2024-2025学年广东省江门市台山市广旭实验学校高一(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年广东省江门市台山市广旭实验学校高一（上）第一次
月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={1,3,5}，B={1,2,3}，则A∩B=( )
A. {1,2}
B. {2,3}
C. {1,3}
D. {3,5}
2.已知集合A={1,a−2,a2−a−1}，若−1∈A，则实数a的值为( )
A. 1
B. 1或0
C. 0
D. −1或0
3.命题“∀a∈R，x2−ax+1=0有实数解”的否定是( )
A. ∀a∈R，x2−ax+1=0无实数解
B. ∃a∈R，x2−ax+1=0无实数解
C. ∀a∈R，x2−ax+1≠0有实数解
D. ∃a∈R，x2−ax+1≠0有实数解
4.已知对任意x∈R,x2+(a−2)x+1
4
≥0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. {a|1≤a≤3}
B. {a|1<a<3}
C. {a|−1<a<3}
D. {a|−3≤a≤1}
5.设集合A={x∈Z|(x−1)(x−5)≤0}，则集合A的子集个数为( )
A. 16
B. 32
C. 15
D. 31
6.已知p：1
x
>1,q：x>m，若q是p的必要条件，则实数m的取值范围是( )
A. {m|m≥0}
B. {m|m≥1}
C. {m|m≤1}
D. {m|m≤0}
7.已知集合M={1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其“累积值”即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的“累积值”为n.若
n=3，则这样的集合A的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.已知x+y=1
x +4
y
+8(x,y>0)，则x+y的最小值为( )
A. 53
B. 9
C. 4+26
D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则下列选项中正确的是( )
A. a<0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<−6}
C. a +b +c >0
D. 不等式cx 2−bx +a <0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)
10.已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是( )
A. ac(a−c)<0
B. c(b−a)<0
C. cb 2>ab 2
D. ab >ac 11.已知正数a ，b 满足4a +b +ab =5，则下列结论正确的是( )
A. ab 的最大值为1
B. 4a +b 的最小值为4
C. 16a 2+b 2的最小值为9
D. 1a +1+1b 的最小值为109三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知M =x 2−3x ，N =−3x 2+x−3，则M ，N 的大小关系是______．
13.已知命题“∃x ∈{x|−2<x <3}，使得等式3x−m =0成立”是假命题，则实数m 的取值范围是______．
14.一般地，把b−a 称为区间(a,b)的“长度”已知关于x 的不等式x 2−kx +2k <0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k 的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
设全集为R ，集合A ={x|3≤x <6}，B ={x|2<x <9}．
(1)分别求A ∩B ，(∁R B)∪A ；
(2)已知C ={x|a <x <a +1}，若C ∪B =B ，求实数a 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知集合A ={x ∈R|ax 2−3x +2=0,a ∈R}．
(1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来．
17.(本小题15分)
根据要求完成下列问题：
(1)已知命题p ：x−4
x +3<0，命题q ：x 2−(a +1)x +a <0(a ∈R)，且命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
(2)已知不等式|2x−1|<2的解集与关于x 的不等式−x 2−px +q >0(p 、q ∈R)的解集相同，若实数a ，b ∈R +满足a +b =p +4q ，求1a +4b 的最小值．
18.(本小题17分)
某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
19.(本小题17分)
=2和一元二次方程②(3−k)x2+3mx+(4−k)n=0中，k、m、n均为实
已知关于x的分式方程①k−1
x−1
数，方程①的根为非负数．
(1)求k的取值范围；
(2)当方程②有两个整数根x1，x2，且k为整数，k=m+3，n=1，求方程②的整数根；
(3)当方程②有两个实数根x1，x2，满足x1(x1−k)+x2(x2−k)=(x1−k)(x2−k)，且k为负整数，求k的值并写出m，n应满足的关系式．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.A
