C 25·C 2n ≥200 n （n －1）≥40，所以n 的最小值为7.
答案：7 培养能力
7.（2003年全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答）
①
②
③
④
⑤
解析：依次染①、②、③、④、⑤.故有C 14·C 13·C 12·C 13·C 11=72种.
答案：72
8.（理）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?
分析：五个球分别投放到五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒子，就成了受限的特殊元素与特殊位置.
解：先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内，有C 25种；剩下的三个球，
不失一般性，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为C 12，则投放4，5号球的方法只
有一种，根据分步计数原理共有C2
5·C1
2
=20种.
评述：本题投放球有两种方法，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一种是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成.
（文）在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
分析：在0~9这10个数字中，按照题目要求组成的两位数中，个位数字不能为0和1，十位数字不能为0和9.也就是说组成两位数的数字可按个位分类或按十位分类来计算.
解法一：按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.
则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.
解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.
则共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.
评述：在具体分类或分步时，常遇到困难，要多练习，多积累经验，掌握思维方法，逐步做到恰当分类，合理分步.
9.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名方法种数为4×4×4×4×4=45种.
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种.故有n=5×５×５×５=54种.
探究创新
10.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?
解：设较小的两边长为x、y且x≤y，
则x≤y≤11，
x+y>11，
x、y∈N*.
当x=1时，y=11；
当x=2时，y=10，11；
当x=3时，y=9，10，11；
当x=4时，y=8，9，10，11；
当x=5时，y=7，8，9，10，11；
当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；
当x=7时，y=7，8，9，10，11；
……
当x=11时，y=11.
所以不同三角形的个数为
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.
评述：本题关键是列出约束条件，然后寻找x =1，2，…，11时，y 的取值个数的规律，再用分类计数原理求解.
●思悟小结
1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础.这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.
2.元素能重复的问题往往用计数原理. ●教师下载中心 教学点睛
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.
拓展题例
【例1】 关于正整数2160，求： （1）它有多少个不同的正因数？ （2）它的所有正因数的和是多少？ 解：（1）∵N =2160=24×33×5， ∴2160的正因数为P =2α
×3β
×5γ
，
其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1. ∴2160的正因数共有5×4×2=40个.
（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数. ∴正因数之和为31×40×6=7440.
【例2】 球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？
解：设击入黄球x 个，红球y 个符合要求， 则有 x +y =4，
2x +y ≥5（x 、y ∈N ），得1≤x ≤4.
∴⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.
0,4;1,3;2,2;3,1y x y x y x y x 相应每组解（x ，y ），击球方法数分别为C 14C 36，C 24C 26，C 34C 16，C 44C 0
6. 共有不同击球方法数为C 14C 36+C 24C 26+C 34C 16+C 44C 06=195.。