3运筹学之单纯型法练习加强

0 1 0
-1 2 -1
4/3 -1/3 -5/3
-1/3 1/3 -1/3
最优解 X=(1, 2, 0, 0, 0)
实际意义：
最优值 Z=8
每天生产A产品1单位，B产品2单位，C产品不生产
每天可获得利润8000元
求解线性规划
x1 x 2 4 x 2 x 2 2 s.t. 1 x1 x 2 2 x1 0, x 2 0
1 x1
2 x2
0 x3
0 x4

1 1 1 1 0 0 1 0 0
-2 0 2 -2 2 4 0 1 0
1 0 0 1 -1 -1 0 -1/2 1
0 1 0 0 1 0 1 1/2 -2
0/1 2/1
∞ 2/2
∞ ∞
例1－8 用图解法求解下面的线性规划问题：
max Z x1 2 x2
X2
2 x1 [1] 4 0 2
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 θ -1/2 2 0 4 1/4 -3/4
换出变量
换人变量
主元素
(5) 检查表1-4的所有cj-zj,这时有c1-z1=2；说明x1应为换入变量。重 复(2)～(4)的计算步骤，得表1-5。
求使目标得到改善的基本可行解
如何改善？
如何判断没有有限最优解？
(2) 因检验数都大于零，且 P1 ，P2 有正分量存在， 转入下一步； (3) max(σ 1 ,σ 2 )=max(2,3)=3，对应的变量 x2 为换入变量， 计算θ
bi 8 16 12 min a ai 2 0 min 2 , 0 , 4 3 i i2
3 3 0 0

xj
x1
x2
x3
x4
x5
0
0 －Ｚ
x4
x5
3
9 0
1
1 2
1
4 3
1
7 3
1
0 0
0
1 0
cj
CB XB b 0 0 －Ｚ 2 0 －Ｚ 2 x1 x1 x5 x4 x5 3 9 0 3 6 -6 1 xj
2
x1
3
x2
3
x3
0
x4
0
x5

1 1 2 1 0 0 1
1 4 3 1 3 1 0
2 x1 1 -1 1 2 5 x2 1 2 -1 5 0 x3 1 0 0 ０ 0 x4 0 1 0 ０ 0 x5 0 0 1 ０ 4/1 ∞ 2/1
b
0 0 0 －Ｚ x3 x4 x5 4 2 2 ０
cj CB XB b 0 0 0 x3 x4 x5 4 2 2 xj
2 x1
5 x2
0 x3
cj→ CB 2 0 3 -z XB x1 x4 x2 b 2 8 3 -13 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 -4 0 -2 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 [2] 1/4 1/4 θ 4 12
换出变量

还存在检验数〉0，继续进行。
换人变量
主元素
(6) 表1-6最后一行的所有检验数都已为负或零。这表示目标函数值 已不可能再增大，于是得到最优解
cj CB XB xj
max Z 2x1 5x2
max Z 2 x1 5x2 x1 x 2 x3 4 x 2 x x 2 1 2 4 s.t. x1 x 2 x5 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
H
-x1+2x2=2
B
C
I
4 x1 x1+x2=4 2x1+5x2=0
F
0
1 2D 3 x1-x2=2
E
求解线性规划
max Z x1 2 x2
x1 2 x 2 0 s.t. x1 3 x 0, x 0 2 1
cj CB XB xj 1 x1 1 1 1
1/2 9/2
1 0
0 0
0 1
0 0
1/2 -1/2
1/2 -5/2
0 0
1 0
∞ 2
6
向上迭代一步
例1－4 用图解法求解下面的线性规划问题：
max Z 2x1 5x2
G
x x1 x 2 4 4 2 x 2 x 2 1 2 3 s.t. 2x1+5x2=10 x1 x 2 2 2 x1 0, x 2 0 A 1
Z 0 0 0 1 x1 a11 a21 am1
m
0 a11 0 a 21 0 a m1 1 c 1
cm n
x2 a12 a22 am 2

xn a1n a2 n anm cn Z n
xn 1 1 0 0 0
xn 2 xn m 0 1 0 0 0 0 1 0
2.计算θ，由它确定为换出变量
3.确定主元素 1.计算检验数，由它确定为换人变量
计算非基变量的检验数各非基变量的检验数为 σ 1=c1-z1=2-(0×1+0×4+0×0)=2 σ 2=c2-z2=3-(0×2+0×0+0×4)=3 填入表1-3的底行对应非基变量处。
进行（2），（3）
1 7 3 1 6 1 -1
1 0 0 1 -1 -2 4/3
0 1 0 0 1 0 -1/3
3/1 9/1
3/1 6/3
3
－Ｚ
x2
2
-8
0
0
1
0
2
-1
-1/3
-5/3
1/3
-1/3
cj CB XB b 2 3 －Ｚ x1 x2 1 2 -8 xj
2 x1
3 x2
3 x3
0 x4
0 x5