5.B
6.D
7.B
8.B
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.M>N
13.{m|m≤−6或m≥9}
14.[−1,0)∪(8,9]
15.解：(1)∵A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}，
∴A∩B={x|3≤x<6}，
∵C R B={x|x≤2或x≥9}，
∴(C R B)∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}；
(2)∵C∪B=B，∴C⊆B，
∵B≠φ，
∴{a≥2
a+1≤9，
解得：2≤a≤8．
16.解：(1)若A是空集，则方程ax2−3x+2=0无解，故△=9−8a<0，解得a>9
8
，
故a的取值范围为(9
8
,+∞)．
(2)若A中只有一个元素，则a=0或△=9−8a=0，解得a=0或a=9
8
．
当a=0时，解ax2−3x+2=0可得x=2
3
．
当a=9
8时，解ax2−3x+2=0可得x=4
3
．
综上，当a =0时，A 中的元素为23 ；
当a =98时，A 中的元素为43． 17.解：(1)命题p ：x−4x +3<0，解得−3<x <4，设命题p 表示集合A ={x|−3<x <4}，设命题q 表示集合B ，
∵命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴B⫋A ，
x 2−(a +1)x +a <0，即(x−1)(x−a)<0，
当a =1时，B =⌀，B⫋A ，符合要求，
当a <1时，解得a <x <1，∵B⫋A ，∴a ≥−3，解得−3≤a <1，经检验符合要求，当a >1时，解得1<x <a ，∵B⫋A ，∴a ≤4，解得1<a ≤4，经检验符合要求，综上所述，实数a 的取值范围为[−3,4]；
(2)由|2x−1|<2得−2<2x−1<2，解得−12<x <32，
又由−x 2−px +q >0得x 2+px−q <0，其解集为−12<x <32，
∴−12和32是方程x 2+px−q =0的两根，根据韦达定理得−12+32=−p 、−12×32=−q ，∴p =−1、q =34，∴a +b =2，
则1a +4b =12(a +b)(1a +4b )=12×(b a +4a b +5)≥12×(2 b a ⋅4a b +5)=92，当且仅当b a =4a b 时，即b =2a 时取等号，即a =23、b =43时，有最小值为9
2． 18.解：(1)设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y =kx +b ，
将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式，
得{100=30k +b 70=45k +b ，解得{
k =−2b =160，
所以函数的表达式为y =−2x +160；
(2)由题意得，利润函数w =(x−30)(−2x +160)=−2(x−55)2+1250，
因为−2<0，所以当x <55时，w 随x 的增大而增大，
而30≤x ≤50，所以当x =50时，w 有最大值，此时，w =1200，
所以销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大，最大利润1200元；
(3)由题意得，−2(x−55)2+1250≥800，
化简得(x−55)2≤225，
解得40≤x ≤70，
所以每天的销售量为y =−2x +160≥−2×70+160=20，
即最少应为20件．
19.解：(1)因为关于x 的分式方程k−1x−1=2的根为非负数，所以x ≥0且x ≠1，又因为x =k +12≥0，且k +12≠1，解得k ≥−1且k ≠1，
又一元二次方程(3−k)x 2+3mx +(4−k)n =0中3−k ≠0，所以k ≠3，综上，k ≥−1且k ≠1且k ≠3．
(2)一元二次方程(3−k)x 2+3mx +(4−k)n =0有两个整数根x 1，x 2，
且k =m +3，n =1时，−mx 2+3mx +(1−m)=0，即mx 2−3mx +m−1=0，所以Δ=9m 2−4m(m−1)=m(5m +4)≥0，且m ≠0，则m >0或m ≤−45，因为x 1，x 2是整数，k 、m 都是整数，x 1+x 2=3，x 1x 2=m−1m =1−1m ，所以1−1m 为整数，所以m =1或−1，
由(1)得k ≠1，则m +3≠1，m ≠−2，
把m =1代入方程mx 2−3mx +m−1=0得x 2−3x +1−1=0，x 1=0，x 2=3；m =−1代入方程mx 2−3mx +m−1=0得x 2−3x +2=0，x 3=1，x 4=2；
(3)由(1)得k ≥−1且k ≠1且k ≠3，因为k 是负整数，所以k =−1，
方程(3−k)x 2+3mx +(4−k)n =0有两个实数根x 1，x 2，
所以x 1+x 2=−3m 3−k =3m k−3=−3m 4，x 1x 2=(4−k)n 3−k =54n ，
因为x 1(x 1−k)+x 2(x 2−k)=(x 1−k)(x 2−k)，
所以x 21−x 1k +x 22−x 2k =x 1x 2−x 1k−x 2k +k 2，
所以x 21+x 22=x 1x 2+k 2，所以(x 1+x 2)2−3x 1x 2=k 2，即(−34m )2−3×54n =(−1)2，
所以9m 2−60n =16．。