2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件2-11-2
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②若 a＜0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1a. 因为 x＝1 是 f(x)的极大值点， 所以－1a＞1，解得－1＜a＜0. 综合①②得 a 的取值范围是 a＞－1.
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第二章·第11节·第二课时 第11页
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g(a＋2)＝ea＋2－3a－4＝e2·ea－3a－4， 设 φ(x)＝ex－x－1，则 φ′(x)＝ex－1， 因为 x＜0 时，φ′(x)＜0；x＞0 时，φ′(x)＞0； 所以 φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以 φ(x)≥φ(0)＝0，即 ex≥x＋1， 所以 e2·ea－3a－4≥e2·(a＋1)－3a－4＝(e2－3)a＋(e2－4)＞ 0，即 g(a＋2)＞0， 综上可得 a 的取值范围是(2－ln2，＋∞)．
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第二章
函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
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第1页
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第11节 导数在研究函数中的应用
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第二章·第11节·第二课时 第2页
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第二课时 利用导数研究函数的极值、最值
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第二章 函数、导数及其应用 第3页
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第二章·第11节·第二课时 第10页
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解：(1)f′(x)＝ex－2x－a， 设 g(x)＝f′(x)，则 g′(x)＝ex－2， 当 x＜ln2 时，g′(x)＜0，所以 g(x)在(－∞，ln2)上单调递减， 当 x＞ln2 时，g′(x)＞0，所以 g(x)在(ln2，＋∞)上单调递增， 所以当 x＝ln2 时，g(x)取得最小值 2－2ln2－a， 因为函数 f(x)有两个极值点， 所以函数 f′(x)有两个零点， 所以 2－2ln2－a＜0，所以 a＞2－2ln2＞0，
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第二章·第11节·第二课时 第7页
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综上，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；当 a＞0 时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
(2)∵函数 f(x)在 x＝1 处取得极值， ∴f′(1)＝a－1＝0， 则 a＝1，从而 f(x)＝x－1－lnx， 因此 f(x)≥bx－2，即 1＋1x－lnxx≥b(x＞0)， 令 g(x)＝1＋1x－lnxx，则 g′(x)＝lnxx－2 2，
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第二章·第11节·第二课时 第9页
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角度 2 已知极值(点)，求参数的值或取值范围 (2019·皖南八校联考)已知函数 f(x)＝ex－x2－ax 有
两个极值点 x1，x2(x1＜x2)． (1)求 a 的取值范围； (2)求证：ex1＋ex2＞4.
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课堂探究 考点突破
真题模拟演练
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第二章·第11节·第二课时 第4页
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课堂探究 考点突破
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第二章·第11节·第二课时 第5页
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角度 1
考点一 利用导数研究函数的极值 已知函数求极值(点)
(2019·银川质检)已知函数 f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)． (1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx －2 恒成立，求实数 b 的最大值．
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第二章·第11节·第二课时 第12页
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第二章·第11节·第二课时 第13页
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函数极值的两类热点问题 (1)求函数 f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数 f′(x)；③解方程 f′(x)＝0， 求出函数定义域内的所有根；④列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值， 如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处取极小值． (2)由函数极值求参数的值或范围． 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论 f′(x)＝0 根的有无 (个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围， 特别注意：极值点处的导数为 0，而导数为 0 的点不一定是极值 点，要检验极值点两侧导数是否异号．
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第二章·第11节·第二课时 第14页
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(1)(2019·沈阳模拟)设函数 f(x)＝lnx－12ax2－bx，若 x＝1 是 f(x)的极
大值点，则 a 的取值范围为 (－1，＋∞)．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，
由 f′(1)＝0，得 b＝1－a.
所以
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ax－x x
＝
－x－1ax＋1
x
.
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第二章·第11节·第二课时 第15页
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①若 a≥0，当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x＞ 1 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．
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第二章·第11节·第二课时 第8页
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由 g′(x)≥0 得 x≥e2， 则 g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增， 所以 g(x)min＝g(e2)＝1－e12， 故实数 b 的最大值是 1－e12.
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第二章·第11节·第二课时 第6页
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解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＝ax－x 1， 当 a≤0 时，f′(x)<0 在(0，＋∞)上恒成立，函数 f(x)在(0， ＋∞)上单调递减． 所以 f(x)在(0，＋∞)上没有极值点． 当 a＞0 时，由 f′(x)＞0 得 x＞1a， 所以 f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增，即 f(x) 在 x＝1a处有极小值．
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第二章·第11节·第二课时 第11页
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g(a＋2)＝ea＋2－3a－4＝e2·ea－3a－4， 设 φ(x)＝ex－x－1，则 φ′(x)＝ex－1， 因为 x＜0 时，φ′(x)＜0；x＞0 时，φ′(x)＞0； 所以 φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以 φ(x)≥φ(0)＝0，即 ex≥x＋1， 所以 e2·ea－3a－4≥e2·(a＋1)－3a－4＝(e2－3)a＋(e2－4)＞ 0，即 g(a＋2)＞0， 综上可得 a 的取值范围是(2－ln2，＋∞)．
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第二章
函数、导数及其应用
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第11节 导数在研究函数中的应用
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第二课时 利用导数研究函数的极值、最值
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解：(1)f′(x)＝ex－2x－a， 设 g(x)＝f′(x)，则 g′(x)＝ex－2， 当 x＜ln2 时，g′(x)＜0，所以 g(x)在(－∞，ln2)上单调递减， 当 x＞ln2 时，g′(x)＞0，所以 g(x)在(ln2，＋∞)上单调递增， 所以当 x＝ln2 时，g(x)取得最小值 2－2ln2－a， 因为函数 f(x)有两个极值点， 所以函数 f′(x)有两个零点， 所以 2－2ln2－a＜0，所以 a＞2－2ln2＞0，
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综上，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；当 a＞0 时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
(2)∵函数 f(x)在 x＝1 处取得极值， ∴f′(1)＝a－1＝0， 则 a＝1，从而 f(x)＝x－1－lnx， 因此 f(x)≥bx－2，即 1＋1x－lnxx≥b(x＞0)， 令 g(x)＝1＋1x－lnxx，则 g′(x)＝lnxx－2 2，
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角度 2 已知极值(点)，求参数的值或取值范围 (2019·皖南八校联考)已知函数 f(x)＝ex－x2－ax 有
两个极值点 x1，x2(x1＜x2)． (1)求 a 的取值范围； (2)求证：ex1＋ex2＞4.
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函数极值的两类热点问题 (1)求函数 f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数 f′(x)；③解方程 f′(x)＝0， 求出函数定义域内的所有根；④列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值， 如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处取极小值． (2)由函数极值求参数的值或范围． 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论 f′(x)＝0 根的有无 (个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围， 特别注意：极值点处的导数为 0，而导数为 0 的点不一定是极值 点，要检验极值点两侧导数是否异号．
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大值点，则 a 的取值范围为 (－1，＋∞)．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，
由 f′(1)＝0，得 b＝1－a.
所以
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ax－x x
＝
－x－1ax＋1
x
.
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①若 a≥0，当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x＞ 1 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．
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由 g′(x)≥0 得 x≥e2， 则 g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增， 所以 g(x)min＝g(e2)＝1－e12， 故实数 b 的最大值是 1－e12.
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解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＝ax－x 1， 当 a≤0 时，f′(x)<0 在(0，＋∞)上恒成立，函数 f(x)在(0， ＋∞)上单调递减． 所以 f(x)在(0，＋∞)上没有极值点． 当 a＞0 时，由 f′(x)＞0 得 x＞1a， 所以 f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增，即 f(x) 在 x＝1a处有极小值．