1 0 0
检验数
Z 0 cn i bi
i 1
m
max Z 2x1 3x2 3x3 (工时约束) x1 x 2 x3 3 x1 4 x 2 7 x3 9 (材料约束) x , x , x 0 1 2 3
cj CB XB b 2
maxZ 2x1 3x2 3x3 0x4 0x5 x1 x 2 x3 x 4 3 x1 4 x 2 7 x3 x5 9 x ~ x 0 5 1
j 1,2,,5
表 1-3
目标函数中各变量的价值系数。
c j→ CB 0 XB x x x -z
3 4 5
2 b 8 16 12 0 x 1 4 0 2
1
3 x 2 0 [4] 3
2
0 x 1 0 0 0
3
0 x 0 1 0 0
4
0 x 0 0 1 0
5
θ 8/2=4 12/4=3
基变量
0 0
max Z x1 2 x2
x1 2 x2 x3 0 s.t. x1 x4 3 x , x , x ,x 0 1 2 3 4
2 x2 -2 0 2 0 x3 1 0 ０ 0 x4 0 1 ０
b
0 0 －Ｚ x3 x4 0 3 ０
∞ ∞
没 有 有 限 最 优 解
m
b b1 b2 bm Z0
i 1
c1 Z1 c2 Z 2
Z j cn i aij
i 1
j 1,2,...... n
Z 0 cn i bi
表格单纯形法
cj
CB XB b
基 变 量
c1 x1
a11
… … … … … …
cn
c n 1
… …
cnm
xj
xn
现用例1的标准型来说明上述计算步骤。
max z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5
x1 2 x2 x3 4 x1 4 x2 xj 0

8 16 x5 12
x4

(1) 取松弛变量x3,x4,x5 为基变量，它对应的单位矩阵为 基。这就得到初始基可行解X(0)=(0,0,8,16,12)T 将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，见表1-3。表 中左上角的cj是表示目标函数中各变量的价值系数。在CB 列填入初始基变量的价值系数，它们都为零。
-x1+2x2=0
x1 2 x 2 0 3 s.t. x1 3 x1+2x2=4 2 x 0, x 0 2 1
1
0 1 2 3
x1+2x2=6
4
x1
x1=3
算法思路
是否存在？ 求一个初始基本可行解 如何判断？ 是 如何得到？
判断基本可行解是否最优
不是
结 束
是否唯一？
a1 n
x n 1
1 0
xnm
i
c n1
x n 1
b1
0 1 0
cn2
xn2
cnm

xnm
-Z
b2
bm
-Z0
右端常数
m
a 21
a m1
C1-Z1
a2n
2

m
a mn
Cn-Zn

0 0 …

1 0
基变量系数
最小比值列
Z j cn i aij
i 1
j 1,2,...... n
它所在行对应的x5为换出变量，x2所在列和x5所在行的交叉处 [4]称为主元素或枢元素(pivot element)
进行（4） (4) 以[4]为主元素进行旋转运算或迭代运算，即初 等行变换，使P2变换为（0,0,1）T,在XB 列中将x2 替换x5 ,于 是得到新表1-4.
cj→ CB 0 0 3 -z XB x3 x4 x2 b 2 16 3 -9
cj→
CB 2 0 3
2 b 4 4 2 -14 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2
0 X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 θ x5 0 1 0 0
XB x1 x5 x2 -z
最优解
X*=X(3)=(4,2,0,0,4)T 目标函数的最大值 z*=14
max Z 2x1 5x2
G
x x1 x 2 4 4 2 x 2 x 2 1 2 3 s.t. 2x1+5x2=10 x1 x 2 2 2 x1 0, x 2 0 A 1
H
-x1+2x2=2
B
C
I
4 x1 x1+x2=4 2x1+5x2=0
F
0
1 2D 3 x1-x2=2
E
cj CB XB b 0 0 0 －Ｚ x3 x4 x5 4 2 2 0 xj
2 x1
5 x2
0 x3
0 x4
0 x5

1 -1 1 2
1 2 -1 5
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
4/1 2/2 ∞
5 0
0 －Ｚ
x2 x3
x4
1 3
3 -4
-1/2 3/2
Z
x1
x 2 xn
a12 a 22 am2 c2 a1n a2n a mn cn
xn1
1 0 0 c n 1
xn 2 x n m
0 1 0 cn 2 0 0 1
b
b1 b2 bm 0
表格 单纯 形法
例1－8 用图解法求解下面的线性规划问题：
max Z x1 2 x2
X2
-x1+2x2=0
x1 2 x 2 0 3 s.t. x1 3 x1+2x2=4 2 x 0, x 0 2 1
1
0 1 2 3
x1+2x2=6
4
x1
x1=3
cj CB XB b 0 0 －Ｚ 1 0 －Ｚ 1 2 －Ｚ x1 x2 x1 x4 x3 x4 0 3 0 0 3 0 3 3/2 0 xj
0 x4
0 x5

1 -1 1
1 2 -1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4/1 ∞ 2/1
－Ｚ
2 0 0 －Ｚ x1 x3 x4
0
2 2 4 -4
2
1 0 0 0
5
-1 2 1 7
0
0 1 0 0
0
0 0 1 0
0
1 -1 1 -2 ∞ 2/2 4/1
向右迭代一步
例1－4 用图解法求解下面的线性规划问题：